Аллегория (математика)

В математической области теории категорий аллегория — это категория , которая имеет часть структуры категории Rel множеств и бинарных отношений между ними. Аллегории могут использоваться как абстракция категорий отношений, и в этом смысле теория аллегорий является обобщением алгебры отношений на отношения между различными сортами . Аллегории также полезны при определении и исследовании некоторых конструкций в теории категорий, таких как точные завершения.

В этой статье мы принимаем соглашение, что морфизмы составляются справа налево, поэтому RS означает «сначала сделай S , затем сделай R ».

Определение

Аллегория — это категория , в которой

• каждый морфизм связан с антиинволюцией , т.е. морфизмом с и и ${\displaystyle R\colon X\to Y}$ ${\displaystyle R^{\circ }\colon Y\to X}$ ${\displaystyle R^{\circ \circ }=R}$ ${\displaystyle (RS)^{\circ }=S^{\circ }R^{\circ }{\text{;}}}$
• каждая пара морфизмов с общим доменом/кодоменом связана с пересечением , т.е. морфизмом ${\displaystyle R,S\colon X\to Y}$ ${\displaystyle R\cap S\colon X\to Y}$

все так, что

• Пересечения идемпотентны : коммутативны : и ассоциативны : ${\displaystyle R\cap R=R,}$ ${\displaystyle R\cap S=S\cap R,}$ ${\displaystyle (R\cap S)\cap T=R\cap (S\cap T);}$
• антиинволюция распределяется по пересечению: ${\displaystyle (R\cap S)^{\circ }=R^{\circ }\cap S^{\circ };}$
• композиция полудистрибутивна по пересечению: и и ${\displaystyle R(S\cap T)\subseteq RS\cap RT}$ ${\displaystyle (R\cap S)T\subseteq RT\cap ST;}$
• выполняется закон модульности: ${\displaystyle RS\cap T\subseteq (R\cap TS^{\circ })S.}$

Здесь мы сокращаем, используя порядок, определяемый пересечением: означает ${\displaystyle R\subseteq S}$ ${\displaystyle R=R\cap S.}$

Первым примером аллегории является категория множеств и отношений . Объектами этой аллегории являются множества, а морфизм — бинарное отношение между X и Y. Композиция морфизмов — это композиция отношений , а антиинволюция — это обратное отношение : тогда и только тогда, когда . Пересечение морфизмов — это (теоретико-множественное) пересечение отношений. ${\displaystyle X\to Y}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R^{\circ }}$ ${\displaystyle yR^{\circ }x}$ ${\displaystyle xRy}$

Регулярные категории и аллегории

Аллегории отношений в обычных категориях

В категории C отношение между объектами X и Y является промежутком морфизмов , который является совместно моническим . Два таких промежутка и считаются эквивалентными, когда существует изоморфизм между S и T , который делает все коммутирующим; строго говоря , отношения определены только с точностью до эквивалентности (формализовать это можно либо с помощью классов эквивалентности , либо с помощью бикатегорий ). Если категория C имеет произведения, отношение между X и Y является тем же самым, что и мономорфизм в X × Y (или класс эквивалентности такового). При наличии обратных образов и надлежащей системы факторизации можно определить композицию отношений. Композиция находится путем первого обратного промежутка , а затем взятия совместно-монического образа полученного промежутка ${\displaystyle X\gets R\to Y}$ ${\displaystyle X\gets S\to Y}$ ${\displaystyle X\gets T\to Y}$ ${\displaystyle X\gets R\to Y\gets S\to Z}$ ${\displaystyle R\to Y\gets S}$ ${\displaystyle X\gets R\gets \bullet \to S\to Z.}$

Композиция отношений будет ассоциативной, если система факторизации будет соответственно устойчивой. В этом случае можно рассмотреть категорию Rel( C ) с теми же объектами, что и C , но где морфизмы являются отношениями между объектами. Отношения тождественности являются диагоналями ${\displaystyle X\to X\times X.}$

Регулярная категория (категория с конечными пределами и образами, в которых покрытия устойчивы при оттягивании) имеет устойчивую регулярную эпи/моно факторизационную систему. Категория отношений для регулярной категории всегда является аллегорией. Антиинволюция определяется путем поворота источника/цели отношения, а пересечения являются пересечениями подобъектов , вычисляемыми при оттягивании.

Карты в аллегориях и таблицах

Морфизм R в аллегории A называется отображением, если он является целым и детерминированным. Другой способ сказать это состоит в том, что отображение является морфизмом, который имеет правый сопряженный в A , когда A рассматривается, используя структуру локального порядка, как 2-категория . Отображения в аллегории замкнуты относительно тождества и композиции. Таким образом, существует подкатегория Map( A ) категории A с теми же объектами, но только отображениями в качестве морфизмов. Для регулярной категории C существует изоморфизм категорий . В частности, морфизм в Map(Rel( Set )) является просто обычной функцией множества . ${\displaystyle (1\subseteq R^{\circ }R)}$ ${\displaystyle (RR^{\circ }\subseteq 1).}$ ${\displaystyle C\cong \operatorname {Map} (\operatorname {Rel} (C)).}$

В аллегории морфизм табулируется парой карт и , если и Аллегория называется табличной , если каждый морфизм имеет табуляцию. Для регулярной категории C аллегория Rel( C ) всегда табличная. С другой стороны, для любой табличной аллегории A , категория Map( A ) карт является локально регулярной категорией: она имеет обратные откаты, уравнители и образы, которые устойчивы относительно обратного отката. Этого достаточно для изучения отношений в Map( A ) , и в этой обстановке, ${\displaystyle R\colon X\to Y}$ ${\displaystyle f\colon Z\to X}$ ${\displaystyle g\colon Z\to Y}$ ${\displaystyle gf^{\circ }=R}$ ${\displaystyle f^{\circ }f\cap g^{\circ }g=1.}$ ${\displaystyle A\cong \operatorname {Rel} (\operatorname {Map} (A)).}$

Унитальные аллегории и регулярные категории карт

Единица в аллегории — это объект U , для которого тождество является наибольшим морфизмом и таким, что из любого другого объекта существует полное отношение к U. Аллегория с единицей называется единичной . Для табличной аллегории A категория Map( A ) является регулярной категорией (она имеет конечный объект ) тогда и только тогда, когда A единична. ${\displaystyle U\to U,}$

Более сложные виды аллегории

Дополнительные свойства аллегорий могут быть аксиоматизированы. Распределительные аллегории имеют операцию, подобную объединению , которая соответствующим образом хорошо себя ведет, а аллегории деления имеют обобщение операции деления алгебры отношений . Аллегории мощности являются аллегориями дистрибутивного деления с дополнительной структурой, подобной powerset . Связь между аллегориями и регулярными категориями может быть развита в связь между аллегориями мощности и топосами .

Ссылки

• Питер Фрейд , Андре Скедров (1990). Категории, Аллегории . Математическая библиотека, том 39. Северная Голландия . ISBN 978-0-444-70368-2.
• Питер Джонстон (2003). Эскизы слона: сборник теории топоса . Oxford Science Publications. OUP . ISBN 0-19-852496-X.