Алгебраическая независимость

Набор без нетривиальных полиномиальных равенств

В абстрактной алгебре подмножество поля алгебраически независимо над подполем , если элементы не удовлетворяют никакому нетривиальному полиномиальному уравнению с коэффициентами в . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle K}$

В частности, множество с одним элементом алгебраически независимо над тогда и только тогда, когда оно трансцендентно над . В общем случае все элементы алгебраически независимого множества над по необходимости трансцендентны над , и над всеми расширениями полей над , порожденными оставшимися элементами . ${\displaystyle \{\alpha \}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle S}$

Пример

Два действительных числа и являются трансцендентными числами : они не являются корнями какого-либо нетривиального многочлена, коэффициенты которого являются рациональными числами . Таким образом, каждое из двух одноэлементных множеств и алгебраически независимо над полем рациональных чисел. ${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$ ${\displaystyle 2\pi +1}$ ${\displaystyle \{{\sqrt {\pi }}\}}$ ${\displaystyle \{2\pi +1\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Однако множество не является алгебраически независимым относительно рациональных чисел, поскольку нетривиальный многочлен ${\displaystyle \{{\sqrt {\pi }},2\pi +1\}}$

${\displaystyle P(x,y)=2x^{2}-y+1}$

равен нулю, когда и . ${\displaystyle x={\sqrt {\pi }}}$ ${\displaystyle y=2\pi +1}$

Алгебраическая независимость известных констант

Хотя известно, что и π , и e являются трансцендентными, неизвестно, является ли множество их обоих алгебраически независимым над . ^[1] Фактически, неизвестно даже, является ли иррациональным. ^[2] Нестеренко доказал в 1996 году, что: ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \pi +e}$

• числа , , и , где — гамма-функция , алгебраически независимы над . ^[3] ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle e^{\pi }}$ ${\displaystyle \Gamma (1/4)}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• числа и алгебраически независимы над . ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {3}}}}$ ${\displaystyle \Gamma (1/3)}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• для всех положительных целых чисел число алгебраически независимо над . ^[4] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {n}}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Результаты и открытые проблемы

Теорема Линдемана –Вейерштрасса часто может быть использована для доказательства того, что некоторые множества алгебраически независимы над . Она утверждает, что всякий раз, когда являются алгебраическими числами , которые линейно независимы над , то они также алгебраически независимы над . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle e^{\alpha _{1}},\ldots ,e^{\alpha _{n}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Более сильным инструментом является пока недоказанная гипотеза Шануэля , которая, если будет доказана, установила бы алгебраическую независимость многих чисел, включая π и e . Она задается формулой:

Пусть — любой набор комплексных чисел , линейно независимых над . Расширение поля имеет степень трансцендентности по крайней мере над . ${\displaystyle \{z_{1},...,z_{n}\}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (z_{1},...,z_{n},e^{z_{1}},...,e^{z_{n}})}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Алгебраические матроиды

Для заданного расширения поля , которое не является алгебраическим, лемму Цорна можно использовать для того, чтобы показать, что всегда существует максимальное алгебраически независимое подмножество над . Кроме того, все максимальные алгебраически независимые подмножества имеют одинаковую мощность , известную как степень трансцендентности расширения. ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K}$

Для каждого набора элементов , алгебраически независимые подмножества удовлетворяют аксиомам, которые определяют независимые множества матроида . В этом матроиде ранг набора элементов является его степенью трансцендентности, а плоскость, порожденная набором элементов, является пересечением с полем . Матроид, который может быть сгенерирован таким образом, называется алгебраическим матроидом . Хорошая характеристика алгебраических матроидов неизвестна, но известно, что некоторые матроиды являются неалгебраическими; наименьшим является матроид Вамоша . ^[5] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K[T]}$

Многие конечные матроиды могут быть представлены матрицей над полем , в которой элементы матроида соответствуют столбцам матрицы, а набор элементов независим, если соответствующий набор столбцов линейно независим . Каждый матроид с линейным представлением этого типа может быть также представлен как алгебраический матроид, выбрав неопределенность для каждой строки матрицы и используя матричные коэффициенты внутри каждого столбца, чтобы назначить каждому элементу матроида линейную комбинацию этих трансцендентов. Обратное неверно: не каждый алгебраический матроид имеет линейное представление. ^[6] ${\displaystyle K}$

Смотрите также

• Линейная независимость
• Трансцендентное число
• Теорема Линдемана-Вейерштрасса
• Гипотеза Шануэля

Ссылки

1. Патрик Моранди (1996). Теория поля и Галуа. Springer. стр. 174. ISBN 978-0-387-94753-2. Получено 11 апреля 2008 г. .
2. Грин, Бен (2008), «III.41 Иррациональные и трансцендентные числа», в Гауэрс, Тимоти (ред.), The Princeton Companion to Mathematics , Princeton University Press, стр. 222
3. Манин, Ю. И. ; Панчишкин, А. А. (2007). Введение в современную теорию чисел . Энциклопедия математических наук. Т. 49 (Второе изд.). С. 61. ISBN 978-3-540-20364-3. ISSN  0938-0396. Збл  1079.11002.
4. Нестеренко, Юрий В (1996). «Модульные функции и проблемы трансцендентности». Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I. 322 (10): 909–914.
5. Инглтон, AW; Мэйн, RA (1975), «Неалгебраические матроиды существуют», Бюллетень Лондонского математического общества , 7 (2): 144–146, doi :10.1112/blms/7.2.144, MR  0369110.
6. Джоши, КД (1997), Прикладные дискретные структуры, New Age International, стр. 909, ISBN 9788122408263.

Внешние ссылки

• Чен, Джонни. «Алгебраически независимый». MathWorld .