Аффинная инволюция

В евклидовой геометрии особый интерес представляют инволюции , которые являются линейными или аффинными преобразованиями над евклидовым пространством . $\mathbb {R} ^{n}.$ Такие инволюции легко охарактеризовать, и их можно описать геометрически. ^[1]

Линейные инволюции

Задать линейную инволюцию — это то же самое, что задать инволютивную матрицу , квадратную матрицу $A$ , такую, что где $I$ — единичная матрица . ${\mathbf {A}}^{2}={\mathbf {I}}\quad \quad \quad \quad (1)$

Это быстрая проверка того, что квадратная матрица $D$ , все элементы которой равны нулю вне главной диагонали и ±1 на диагонали, то есть матрица сигнатуры вида

${\mathbf {D}}={\begin{pmatrix}\pm 1&0&\cdots &0&0\\0&\pm 1&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &\pm 1&0\\0&0&\cdots &0&\pm 1\end{pmatrix}}$

удовлетворяет (1), т.е. является матрицей линейной инволюции. Оказывается, что все матрицы, удовлетворяющие (1), имеют вид , где $U$ обратимо, а $D$ такое, как указано выше. То есть, матрица любой линейной инволюции имеет вид $D$ с точностью до подобия матриц . Геометрически это означает, что любая линейная инволюция может быть получена путем взятия косых отражений относительно любого числа от 0 до $n$ гиперплоскостей, проходящих через начало координат. (Термин косое отражение , используемый здесь, включает обычные отражения.) ${\mathbf {A}}={\mathbf {U}}^{-1}{\mathbf {DU}},$

Легко проверить, что $A$ представляет собой линейную инволюцию тогда и только тогда, когда A $имеет$ вид линейной проекции $P.$ ${\mathbf {A}}=\pm (2{\mathbf {P}}-{\mathbf {I}})$

Аффинные инволюции

Если A представляет собой линейную инволюцию, то x → A ( x − b )+ b является аффинной инволюцией. Можно проверить, что любая аффинная инволюция на самом деле имеет эту форму. Геометрически это означает, что любая аффинная инволюция может быть получена путем взятия косых отражений относительно любого числа от 0 до n гиперплоскостей, проходящих через точку b .

Аффинные инволюции можно классифицировать по размерности аффинного пространства неподвижных точек ; это соответствует числу значений 1 на диагонали подобной матрицы D (см. выше), т.е. размерности собственного пространства для собственного значения 1.

Аффинные инволюции в 3D:

личность
косое отражение относительно плоскости
косое отражение относительно линии
отражение относительно точки. ^[2]

Изометрические инволюции

В случае, когда собственное пространство для собственного значения 1 является ортогональным дополнением пространства для собственного значения −1, т. е. каждый собственный вектор с собственным значением 1 ортогонален каждому собственному вектору с собственным значением −1, такая аффинная инволюция является изометрией . Два крайних случая, для которых это всегда применимо, — это функция тождества и инверсия в точке .

Другие инволютивные изометрии — это инверсия относительно линии (в 2D, 3D и выше; в 2D это отражение , а в 3D — поворот относительно линии на 180°), инверсия относительно плоскости (в 3D и выше; в 3D это отражение относительно плоскости), инверсия относительно 3D пространства (в 3D: тождество) и т. д.

Ссылки

^ LLC, Books (2010). Аффинная геометрия: аффинное преобразование, гиперплоскость, теорема Чевы, аффинная кривизна, барицентрические координаты, центроид, аффинное пространство . General Books LLC, 2010. ISBN 9781155313931.
^ Марберг, Эрик; Чжан, Ифэн (март 2022 г.). «Аффинные переходы для инволюционных симметричных функций Стэнли». Европейский журнал комбинаторики . 101 : 103463. arXiv : 1812.04880 . doi : 10.1016/j.ejc.2021.103463. S2CID 119290424.