Алгебраическая геометрия и аналитическая геометрия

Два тесно связанных математических предмета

В математике алгебраическая геометрия и аналитическая геометрия являются двумя тесно связанными предметами. В то время как алгебраическая геометрия изучает алгебраические многообразия , аналитическая геометрия имеет дело с комплексными многообразиями и более общими аналитическими пространствами , определяемыми локально обращением в нуль аналитических функций нескольких комплексных переменных . Глубокая связь между этими предметами имеет многочисленные приложения, в которых алгебраические методы применяются к аналитическим пространствам, а аналитические методы — к алгебраическим многообразиям.

Основное утверждение

Пусть X — проективное комплексное алгебраическое многообразие . Поскольку X — комплексное многообразие, его множеству комплексных точек X ( C ) можно придать структуру компактного комплексного аналитического пространства . Это аналитическое пространство обозначается X ^an . Аналогично, если — пучок на X , то существует соответствующий пучок на X ^an . Эта ассоциация аналитического объекта с алгебраическим является функтором . Прототипическая теорема, связывающая X и X ^{an ,} гласит, что для любых двух когерентных пучков и на X естественный гомоморфизм: ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{\text{an}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

${\displaystyle {\text{Hom}}_{{\mathcal {O}}_{X}}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})\rightarrow {\text{Hom}}_{{\mathcal {O}}_{X}^{\text{an}}}({\mathcal {F}}^{\text{an}},{\mathcal {G}}^{\text{an}})}$

является изоморфизмом. Здесь — структурный пучок алгебраического многообразия X , а — структурный пучок аналитического многообразия X ^an . Точнее, категория когерентных пучков на алгебраическом многообразии X эквивалентна категории аналитических когерентных пучков на аналитическом многообразии X ^an , и эквивалентность задается на объектах путем отображения в . (Отметим, в частности, что само является когерентным, результат, известный как теорема когерентности Ока ^[1] , а также было доказано в «Faisceaux Algebriques Coherents» ^[2] , что структурный пучок алгебраического многообразия является когерентным. ^[3] ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\text{an}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{\text{an}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\text{an}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

Другое важное утверждение заключается в следующем: для любого когерентного пучка на алгебраическом многообразии X гомоморфизмы ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle \varepsilon _{q}\ :\ H^{q}(X,{\mathcal {F}})\rightarrow H^{q}(X^{an},{\mathcal {F}}^{an})}$

являются изоморфизмами для всех q' s. Это означает, что q -я группа когомологий на X изоморфна группе когомологий на X ^an .

Теорема применяется гораздо более широко, чем указано выше (см. формальное утверждение ниже). Она и ее доказательство имеют много следствий, таких как теорема Чжоу, принцип Лефшеца и теорема Кодаиры об исчезновении .

Фон

Алгебраические многообразия локально определяются как общие нулевые множества многочленов, и поскольку многочлены над комплексными числами являются голоморфными функциями , алгебраические многообразия над C можно интерпретировать как аналитические пространства. Аналогично, регулярные морфизмы между многообразиями интерпретируются как голоморфные отображения между аналитическими пространствами. Несколько удивительно, что часто можно пойти другим путем, интерпретировать аналитические объекты алгебраическим способом.

Например, легко доказать, что аналитические функции из сферы Римана в себя являются либо рациональными функциями, либо тождественно бесконечной функцией (расширение теоремы Лиувилля ). Ведь если такая функция f непостоянна, то, поскольку множество z , где f(z) равно бесконечности, изолировано, а сфера Римана компактна, существует конечное число z с f(z), равным бесконечности. Рассмотрим разложение Лорана для всех таких z и вычтем сингулярную часть: у нас останется функция на сфере Римана со значениями в C , которая по теореме Лиувилля постоянна. Таким образом, f является рациональной функцией. Этот факт показывает, что нет существенной разницы между комплексной проективной прямой как алгебраическим многообразием или как сферой Римана .

Важные результаты

Существует долгая история сравнения результатов между алгебраической геометрией и аналитической геометрией, начиная с девятнадцатого века. Некоторые из наиболее важных достижений перечислены здесь в хронологическом порядке.

