Ускорение (дифференциальная геометрия)

В математике и физике ускорение — это скорость изменения скорости кривой относительно заданного линейного соединения . Эта операция дает нам меру скорости и направления «изгиба». ^{[1] [2]}

Формальное определение

Рассмотрим дифференцируемое многообразие с заданной связностью . Пусть — кривая в с касательным вектором , т.е. скоростью, , с параметром . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \gamma \colon \mathbb {R} \to M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(\tau )}$ ${\displaystyle \tau }$

Вектор ускорения определяется как , где обозначает ковариантную производную, связанную с . ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \nabla _{\dot {\gamma }}{\dot {\gamma }}}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \Gamma }$

Это ковариантная производная вдоль , и ее часто обозначают как ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \nabla _{\dot {\gamma }}{\dot {\gamma }}={\frac {\nabla {\dot {\gamma }}}{d\tau }}.}$

Относительно произвольной системы координат , и при этом являются компонентами связи (т.е. ковариантной производной ) относительно этой системы координат, определяемыми соотношением ${\displaystyle (x^{\mu })}$ ${\displaystyle (\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu })}$ ${\displaystyle \nabla _{\mu }:=\nabla _{\partial /\partial x^{\mu }}}$

${\displaystyle \nabla _{\partial /\partial x^{\mu }}{\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}=\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }{\frac {\partial }{\partial x^{\lambda }}},}$

для векторного поля ускорения получаем: ${\displaystyle a^{\mu }:=(\nabla _{\dot {\gamma }}{\dot {\gamma }})^{\mu }}$

${\displaystyle a^{\mu }=v^{\rho }\nabla _{\rho }v^{\mu }={\frac {dv^{\mu }}{d\tau }}+\Gamma ^{\mu }{}_{\nu \lambda }v^{\nu }v^{\lambda }={\frac {d^{2}x^{\mu }}{d\tau ^{2}}}+\Gamma ^{\mu }{}_{\nu \lambda }{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\lambda }}{d\tau }},}$

где — локальное выражение для пути , а . ${\displaystyle x^{\mu }(\tau ):=\gamma ^{\mu }(\tau )}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle v^{\rho }:=({\dot {\gamma }})^{\rho }}$

Понятие ускорения является ковариантным производным понятием. Другими словами, для определения ускорения необходимо задать дополнительную структуру. ${\displaystyle M}$

Используя абстрактную индексную нотацию , ускорение заданной кривой с единичным касательным вектором определяется как . ^[3] ${\displaystyle \xi ^{a}}$ ${\displaystyle \xi ^{b}\nabla _{b}\xi ^{a}}$

Смотрите также

• Ускорение
• Ковариантная производная

Примечания

1. Фридман, М. (1983). Основы теорий пространства-времени . Принстон: Princeton University Press. стр. 38. ISBN 0-691-07239-6.
2. Бенн, IM; Такер, RW (1987). Введение в спиноры и геометрию с приложениями в физике . Бристоль и Нью-Йорк: Адам Хильгер. стр. 203. ISBN 0-85274-169-3.
3. Маламент, Дэвид Б. (2012). Темы в основах общей теории относительности и ньютоновской теории гравитации . Чикаго: Издательство Чикагского университета. ISBN 978-0-226-50245-8.

Ссылки

• Фридман, М. (1983). Основы теорий пространства-времени . Принстон: Princeton University Press. ISBN 0-691-07239-6.
• Диллен, FJE; Верстрален, LCA (2000). Справочник по дифференциальной геометрии . Том. 1. Амстердам: Северная Голландия. ISBN 0-444-82240-2.
• Пфистер, Герберт; Кинг, Маркус (2015). Инерция и гравитация. Фундаментальная природа и структура пространства-времени . Том. The Lecture Notes in Physics. Том 897. Гейдельберг: Springer. doi :10.1007/978-3-319-15036-9. ISBN 978-3-319-15035-2.