Альтернативы общей теории относительности

Предлагаемые теории гравитации

Альтернативы общей теории относительности — это физические теории , которые пытаются описать явление гравитации , конкурируя с общей теорией относительности Эйнштейна . Было много различных попыток построить идеальную теорию гравитации . ^[1]

Эти попытки можно разделить на четыре широкие категории в зависимости от их масштаба. В этой статье обсуждаются простые альтернативы общей теории относительности, которые не включают квантовую механику или объединение сил. Другие теории, которые пытаются построить теорию, используя принципы квантовой механики , известны как теории квантованной гравитации . В-третьих, есть теории, которые пытаются объяснить гравитацию и другие силы одновременно; они известны как классические единые теории поля . Наконец, самые амбициозные теории пытаются и поместить гравитацию в квантово-механические термины, и объединить силы; они называются теориями всего .

Ни одна из этих альтернатив общей теории относительности не получила широкого признания. Общая теория относительности выдержала множество проверок , ^{[2] [3]} оставаясь согласованной со всеми наблюдениями до сих пор. Напротив, многие из ранних альтернатив были окончательно опровергнуты. Однако некоторые из альтернативных теорий гравитации поддерживаются меньшинством физиков, и эта тема остается предметом интенсивного изучения в теоретической физике .

Обозначения в этой статье

${\displaystyle c\;}$- скорость света , - гравитационная постоянная . " Геометрические переменные " не используются. ${\displaystyle G\;}$

Латинские индексы идут от 1 до 3, греческие индексы идут от 0 до 3. Используется правило суммирования Эйнштейна .

${\displaystyle \eta _{\mu \nu }\;}$— метрика Минковского . — тензор, обычно метрический тензор . Они имеют сигнатуру (−,+,+,+). ${\displaystyle g_{\mu \nu }\;}$

Частичное дифференцирование записывается или . Ковариантное дифференцирование записывается или . ${\displaystyle \partial _{\mu }\varphi \;}$ ${\displaystyle \varphi _{,\mu }\;}$ ${\displaystyle \nabla _{\mu }\varphi \;}$ ${\displaystyle \varphi _{;\mu }\;}$

Общая теория относительности

Для сравнения с альтернативами формулы общей теории относительности ^{[4] [5]} таковы:

${\displaystyle \delta \int ds=0\,}$

${\displaystyle {ds}^{2}=g_{\mu \nu }\,dx^{\mu }\,dx^{\nu }\,}$

${\displaystyle R_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\left(T_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }T\right)\,}$

что также может быть написано

${\displaystyle T^{\mu \nu }={c^{4} \over 8\pi G}\left(R^{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }R\right)\,.}$

Действие Эйнштейна–Гильберта для общей теории относительности имеет вид:

${\displaystyle S={c^{4} \over 16\pi G}\int R{\sqrt {-g}}\ d^{4}x+S_{m}\,}$

где — гравитационная постоянная Ньютона, — кривизна Риччи пространства, — действие , обусловленное массой. ${\displaystyle G\,}$ ${\displaystyle R=R_{\mu }^{~\mu }\,}$ ${\displaystyle g=\det(g_{\mu \nu })\,}$ ${\displaystyle S_{m}\,}$

Общая теория относительности является тензорной теорией, все уравнения содержат тензоры. Теории Нордстрема, с другой стороны, являются скалярными теориями, поскольку гравитационное поле является скаляром. Другие предлагаемые альтернативы включают скалярно-тензорные теории, которые содержат скалярное поле в дополнение к тензорам общей теории относительности, а также другие варианты, содержащие также векторные поля, были разработаны недавно.

Классификация теорий

Теории гравитации можно условно разделить на несколько категорий. Большинство описанных здесь теорий имеют:

• « действие » (см. принцип наименьшего действия , вариационный принцип, основанный на концепции действия)
• плотность Лагранжа
• метрика​

Если теория имеет плотность Лагранжа для гравитации, скажем , , то гравитационная часть действия является интегралом от нее: ${\displaystyle L\,}$ ${\displaystyle S\,}$

${\displaystyle S=\int L{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x}$.