Теорема существования Римана

Теория римановой поверхности показывает, что компактная риманова поверхность имеет достаточно мероморфных функций на себе, что делает ее (гладкой проективной) алгебраической кривой . Под названием теоремы существования Римана ^{[4] [5] [6] [7]} был известен более глубокий результат о разветвленных покрытиях компактной римановой поверхности: такие конечные покрытия, как топологические пространства, классифицируются перестановочными представлениями фундаментальной группы дополнения точек ветвления . Поскольку свойство римановой поверхности локально, такие покрытия довольно легко увидеть как покрытия в комплексно-аналитическом смысле. Тогда можно заключить, что они происходят из накрывающих отображений алгебраических кривых, то есть все такие покрытия происходят из конечных расширений поля функций .

Принцип Лефшеца

В двадцатом веке принцип Лефшеца , названный в честь Соломона Лефшеца , цитировался в алгебраической геометрии для обоснования использования топологических методов в алгебраической геометрии над любым алгебраически замкнутым полем K характеристики 0, рассматривая K так, как если бы это было поле комплексных чисел. Его элементарная форма утверждает, что истинные утверждения теории полей первого порядка относительно C верны для любого алгебраически замкнутого поля K характеристики 0. Точный принцип и его доказательство принадлежат Альфреду Тарскому и основаны на математической логике . ^{[8] [9] [10]}

Этот принцип позволяет переносить некоторые результаты, полученные с использованием аналитических или топологических методов для алгебраических многообразий над C, на другие алгебраически замкнутые основные поля характеристики 0. (например, теорема об исчезновении типа Кодаиры . ^[11] )

Теорема Чжоу

Chow (1949), доказанный Вэй-Лян Чжоу , является примером наиболее непосредственно полезного вида сравнения из имеющихся. Он утверждает, что аналитическое подпространство комплексного проективного пространства , которое замкнуто (в обычном топологическом смысле), является алгебраическим подмногообразием. ^[12] Это можно перефразировать так: «любое аналитическое подпространство комплексного проективного пространства, которое замкнуто в сильной топологии, замкнуто в топологии Зарисского ». Это позволяет довольно свободно использовать комплексно-аналитические методы в классических частях алгебраической геометрии.

ГАГА

Основы для многих отношений между двумя теориями были заложены в начале 1950-х годов в рамках работы по созданию основ алгебраической геометрии, включающей, например, методы из теории Ходжа . Основной статьей, консолидирующей теорию, была работа Жана-Пьера Серра « Алгебрикская и аналитическая геометрия» ^[13] , теперь обычно называемая GAGA . Она доказывает общие результаты, связывающие классы алгебраических многообразий, регулярных морфизмов и пучков с классами аналитических пространств, голоморфных отображений и пучков. Она сводит все это к сравнению категорий пучков.

В настоящее время выражение « результат в стиле GAGA» используется для любой теоремы сравнения, позволяющей осуществить переход от категории объектов алгебраической геометрии и их морфизмов к четко определенной подкатегории объектов аналитической геометрии и голоморфных отображений.

Официальное заявление GAGA

1. Пусть — схема конечного типа над C. Тогда существует топологическое пространство X ^an , которое как множество состоит из замкнутых точек X с непрерывным отображением включения λ _X : X ^an → X. Топология на X ^an называется «комплексной топологией» (и сильно отличается от топологии подпространства). ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$
2. Предположим, что φ: X → Y — морфизм схем локально конечного типа над C. Тогда существует непрерывное отображение φ ^an : X ^an → Y ^an такое, что λ _Y ∘ φ ^an = φ ∘ λ _X .
3. Существует пучок на X ^an такой, что является окольцованным пространством, а λ _X : X ^an → X становится отображением окольцованных пространств. Пространство называется «аналитификацией» и является аналитическим пространством. Для каждого φ: X → Y отображение φ ^{an ,} определенное выше, является отображением аналитических пространств. Более того, отображение φ ↦ φ ^an отображает открытые погружения в открытые погружения. Если X = Spec( C [ x ₁ ,..., x _n ]), то X ^an = C ⁿ и для каждого полидиска U является подходящим фактором пространства голоморфных функций на U . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} }}$ ${\displaystyle (X^{\mathrm {an} },{\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} })}$ ${\displaystyle (X^{\mathrm {an} },{\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} })}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} }(U)}$
4. Для каждого пучка на X (называемого алгебраическим пучком) существует пучок на X ^an (называемый аналитическим пучком) и отображение пучков -модулей . Пучок определяется как . Соответствие определяет точный функтор из категории пучков в категорию пучков . Следующие два утверждения являются ядром теоремы Серра о GAGA ^{[14] [15]} (расширенной Александром Гротендиком , Амноном Ниманом и другими). ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle \lambda _{X}^{*}:{\mathcal {F}}\rightarrow (\lambda _{X})_{*}{\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }}$ ${\displaystyle \lambda _{X}^{-1}{\mathcal {F}}\otimes _{\lambda _{X}^{-1}{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\mapsto {\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle (X^{\mathrm {an} },{\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} })}$
   
