Алгебраический элемент

Понятие абстрактной алгебры

В математике , если L — поле расширения K , то элемент a из L называется алгебраическим элементом над K или просто алгебраическим над K , если существует некоторый ненулевой полином g ( x ) с коэффициентами из K такой, что г ( а ) знак равно 0 . Элементы L , не алгебраические над K , называются трансцендентными над K.

Эти понятия обобщают алгебраические числа и трансцендентные числа (где расширением поля является C / Q , где C — поле комплексных чисел , а Q — поле рациональных чисел ).

Примеры

• Квадратный корень из 2 является алгебраическим над Q , поскольку он является корнем многочлена g ( x ) = x ² − 2 , коэффициенты которого рациональны.
• Pi трансцендентно над Q , но алгебраично над полем действительных чисел R : это корень g ( x ) = x − π , чьи коэффициенты (1 и − π ) оба вещественны, но не относятся к любому многочлену с только рациональными коэффициентами. . (В определении термина трансцендентное число используется C / Q , а не C / R .)

Характеристики

Следующие условия эквивалентны для элемента : ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle L}$

• ${\displaystyle a}$является алгебраическим над , ${\displaystyle K}$
• расширение поля является алгебраическим, т.е. каждый элемент алгебраичен (здесь обозначается наименьшее подполе, содержащее и ), ${\displaystyle K(a)/K}$ ${\displaystyle K(a)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K(a)}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle a}$
• расширение поля имеет конечную степень, т. е . размерность векторного пространства конечна , ${\displaystyle K(a)/K}$ ${\displaystyle K(a)}$ ${\displaystyle K}$
• ${\displaystyle K[a]=K(a)}$, где – множество всех элементов которого можно записать в виде многочлена, коэффициенты которого лежат в . ${\displaystyle K[a]}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle g(a)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle K}$

Чтобы сделать это более понятным, рассмотрим полиномиальную оценку . Это гомоморфизм и его ядро ​​есть . Если алгебраический, этот идеал содержит ненулевые многочлены, но, как и евклидова область , он содержит уникальный многочлен с минимальной степенью и старшим коэффициентом , который затем также порождает идеал и должен быть неприводимым . Полином называется минимальным многочленом и он кодирует многие важные свойства . Следовательно, кольцевой изоморфизм , полученный по теореме о гомоморфизме, является изоморфизмом полей, где мы можем затем наблюдать, что . В противном случае, является инъективным и, следовательно , мы получаем изоморфизм поля , где - поле частных , т.е. поле рациональных функций на , по универсальному свойству поля частных. Можно заключить, что в любом случае мы находим изоморфизм или . Исследование этой конструкции дает желаемые результаты. ${\displaystyle \varepsilon _{a}:K[X]\rightarrow K(a),\,P\mapsto P(a)}$ ${\displaystyle \{P\in K[X]\mid P(a)=0\}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle K[X]}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle K[X]/(p)\rightarrow \mathrm {im} (\varepsilon _{a})}$ ${\displaystyle \mathrm {im} (\varepsilon _{a})=K(a)}$ ${\displaystyle \varepsilon _{a}}$ ${\displaystyle K(X)\rightarrow K(a)}$ ${\displaystyle K(X)}$ ${\displaystyle K[X]}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K(a)\cong K[X]/(p)}$ ${\displaystyle K(a)\cong K(X)}$

Эту характеристику можно использовать, чтобы показать, что сумма, разность, произведение и частное алгебраических элементов по снова являются алгебраическими по . Ибо если и оба алгебраичны, то конечно. Поскольку он содержит вышеупомянутые комбинации и , присоединение одного из них к также дает конечное расширение, и, следовательно, эти элементы также являются алгебраическими. Таким образом, набор всех элементов, которые являются алгебраическими, представляет собой поле, которое находится между и . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle (K(a))(b)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K}$

Поля, не допускающие над собой никаких алгебраических элементов (кроме собственных элементов), называются алгебраически замкнутыми . Поле комплексных чисел является примером. Если алгебраически замкнуто, то поле алгебраических элементов over алгебраически замкнуто, что снова можно непосредственно показать, используя приведенную выше характеристику простых алгебраических расширений. Примером этого является поле алгебраических чисел . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K}$

Смотрите также

• Алгебраическая независимость

Рекомендации

• Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , том. 211 (пересмотренное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN. 978-0-387-95385-4, МР  1878556, Збл  0984.00001