В механике ускорение — это скорость изменения скорости объекта по отношению ко времени. Ускорение — одна из нескольких составляющих кинематики , изучающей движение . Ускорения являются векторными величинами (в том смысле, что они имеют величину и направление ). [1] [2] Направление ускорения объекта определяется ориентацией результирующей силы , действующей на этот объект. Величина ускорения объекта, описанная Вторым законом Ньютона [3] , представляет собой совокупный эффект двух причин:
Единицей ускорения в системе СИ является метр на секунду в квадрате ( м⋅с −2 , ).
Например, когда транспортное средство трогается с места (нулевая скорость в инерциальной системе отсчета ) и движется по прямой с возрастающей скоростью, оно ускоряется в направлении движения. Если автомобиль поворачивает, происходит ускорение в новом направлении и изменяется вектор движения. Ускорение транспортного средства в текущем направлении движения называется линейным (или тангенциальным при круговых движениях ) ускорением, реакцию на которое пассажиры на борту испытывают как силу, толкающую их обратно на сиденья. При изменении направления оказывающее воздействие ускорение называется радиальным (или центростремительным при круговых движениях) ускорением, реакцию на которое пассажиры испытывают как центробежную силу . Если скорость транспортного средства уменьшается, это ускорение в направлении, противоположном вектору скорости (математически отрицательное , если движение одномерное, а скорость положительная), иногда называемое замедлением [4] [5] или замедлением , и пассажиры ощущают реакцию на замедление как инерционную силу, толкающую их вперед. Такие отрицательные ускорения часто достигаются за счет сжигания тормозных ракет в космических кораблях . [6] И ускорение, и замедление рассматриваются одинаково, поскольку оба они представляют собой изменения скорости. Каждое из этих ускорений (тангенциальное, радиальное, замедление) ощущается пассажирами до тех пор, пока их относительная (дифференциальная) скорость не нейтрализуется по отношению к ускорению, вызванному изменением скорости.
Среднее ускорение объекта за период времени — это изменение его скорости , , деленное на продолжительность периода . Математически,
Между тем мгновенное ускорение является пределом среднего ускорения за бесконечно малый интервал времени. С точки зрения исчисления мгновенное ускорение является производной вектора скорости по времени:
(Здесь и далее, если движение прямолинейное , векторные величины в уравнениях можно заменить скалярами .)
По основной теореме исчисления можно видеть, что интеграл функции ускорения a ( t ) есть функция скорости v ( t ) ; то есть площадь под кривой графика зависимости ускорения от времени ( a vs. t ) соответствует изменению скорости.
Аналогично, интеграл от функции рывка j ( t ) , производной функции ускорения, можно использовать для нахождения изменения ускорения в определенный момент времени:
Ускорение имеет размеры скорости (L/T), деленной на время, т.е. L T -2 . Единицей ускорения в системе СИ является метр на секунду в квадрате (мс -2 ); или «метр в секунду в секунду», поскольку скорость в метрах в секунду меняется на значение ускорения каждую секунду.
Объект, движущийся по кругу, например спутник, вращающийся вокруг Земли, ускоряется из-за изменения направления движения, хотя его скорость может быть постоянной. В этом случае говорят, что он испытывает центростремительное (направленное к центру) ускорение.
Правильное ускорение , ускорение тела относительно состояния свободного падения, измеряется инструментом, называемым акселерометром .
В классической механике для тела с постоянной массой (векторное) ускорение центра масс тела пропорционально вектору результирующей силы (т.е. сумме всех сил), действующей на него ( второй закон Ньютона ):
Скорость частицы, движущейся по криволинейной траектории, как функцию времени, можно записать как:
где un — единичный (внутренний) вектор нормали к траектории частицы (также называемый главной нормалью ), а r — ее мгновенный радиус кривизны , основанный на соприкасающейся окружности в момент времени t . Компоненты
называются тангенциальным ускорением и нормальным или радиальным ускорением (или центростремительным ускорением при круговом движении, см. также круговое движение и центростремительную силу ) соответственно.
Геометрический анализ трехмерных пространственных кривых, объясняющий касательную, (главную) нормаль и бинормаль, описывается формулами Френе-Серре . [8] [9]
Равномерное или постоянное ускорение — это тип движения, при котором скорость объекта изменяется на одинаковую величину за каждый равный период времени.
Часто цитируемый пример равномерного ускорения — это объект, находящийся в свободном падении в однородном гравитационном поле. Ускорение падающего тела при отсутствии сопротивления движению зависит только от напряженности гравитационного поля g (его еще называют ускорением силы тяжести ). По второму закону Ньютона сила , действующая на тело, определяется выражением:
Из-за простых аналитических свойств случая постоянного ускорения существуют простые формулы, связывающие перемещение , начальную и зависящую от времени скорости , а также ускорение с прошедшим временем : [10]
где
В частности, движение можно разделить на две ортогональные части: одну с постоянной скоростью, а другую в соответствии с приведенными выше уравнениями. Как показал Галилей , конечным результатом является параболическое движение, описывающее, например, траекторию снаряда в вакууме вблизи поверхности Земли. [11]
При равномерном круговом движении , то есть движущемся с постоянной скоростью по круговой траектории, частица испытывает ускорение, возникающее в результате изменения направления вектора скорости, при этом ее величина остается постоянной. Производная положения точки на кривой по времени, т. е. ее скорость, оказывается всегда точно касательной к кривой и соответственно ортогональной радиусу в этой точке. Поскольку при равномерном движении скорость в тангенциальном направлении не меняется, ускорение должно быть в радиальном направлении, направленном к центру круга. Это ускорение постоянно меняет направление скорости на касательное в соседней точке, тем самым вращая вектор скорости по окружности.
Выразив вектор центростремительного ускорения в полярных компонентах, где – вектор от центра круга к частице с величиной, равной этому расстоянию, и учитывая ориентацию ускорения к центру, получим
Как обычно при вращении, скорость частицы может быть выражена как угловая скорость относительно точки на расстоянии как
Таким образом
Это ускорение и масса частицы определяют необходимую центростремительную силу , направленную к центру круга, как чистую силу, действующую на эту частицу, чтобы удерживать ее в этом равномерном круговом движении. Так называемая « центробежная сила », действующая наружу на тело, представляет собой так называемую псевдосилу , испытываемую в системе отсчета тела, совершающего круговое движение, из-за линейного момента тела , вектора, касательного окружности. движения.
При неравномерном круговом движении, т. е. скорости по криволинейной траектории меняется, ускорение имеет ненулевую составляющую, касательную к кривой, и не ограничивается главной нормалью , направленной к центру соприкасающейся окружности, что определяет радиус центростремительного ускорения. Тангенциальная составляющая определяется угловым ускорением , т. е. скоростью изменения угловой скорости, умноженной на радиус . То есть,
Знак тангенциальной составляющей ускорения определяется знаком углового ускорения ( ), а касательная всегда направлена под прямым углом к радиусу-вектору.
В многомерных декартовых системах координат ускорение разбивается на компоненты, соответствующие каждой размерной оси системы координат. В двумерной системе, где есть ось X и ось Y, соответствующие компоненты ускорения определяются как [12]
Специальная теория относительности описывает поведение объектов, движущихся относительно других объектов со скоростями, приближающимися к скорости света в вакууме. Как выяснилось, ньютоновская механика является приближением к реальности и действительна с большой точностью на более низких скоростях. Поскольку соответствующие скорости увеличиваются до скорости света, ускорение больше не подчиняется классическим уравнениям.
По мере приближения скорости к скорости света ускорение, создаваемое данной силой, уменьшается, становясь бесконечно малым по мере приближения к скорости света; объект с массой может асимптотически приближаться к этой скорости , но никогда ее не достичь.
Если не известно состояние движения объекта, невозможно отличить, вызвана ли наблюдаемая сила гравитацией или ускорением — сила тяжести и инерционное ускорение имеют одинаковые эффекты. Альберт Эйнштейн назвал это принципом эквивалентности и сказал, что только наблюдатели, которые вообще не чувствуют никакой силы, включая силу гравитации, имеют право заключить, что они не ускоряются. [13]