Лемма Цассенхауза

Техническая лемма в теории групп

Диаграмма Хассе леммы Цассенхауза о «бабочке» - меньшие подгруппы находятся ближе к верху диаграммы.

В математике лемма о бабочке или лемма Цассенхауза , названная в честь Ганса Цассенхауса , представляет собой технический результат о решетке подгрупп группы или решетке подмодулей модуля , или, в более общем плане, о любой модулярной решетке . ^[1]

Лемма. Пусть группа имеет подгруппы и . Пусть и — нормальные подгруппы . Тогда существует изоморфизм факторгрупп : ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle B\triangleleft A}$ ${\displaystyle D\triangleleft C}$

${\displaystyle {\frac {(A\cap C)B}{(A\cap D)B}}\cong {\frac {(A\cap C)D}{(B\cap C)D}}.}$

Это можно обобщить на случай группы с операторами со стабильными подгруппами и , причем приведенное выше утверждение является случаем действия на себя путем сопряжения . ${\displaystyle (G,\Omega )}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \Omega =G}$

Зассенхауз доказал эту лемму специально для того, чтобы дать наиболее прямое доказательство уточняющей теоремы Шрайера . «Бабочка» становится очевидной при попытке нарисовать диаграмму Хассе различных вовлеченных групп.

Лемма Зассенхауза для групп может быть выведена из более общего результата, известного как теорема Гурса , сформулированная в многообразии Гурса (примером которого являются группы); однако при выводе также необходимо использовать модульный закон для конкретной группы . ^[2]

Рекомендации

1. Пирс, RS (1982). Ассоциативные алгебры . Спрингер. п. 27, упражнение 1. ISBN 0-387-90693-2.
2. Дж. Ламбек (1996). «Бабочка и змея». В Альдо Урсини; Пауло Альяно (ред.). Логика и алгебра . ЦРК Пресс. стр. 161–180. ISBN 978-0-8247-9606-8.

Ресурсы

• Гудерл, КР; Уорфилд, Роберт Б. (1989), Введение в некоммутативные нётеровы кольца, Cambridge University Press , стр. 51, 62, ISBN 978-0-521-36925-1.
• Ланг, Серж (21 июня 2005 г.), Алгебра , Тексты для выпускников по математике (пересмотренное 3-е изд.), Springer-Verlag , стр. 20–21, ISBN 978-0-387-95385-4.
• Карл Клифтон Фейт, Нгуен Вьет Дунг, Барбара Ософски (2009) Кольца, модули и представления . п. 6. Книжный магазин AMS, ISBN 0-8218-4370-2. 
• Ханс Зассенхаус (1934) «Zum Satz von Jordan-Hölder-Schreier», Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg 10:106–8.
• Ганс Зассенхаус (1958) Теория групп , второе английское издание, Лемма о четырех элементах, стр. 74, Chelsea Publishing .

Внешние ссылки

• Лемма Зассенхауса и доказательство на https://web.archive.org/web/20080604141650/http://www.artofproblemsolve.com:80/Wiki/index.php/Zassenhaus%27s_Lemma