5. Если f : X → Y — произвольный морфизм схем конечного типа над C и когерентен, то естественное отображение инъективно. Если f — собственное, то это отображение является изоморфизмом. В этом случае также имеются изоморфизмы всех высших прямых пучков образов. ^[16] ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle (f_{*}{\mathcal {F}})^{\mathrm {an} }\rightarrow f_{*}^{\mathrm {an} }{\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }}$ ${\displaystyle (R^{i}f_{*}{\mathcal {F}})^{\mathrm {an} }\cong R^{i}f_{*}^{\mathrm {an} }{\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }}$
6. Теперь предположим, что X an хаусдорфово и ^{компактно} . Если — два когерентных алгебраических пучка на и если — отображение пучков -модулей, то существует единственное отображение пучков -модулей с . Если — когерентный аналитический пучок -модулей над X ^an , то существует когерентный алгебраический пучок -модулей и изоморфизм . ${\displaystyle {\mathcal {F}},{\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle f\colon {\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }\rightarrow {\mathcal {G}}^{\mathrm {an} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle \varphi :{\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle f=\varphi ^{\mathrm {an} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }\cong {\mathcal {R}}}$

В несколько меньшей общности теорема GAGA утверждает, что категория когерентных алгебраических пучков на комплексном проективном многообразии X и категория когерентных аналитических пучков на соответствующем аналитическом пространстве X ^an эквивалентны. Аналитическое пространство X ^an получается грубо, если вернуть комплексную структуру из C ⁿ через координатные карты к X. Действительно, формулировка теоремы таким образом ближе по духу к работе Серра, поскольку полный схемно-теоретический язык, который в значительной степени использует приведенное выше формальное утверждение, еще не был изобретен к моменту публикации GAGA.

Смотрите также

• Плоский модуль - Понятие плоскостности было введено Серром (1956). Алгебраические и аналитические локальные кольца имеют одинаковое пополнение, и тем самым они становятся "плоской парой" (couple plat). ^[17]

Примечания

1. Зал 2023.
2. Серр 1955.
3. Реммерт 1994.
4. Грауэрт и Реммерт 1958.
5. Харбатер 2003.
6. Гротендик и Рейно 2002, EXPOSE XII, Теорема 5.1 («Теорема существования Римана»).
7. Хартсхорн 1977, Приложение B, Теорема 3.1 (Часть (b)) и 3.2.
8. Зайденберг 1958, Комментарии к принципу Лефшеца.
9. Фрей и Рюк 1986, Сильный принцип Лефшеца в алгебраической геометрии.
10. Кульманн 2001.
11. Кавамата, Мацуда и Мацуки 1987.
12. Хартшорн 1970.
13. Серр 1956.
14. Гротендик и Рейно 2002, РАЗОБЛАЧЕНИЕ XII..
15. Ниман 2007.
16. Гротендик и Рейно 2002, EXPOSE XII, 4. Теоремы сравнения когомологических и теории существования.
17. Хартшорн 2010.

