Эссе о решении проблемы в учении о вероятностях

Математическое эссе Томаса Байеса 1763 года

« Эссе о решении проблемы учения о шансах » — это работа по математической теории вероятностей Томаса Байеса , опубликованная в 1763 году ^[1] , через два года после смерти автора, и содержащая многочисленные поправки и дополнения, сделанные его другом Ричардом Прайсом . Название происходит от современного использования фразы «доктрина шансов» для обозначения теории вероятностей, которая была введена в названии книги Авраама де Муавра . Современные переиздания эссе носят более конкретное и значимое название: Метод вычисления точной вероятности всех заключений, основанных на индукции . ^[2]

В эссе включены теоремы условной вероятности , которые составляют основу того, что сейчас называется теоремой Байеса , а также подробное рассмотрение проблемы установления априорной вероятности .

Байес предположил последовательность независимых экспериментов, каждый из которых имеет своим результатом либо успех, либо неудачу, причем вероятность успеха равна некоторому числу p между 0 и 1. Но затем он предположил , что p является неопределенной величиной, вероятность нахождения которой в любом интервале между 0 и 1 равна длине интервала. В современных терминах p можно было бы считать случайной величиной, равномерно распределенной между 0 и 1. Условно на значении p испытания, приводящие к успеху или неудаче, являются независимыми, но безусловно (или « незначительно ») они не являются таковыми. Это происходит потому, что если наблюдается большое количество успехов, то p с большей вероятностью будет большим, так что успех в следующем испытании более вероятен. Вопрос, который задал Байес, был следующим: каково условное распределение вероятностей p , учитывая количество успехов и неудач, наблюдавшихся до сих пор. Ответ заключается в том, что его функция плотности вероятности равна

${\displaystyle f(p)={\frac {(n+1)!}{k!(n-k)!}}p^{k}(1-p)^{n-k}{\text{ for }}0\leq p\leq 1}$

(и ƒ ( p ) = 0 для p  < 0 или p  > 1), где k — число успехов, наблюдавшихся до сих пор, а n — число попыток, наблюдавшихся до сих пор. Это то, что сегодня называется бета-распределением с параметрами k  + 1 и n  −  k  + 1.

Контур

Предварительные результаты Байеса в условной вероятности (особенно Предложения 3, 4 и 5) подразумевают истинность теоремы, названной в его честь. Он утверждает: «Если есть два последовательных события, вероятность второго b/N и вероятность обоих вместе P/N, и сначала обнаружено, что второе событие также произошло, отсюда я предполагаю, что первое событие также произошло, вероятность того, что я прав, равна P/b». Символически это подразумевает (см. Stigler 1982):

${\displaystyle P(B\mid A)={\frac {P(A\cap B)}{P(A)}},{\text{ if }}P(A)\neq 0,}$

что приводит к теореме Байеса для условных вероятностей:

${\displaystyle \Rightarrow P(A\mid B)={\frac {P(B\mid A)\,P(A)}{P(B)}},{\text{ if }}P(B)\neq 0.}$

Однако, похоже, Байес не акцентировал внимание на этом открытии или не сосредоточился на нем. Скорее, он сосредоточился на поиске решения гораздо более широкой проблемы вывода:

«Учитывая количество раз, когда неизвестное событие произошло и не произошло [... Найдите] вероятность того, что вероятность его возникновения в одном испытании лежит где-то между любыми двумя степенями вероятности, которые можно назвать». ^[1]

В эссе приводится пример человека, пытающегося угадать соотношение «пустых мест» и «призов» в лотерее. До сих пор человек наблюдал, как в лотерее выпало десять пустых мест и один приз. Учитывая эти данные, Байес подробно показал, как вычислить вероятность того, что соотношение пустых мест и призов составляет от 9:1 до 11:1 (вероятность низкая — около 7,7%). Он продолжил описывать это вычисление после того, как человек наблюдал, как в лотерее выпало двадцать пустых мест и два приза, сорок пустых мест и четыре приза и так далее. Наконец, вытащив 10 000 пустых мест и 1000 призов, вероятность достигает около 97%. ^[1]

Основной результат Байеса (Предложение 9) в современных терминах выглядит следующим образом:

Предположим равномерное априорное распределение биномиального параметра . После наблюдения успехов и неудач, ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle P(a<p<b\mid m;n)={\frac {\int _{a}^{b}{n+m \choose m}p^{m}(1-p)^{n}\,dp}{\int _{0}^{1}{n+m \choose m}p^{m}(1-p)^{n}\,dp}}.}$

Неясно, был ли Байес «байесовцем» в современном смысле. То есть, интересовался ли он байесовским выводом или просто вероятностью . Предложение 9 кажется «байесовским» в его представлении как вероятность относительно параметра . Однако Байес сформулировал свой вопрос таким образом, который предполагает частотную точку зрения: он предположил, что шар бросается случайным образом на квадратный стол (этот стол часто ошибочно представляют как бильярдный стол, а шар — как бильярдный шар, но Байес никогда не описывает их таковыми), и рассматривал дальнейшие шары, которые падают слева или справа от первого шара с вероятностями и . Алгебра, конечно, идентична независимо от того, какая точка зрения принимается. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 1-p}$

Ричард Прайс и существование Бога

Ричард Прайс обнаружил эссе Байеса и его ныне известную теорему в работах Байеса после его смерти. Он считал, что теорема Байеса помогла доказать существование Бога («Божества») , и написал следующее во введении к эссе:

«Цель, которую я имею в виду, состоит в том, чтобы показать, какие у нас есть основания верить, что в строении вещей существуют фиксированные законы, в соответствии с которыми происходят вещи, и что, следовательно, структура мира должна быть следствием мудрости и силы разумной причины; и таким образом подтвердить аргумент, взятый из конечных причин для существования Божества. Будет легко увидеть, что обратная проблема, решенная в этом эссе, более непосредственно применима к этой цели; поскольку она показывает нам, с отчетливостью и точностью, в каждом случае любого конкретного порядка или повторяемости событий, какие есть основания полагать, что такая повторяемость или порядок вытекают из устойчивых причин или правил в природе, а не из каких-либо нерегулярностей случая». ( Философские труды Королевского общества Лондона , 1763) ^[1]

Говоря современным языком, это пример телеологического аргумента .

Версии эссе

• Байес, г-н; Прайс, г-н (1763). «Опыт решения проблемы в учении о шансах. Покойного преподобного г-на Байеса, члена Королевского общества, переданный г-ном Прайсом в письме Джону Кантону, члену Королевского общества» (PDF) . Philosophical Transactions of the Royal Society of London . 53 : 370–418. doi : 10.1098/rstl.1763.0053 .
• Барнард, Г. А. (1958). «Исследования по истории вероятности и статистики: Ix. Эссе Томаса Байеса о решении проблемы в учении о шансах». Biometrika . 45 (3–4): 293–295. doi :10.1093/biomet/45.3-4.293.
• Томас Байес «Эссе о решении проблемы учения о вероятностях». (Эссе Байеса в оригинальной записи)

Комментарии

• GA Barnard (1958) «Исследования по истории вероятности и статистики: IX. Эссе Томаса Байеса о решении проблемы в учении о шансах», Biometrika 45:293–295. (биографические заметки)
• Стивен М. Стиглер (1982). «Байесовский вывод Томаса Байеса», Журнал Королевского статистического общества , Серия A, 145:250–258. (Стиглер выступает за пересмотренную интерпретацию эссе; рекомендуется)
• Айзек Тодхантер (1865). История математической теории вероятностей со времен Паскаля до времен Лапласа , Макмиллан. Переиздано в 1949, 1956 Челси и в 2001 Томмесом.

Ссылки

1. Байес, г-н; Прайс, г-н (1763). "Эссе о решении проблемы в доктрине случайностей. Покойного преподобного г-на Байеса, FRS, переданное г-ном Прайсом в письме Джону Кантону, AMFR S" (PDF) . Philosophical Transactions of the Royal Society of London . 53 : 370–418. doi : 10.1098/rstl.1763.0053 . Архивировано из оригинала (PDF) 2011-04-10 . Получено 2011-09-25 .
2. Стиглер, Стивен М. (2013). «Истинное название эссе Байеса». Статистическая наука . 28 (3): 283–288. arXiv : 1310.0173 . doi : 10.1214/13-STS438.

Внешние ссылки

• Эссе о решении проблемы в учении о вероятностях в Архиве Интернета
• Эссе о решении проблемы в теории вероятностей на кафедре статистики Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе