Параметры допуска

Свойства электрической сети через матрицу отношений токов к напряжениям

Параметры адмиттанса или Y-параметры (элементы матрицы адмиттанса или Y-матрицы ) — это свойства, используемые во многих областях электротехники , таких как энергетика , электроника и телекоммуникации . Эти параметры используются для описания электрического поведения линейных электрических сетей . Они также используются для описания малосигнального ( линеаризованного ) отклика нелинейных сетей. Параметры Y также известны как параметры проводимости короткого замыкания. Они являются членами семейства аналогичных параметров, используемых в электронной технике, другими примерами являются: S-параметры , ^[1] Z-параметры , ^[2] H-параметры , T-параметры или ABCD-параметры . ^{[3] [4]}

Матрица Y-параметров

Матрица Y-параметров описывает поведение любой линейной электрической сети, которую можно рассматривать как черный ящик с множеством портов . Порт в этом контексте представляет собой пару электрических клемм , по которым в сеть и из сети проходят равные и противоположные токи, и между которыми имеется определенное напряжение . Y-матрица не дает никакой информации о поведении сети, когда токи в каком-либо порту не сбалансированы таким образом (если это возможно), а также не дает никакой информации о напряжении между клеммами, не принадлежащими одному и тому же порту. Обычно предполагается, что каждое внешнее подключение к сети осуществляется между терминалами только одного порта, поэтому эти ограничения являются уместными.

Для общего определения многопортовой сети предполагается, что каждому порту выделено целое число n в диапазоне от 1 до N , где N — общее количество портов. Для порта n соответствующее определение Y-параметра выражается в напряжении и токе порта, V _n и I _n соответственно.

Для всех портов токи могут быть определены с помощью матрицы Y-параметров, а напряжения - с помощью следующего матричного уравнения:

${\displaystyle I=YV\,}$

где Y — матрица размера N × N , элементы которой могут быть проиндексированы с использованием обычных матричных обозначений. В общем, элементы матрицы Y-параметров представляют собой комплексные числа и функции частоты. Для сети с одним портом Y-матрица сводится к одному элементу и представляет собой обычный проводимость, измеренную между двумя терминалами.

Двухпортовые сети

Эквивалентная схема для произвольной двухполюсной матрицы проводимости. В схеме используются источники Norton с источниками тока, управляемыми напряжением.

Y-эквивалентная схема для взаимной двухполюсной сети.

Матрица Y-параметров для двухпортовой сети , вероятно, является наиболее распространенной. В этом случае взаимосвязь между напряжениями портов, токами портов и матрицей Y-параметров определяется выражением:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}Y_{11}&Y_{12}\\Y_{21}&Y_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}V_{1}\\V_{2}\end{pmatrix}}}$.

где

${\displaystyle {\begin{aligned}Y_{11}&={I_{1} \over V_{1}}{\bigg |}_{V_{2}=0}\qquad Y_{12}={I_{1} \over V_{2}}{\bigg |}_{V_{1}=0}\\[8pt]Y_{21}&={I_{2} \over V_{1}}{\bigg |}_{V_{2}=0}\qquad Y_{22}={I_{2} \over V_{2}}{\bigg |}_{V_{1}=0}\end{aligned}}}$

В общем случае сети с n портами:

${\displaystyle Y_{nm}={I_{n} \over V_{m}}{\bigg |}_{V_{k}=0{\text{ for }}k\neq m}}$

Приемные отношения

Входная проводимость двухпортовой сети определяется выражением:

${\displaystyle Y_{in}=Y_{11}-{\frac {Y_{12}Y_{21}}{Y_{22}+Y_{L}}}}$

где Y _L — пропускная способность нагрузки, подключенной ко второму порту.

Аналогично, выходная проводимость определяется выражением:

${\displaystyle Y_{out}=Y_{22}-{\frac {Y_{12}Y_{21}}{Y_{11}+Y_{S}}}}$

где Y _S — пропускная способность источника, подключенного к первому порту.

Связь с S-параметрами

Y-параметры сети связаны с ее S-параметрами соотношением ^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}Y&={\sqrt {y}}(I_{N}-S)(I_{N}+S)^{-1}{\sqrt {y}}\\&={\sqrt {y}}(I_{N}+S)^{-1}(I_{N}-S){\sqrt {y}}\\\end{aligned}}}$

и ^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}S&=(I_{N}-{\sqrt {z}}Y{\sqrt {z}})(I_{N}+{\sqrt {z}}Y{\sqrt {z}})^{-1}\\&=(I_{N}+{\sqrt {z}}Y{\sqrt {z}})^{-1}(I_{N}-{\sqrt {z}}Y{\sqrt {z}})\\\end{aligned}}}$

где I _N — единичная матрица , — диагональная матрица, имеющая квадратный корень из характеристического сопротивления (обратного значения характеристического импеданса ) на каждом порте в качестве ненулевых элементов, ${\displaystyle {\sqrt {y}}}$

${\displaystyle {\sqrt {y}}={\begin{pmatrix}{\sqrt {y_{01}}}&\\&{\sqrt {y_{02}}}\\&&\ddots \\&&&{\sqrt {y_{0N}}}\end{pmatrix}}}$