Ссылки

• Чжоу, Вэй-Лян (1949). «О компактных комплексных аналитических многообразиях». Американский журнал математики . 71 (4): 893–914. doi :10.2307/2372375. JSTOR  2372375.
• Фрей, Герхард; Рюк, Ханс-Георг (1986). «Сильный принцип Лефшеца в алгебраической геометрии». Manuscripta Mathematica . 55 (3–4): 385–401. doi :10.1007/BF01186653. S2CID  122967192.
• Грауэрт, Ганс; Реммерт, Рейнхольд (1958). «Комплекс Ряуме». Математические Аннален . 136 (3): 245–318. дои : 10.1007/BF01362011. S2CID  121348794.
• Гротендик, А. «Sur les faisceaux algébriques et les faisceaux analytiques coherents». Семинар Анри Картана . 9 : 1–16.
• Гротендик, Александр; Рейно, Мишель (2002). «Revêtements étales et groupe Fondamental §XII. Алгебричная и аналитическая геометрия». Revêtements étales et groupe Fondamental (SGA 1) (на французском языке). arXiv : math/0206203 . дои : 10.1007/BFb0058656. ISBN 978-2-85629-141-2.
• Harbater, David (21 июля 2003 г.). "Galois Groups and Fundamental Groups§9.Patching and Galois theory (Dept. of Mathematics, University of Pennsylvania)" (PDF) . В Schneps, Leila (ред.). Galois Groups and Fundamental Groups. Cambridge University Press. ISBN 9780521808316.
• Холл, Джек (2023). «Теоремы ГАГА». Журнал Mathématiques Pures et Appliquées . 175 : 109–142. arXiv : 1804.01976 . дои : 10.1016/j.matpur.2023.05.004. S2CID  119702436.
• Кульман, Ф.-В. (2001) [1994], "Принцип переноса", Энциклопедия математики , EMS Press
• Ниман, Амнон (2007). Алгебраическая и аналитическая геометрия. doi :10.1017/CBO9780511800443. ISBN 9780511800443.
• Seidenberg, A. (1958). «Комментарии к принципу Лефшеца». The American Mathematical Monthly . 65 (9): 685–690. doi :10.1080/00029890.1958.11991979. JSTOR  2308709.
• Хартшорн, Робин (1970). Обильные подмногообразия алгебраических многообразий. Конспект лекций по математике. Том 156. doi :10.1007/BFb0067839. ISBN 978-3-540-05184-8.
• Hartshorne, Robin (1977). Алгебраическая геометрия. Graduate Texts in Mathematics. Том 52. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . doi :10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. МР  0463157. S2CID  197660097. Збл  0367.14001.
• Hartshorne, Robin (2010). «Деформации первого порядка». Теория деформаций. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 257. pp. 5–44. doi :10.1007/978-1-4419-1596-2_2. ISBN 978-1-4419-1595-5.
• Кавамата, Юджиро; Мацуда, Кацуми; Мацуки, Кендзи (1987). «Введение в задачу минимальной модели». Алгебраическая геометрия, Сендай, 1985. стр. 283–360. дои : 10.2969/aspm/01010283. ISBN 978-4-86497-068-6.
• Remmert, R. (1994). "Локальная теория комплексных пространств". Несколько комплексных переменных VII. Энциклопедия математических наук. Т. 74. С. 7–96. doi :10.1007/978-3-662-09873-8_2. ISBN 978-3-642-08150-7.
• Серр, Жан-Пьер (1955), «Faisceaux algébriques cohérents» (PDF) , Annals of Mathematics , 61 (2): 197–278, doi : 10.2307/1969915, JSTOR  1969915, MR  0068874
• Серр, Жан-Пьер (1956). «Алгебрическая и аналитическая геометрия». Анналы Института Фурье (на французском языке). 6 : 1–42. дои : 10.5802/aif.59 . ISSN  0373-0956. МР  0082175.
• Тейлор, Джозеф Л. (2002). Несколько комплексных переменных со связями с алгебраической геометрией и группами Ли . Американское математическое общество. ISBN 9780821831786.

Внешние ссылки

• Киран Кедлая. 18.726 Алгебраическая геометрия (LEC # 30 - 33 GAGA) Весна 2009 г. Массачусетский технологический институт: MIT OpenCourseWare Creative Commons BY-NC-SA .