и – соответствующая диагональная матрица квадратных корней характеристических импедансов . В этих выражениях матрицы, представленные факторами в квадратных скобках, коммутируют и поэтому, как показано выше, могут быть записаны в любом порядке. ^{[5] [примечание 1]} ${\displaystyle {\sqrt {z}}=({\sqrt {y}})^{-1}}$

Два порта

В частном случае двухпортовой сети с одинаковой и реальной характеристической проводимостью на каждом порту приведенные выше выражения сводятся к ^[6] ${\displaystyle y_{01}=y_{02}=Y_{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}Y_{11}&={(1-S_{11})(1+S_{22})+S_{12}S_{21} \over \Delta _{S}}Y_{0}\\Y_{12}&={-2S_{12} \over \Delta _{S}}Y_{0}\\[4pt]Y_{21}&={-2S_{21} \over \Delta _{S}}Y_{0}\\[4pt]Y_{22}&={(1+S_{11})(1-S_{22})+S_{12}S_{21} \over \Delta _{S}}Y_{0}\end{aligned}}}$

где

${\displaystyle \Delta _{S}=(1+S_{11})(1+S_{22})-S_{12}S_{21}.}$

В приведенных выше выражениях обычно используются комплексные числа для и . Обратите внимание, что значение может стать равным 0 для определенных значений, поэтому деление на при расчетах может привести к делению на 0. ${\displaystyle S_{ij}}$ ${\displaystyle Y_{ij}}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle S_{ij}}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle Y_{ij}}$

Двухпортовые S-параметры также могут быть получены из эквивалентных двухпортовых Y-параметров с помощью следующих выражений. ^[7]

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{11}&={(1-Z_{0}Y_{11})(1+Z_{0}Y_{22})+Z_{0}^{2}Y_{12}Y_{21} \over \Delta }\\S_{12}&={-2Z_{0}Y_{12} \over \Delta }\\[4pt]S_{21}&={-2Z_{0}Y_{21} \over \Delta }\\[4pt]S_{22}&={(1+Z_{0}Y_{11})(1-Z_{0}Y_{22})+Z_{0}^{2}Y_{12}Y_{21} \over \Delta }\end{aligned}}}$

где

${\displaystyle \Delta =(1+Z_{0}Y_{11})(1+Z_{0}Y_{22})-Z_{0}^{2}Y_{12}Y_{21}\,}$

и является характеристическим сопротивлением каждого порта (предполагается одинаковым для двух портов). ${\displaystyle Z_{0}}$

Связь с Z-параметрами

Преобразование Z-параметров в Y-параметры намного проще, поскольку матрица Y-параметров является обратной матрицей Z-параметров. Следующие выражения показывают применимые отношения:

${\displaystyle {\begin{aligned}Y_{11}&={Z_{22} \over |Z|}\\[4pt]Y_{12}&={-Z_{12} \over |Z|}\\[4pt]Y_{21}&={-Z_{21} \over |Z|}\\[4pt]Y_{22}&={Z_{11} \over |Z|}\end{aligned}}}$

где

${\displaystyle |Z|=Z_{11}Z_{22}-Z_{12}Z_{21}\,}$

В данном случае это определитель матрицы Z-параметров. ${\displaystyle |Z|}$

И наоборот, Y-параметры можно использовать для определения Z-параметров, по существу используя те же выражения, поскольку

${\displaystyle Y=Z^{-1}\,}$

и

${\displaystyle Z=Y^{-1}.}$

Смотрите также

• Узловая матрица допуска
• Параметры рассеяния
• Параметры импеданса
• Двухпортовая сеть
• Гибридно-пи-модель
• Прирост мощности

Примечания

1. Любая квадратная матрица коммутирует сама с собой и с единичной матрицей, и если две матрицы A и B коммутируют, то коммутируют и A и B ⁻¹ (поскольку AB ⁻¹  =  B ⁻¹ BAB ⁻¹  =  B ⁻¹ ABB ⁻¹  =  Б ^-1 А )

Рекомендации

1. Позар, Дэвид М. (2005); Микроволновая техника, третье издание (Международное издание); Джон Уайли и сыновья; стр. 170-174. ISBN  0-471-44878-8 .
2. Позар, Дэвид М. (2005) (соч. цит.); стр. 170-174.
3. Позар, Дэвид М. (2005) (соч. цит.); стр. 183-186.
4. Мортон, АХ (1985); Передовая электротехника ; Pitman Publishing Ltd.; стр. 33-72. ISBN 0-273-40172-6 
5. Рассер, Питер (2003). Электромагнетизм, СВЧ-схемы и проектирование антенн для техники связи . Артех Хаус. ISBN 978-1-58053-532-8.
6. Фрики, Д.А. (февраль 1994 г.). «Преобразования между параметрами S, Z, Y, H, ABCD и T, которые действительны для комплексных импедансов источника и нагрузки». Транзакции IEEE по теории и технике микроволнового излучения . 42 (2): 205–211. Бибкод : 1994ITMTT..42..205F. дои : 10.1109/22.275248. ISSN  0018-9480.
7. Саймон Рамо, Джон Р. Уиннери, Теодор Ван Дузер, «Поля и волны в коммуникационной электронике», третье издание, John Wiley & Sons Inc.; 1993, стр. 537–541, ISBN 0-471-58551-3 .