В этом уравнении обычно, хотя и не обязательно, иметь в пространственной бесконечности при использовании декартовых координат. Например, действие Эйнштейна–Гильберта использует ${\displaystyle g=-1\,}$

${\displaystyle L\,\propto \,R}$

где R — скалярная кривизна , мера кривизны пространства.

Почти каждая теория, описанная в этой статье, имеет действие. Это наиболее эффективный известный способ гарантировать, что необходимые законы сохранения энергии, импульса и момента импульса включены автоматически; хотя легко построить действие, где эти законы сохранения нарушаются. Канонические методы предоставляют другой способ построения систем, которые имеют требуемые законы сохранения, но этот подход более громоздкий для реализации. ^[6] Оригинальная версия MOND 1983 года не имела действия.

Несколько теорий имеют действие, но не плотность Лагранжа. Хороший пример — Уайтхед, ^[7] действие там называется нелокальным.

Теория гравитации является «метрической теорией» тогда и только тогда, когда ей можно дать математическое представление, в котором выполняются два условия: Условие
1 : существует симметричный метрический тензор сигнатуры (−, +, +, +), который управляет измерениями собственной длины и собственного времени обычным способом специальной и общей теории относительности: ${\displaystyle g_{\mu \nu }\,}$

${\displaystyle {d\tau }^{2}=-g_{\mu \nu }\,dx^{\mu }\,dx^{\nu }\,}$

где происходит суммирование по индексам и . Условие 2 : Напряженное вещество и поля, на которые действует гравитация, реагируют в соответствии с уравнением: ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle 0=\nabla _{\nu }T^{\mu \nu }={T^{\mu \nu }}_{,\nu }+\Gamma _{\sigma \nu }^{\mu }T^{\sigma \nu }+\Gamma _{\sigma \nu }^{\nu }T^{\mu \sigma }\,}$

где — тензор энергии-импульса для всех материальных и негравитационных полей, а — ковариантная производная по метрике, а — символ Кристоффеля . Тензор энергии-импульса также должен удовлетворять энергетическому условию . ${\displaystyle T^{\mu \nu }\,}$ ${\displaystyle \nabla _{\nu }}$ ${\displaystyle \Gamma _{\sigma \nu }^{\alpha }\,}$

Метрические теории включают в себя (от самых простых до самых сложных):

• Скалярные теории поля (включая конформно-плоские теории и стратифицированные теории с конформно-плоскими срезами пространства)
  • Бергман
  • Коулмэн
  • Эйнштейн (1912)
  • Теория Эйнштейна–Фоккера
  • Ли – Лайтман – Ни
  • Литтлвуд
  • Ни
  • Теория гравитации Нордстрёма (первая разработанная метрическая теория гравитации)
  • Пейдж–Таппер
  • Папапетру
  • Розен (1971)
  • Уитроу–Мордух
  • Теория гравитации Йылмаза (попытка исключить горизонты событий из теории).
• Квазилинейные теории (включая линейную фиксированную калибровку)
  • Боллини–Джамбиаджи–Тиомно
  • Дезер-Лоран
  • Теория гравитации Уайтхеда (предназначенная для использования только запаздывающих потенциалов )
• Тензорные теории
  • Общая теория относительности Эйнштейна
  • Гравитация четвертого порядка (позволяет лагранжиану зависеть от сокращений второго порядка тензора кривизны Римана)
  • f(R) гравитация (позволяет лагранжиану зависеть от более высоких степеней скаляра Риччи)
  • Гравитация Гаусса-Бонне
  • Теория гравитации Лавлока (позволяет лагранжиану зависеть от контракций более высокого порядка тензора кривизны Римана)
  • Бесконечная производная гравитации
• Скалярно-тензорные теории
  • Бекенштейн
  • Бергманн–Вагонер
  • Теория Бранса–Дикке (наиболее известная альтернатива общей теории относительности, призванная лучше применять принцип Маха)
  • Иордания
  • Нордтведт
  • Тридцать
  • Хамелеон
  • Давление
• Векторно-тензорные теории
  • Хеллингс –Нордтведт
  • Уилл – Нордтведт
• Биметрические теории
  • Лайтман – Ли
  • Расталл
  • Розен (1975)
• Другие метрические теории

(см. раздел Современные теории ниже)

Неметрические теории включают в себя

• Белинфанте–Суихарт
• Теория Эйнштейна-Картана (предназначенная для учета спин-орбитального обмена угловым моментом)
• Кустаанхеймо (1967)
• Телепараллелизм
• Калибровочная теория гравитации

Несколько слов о принципе Маха здесь уместно, поскольку некоторые из этих теорий опираются на принцип Маха (например, Уайтхед ^[7] ), и многие упоминают его мимоходом (например, Эйнштейн–Гроссман, ^[8] Бранс–Дикке ^[9] ). Принцип Маха можно считать промежуточным вариантом между Ньютоном и Эйнштейном. Он звучит так: ^[10]

• Ньютон: Абсолютное пространство и время .
• Мах: Система отсчета основана на распределении материи во Вселенной.
• Эйнштейн: Системы отсчёта не существует.

Теории с 1917 по 1980-е годы

На момент публикации в 17 веке теория гравитации Исаака Ньютона была самой точной теорией гравитации. С тех пор было предложено множество альтернатив. Теории, предшествовавшие формулировке общей теории относительности в 1915 году, обсуждаются в истории теории гравитации .

В этом разделе представлены альтернативы общей теории относительности, опубликованные после общей теории относительности, но до наблюдений за вращением галактик, которые привели к гипотезе « темной материи ». Рассматриваемые здесь альтернативы включают (см. Will ^{[11] [12]} Lang ^{[13] [14]} ):

Эти теории представлены здесь без космологической постоянной или добавленного скалярного или векторного потенциала, если не указано иное, по той простой причине, что необходимость в одном или обоих из них не была осознана до наблюдений сверхновых проектом Supernova Cosmology Project и группой поиска сверхновых High-Z . Как добавить космологическую постоянную или квинтэссенцию в теорию, обсуждается в разделе Современные теории (см. также действие Эйнштейна–Гильберта).

Теории скалярного поля

Скалярные теории поля Нордстрема ^{[50] [51]} уже обсуждались. Теории Литтлвуда, ^[23] Бергмана, ^[25] Йилмаза, ^[28] Уитроу и Мордуха ^{[30] [31]} и Пейджа и Таппера ^[35] следуют общей формуле, данной Пейджем и Таппером.

По мнению Пейджа и Таппера ^[35] , которые обсуждают все эти теории, за исключением Нордстрема ^[51], общая скалярная теория поля исходит из принципа наименьшего действия:

${\displaystyle \delta \int f\left({\tfrac {\varphi }{c^{2}}}\right)\,ds=0}$

где скалярное поле,

${\displaystyle \varphi ={\frac {GM}{r}}}$

и c может зависеть или не зависеть от . ${\displaystyle \varphi }$

В Нордстреме, ^[50]

${\displaystyle f(\varphi /c^{2})=\exp(-\varphi /c^{2}),\qquad c=c_{\infty }}$

В Литтлвуде ^[23] и Бергманне ^[25]

${\displaystyle f\left({\frac {\varphi }{c^{2}}}\right)=\exp \left(-{\frac {\varphi }{c^{2}}}-{\frac {(c/\varphi ^{2})^{2}}{2}}\right)\qquad c=c_{\infty }\,}$

В работе Уитроу и Мордуха ^[30]

${\displaystyle f\left({\frac {\varphi }{c^{2}}}\right)=1,\qquad c^{2}=c_{\infty }^{2}-2\varphi \,}$

В Уитроу и Мордухе, ^[31]

${\displaystyle f\left({\frac {\varphi }{c^{2}}}\right)=\exp \left(-{\frac {\varphi }{c^{2}}}\right),\qquad c^{2}=c_{\infty }^{2}-2\varphi \,}$

В книге Пейджа и Таппера ^[35]

${\displaystyle f\left({\frac {\varphi }{c^{2}}}\right)={\frac {\varphi }{c^{2}}}+\alpha \left({\frac {\varphi }{c^{2}}}\right)^{2},\qquad {\frac {c_{\infty }^{2}}{c^{2}}}=1+4\left({\frac {\varphi }{c_{\infty }^{2}}}\right)+(15+2\alpha )\left({\frac {\varphi }{c_{\infty }^{2}}}\right)^{2}}$

Пейдж и Таппер ^[35] соответствуют теории Йилмаза ^[28] до второго порядка, когда . ${\displaystyle \alpha =-7/2}$

Гравитационное отклонение света должно быть равно нулю, когда c постоянно. Учитывая, что переменная c и нулевое отклонение света противоречат эксперименту, перспектива успешной скалярной теории гравитации выглядит крайне маловероятной. Кроме того, если параметры скалярной теории скорректированы так, что отклонение света является правильным, то гравитационное красное смещение, скорее всего, будет неверным.

Ni ^[12] обобщил некоторые теории и создал еще две. В первой из них существующее специальное относительное пространство-время и универсальная временная координата действуют с материей и негравитационными полями, создавая скалярное поле. Это скалярное поле действует вместе со всеми остальными, создавая метрику.

Действие следующее:

${\displaystyle S={1 \over 16\pi G}\int d^{4}x{\sqrt {-g}}L_{\varphi }+S_{m}}$

${\displaystyle L_{\varphi }=\varphi R-2g^{\mu \nu }\,\partial _{\mu }\varphi \,\partial _{\nu }\varphi }$

Мизнер и др. ^[52] дают это без термина. является действием материи. ${\displaystyle \varphi R}$ ${\displaystyle S_{m}}$

${\displaystyle \Box \varphi =4\pi T^{\mu \nu }\left[\eta _{\mu \nu }e^{-2\varphi }+\left(e^{2\varphi }+e^{-2\varphi }\right)\,\partial _{\mu }t\,\partial _{\nu }t\right]}$

t — универсальная временная координата. Эта теория является самосогласованной и полной. Но движение солнечной системы через вселенную приводит к серьезным разногласиям с экспериментом.

Во второй теории Ni ^[12] имеются две произвольные функции и , которые связаны с метрикой соотношением: ${\displaystyle f(\varphi )}$ ${\displaystyle k(\varphi )}$

${\displaystyle ds^{2}=e^{-2f(\varphi )}dt^{2}-e^{2f(\varphi )}\left[dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\right]}$

${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }\varphi =4\pi \rho ^{*}k(\varphi )}$

Ни ^[12] цитирует Розена ^[40] , который утверждает, что имеет два скалярных поля , связанных с метрикой следующим образом: ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle ds^{2}=\varphi ^{2}\,dt^{2}-\psi ^{2}\left[dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\right]}$

В работе Папапетру ^[21] гравитационная часть лагранжиана имеет вид:

${\displaystyle L_{\varphi }=e^{\varphi }\left({\tfrac {1}{2}}e^{-\varphi }\,\partial _{\alpha }\varphi \,\partial _{\alpha }\varphi +{\tfrac {3}{2}}e^{\varphi }\,\partial _{0}\varphi \,\partial _{0}\varphi \right)}$

В Papapetrou ^[22] есть второе скалярное поле . Гравитационная часть лагранжиана теперь: ${\displaystyle \chi }$

${\displaystyle L_{\varphi }=e^{{\frac {1}{2}}(3\varphi +\chi )}\left(-{\tfrac {1}{2}}e^{-\varphi }\,\partial _{\alpha }\varphi \,\partial _{\alpha }\varphi -e^{-\varphi }\,\partial _{\alpha }\varphi \,\partial _{\chi }\varphi +{\tfrac {3}{2}}e^{-\chi }\,\partial _{0}\varphi \,\partial _{0}\varphi \right)\,}$

Биметрические теории

Биметрические теории содержат как нормальную тензорную метрику, так и метрику Минковского (или метрику постоянной кривизны), а также могут содержать другие скалярные или векторные поля.

Розен ^[53] (1975) биметрическая теория Действие:

${\displaystyle S={1 \over 64\pi G}\int d^{4}x\,{\sqrt {-\eta }}\eta ^{\mu \nu }g^{\alpha \beta }g^{\gamma \delta }(g_{\alpha \gamma |\mu }g_{\alpha \delta |\nu }-\textstyle {\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta |\mu }g_{\gamma \delta |\nu })+S_{m}}$

${\displaystyle \Box _{\eta }g_{\mu \nu }-g^{\alpha \beta }\eta ^{\gamma \delta }g_{\mu \alpha |\gamma }g_{\nu \beta |\delta }=-16\pi G{\sqrt {g/\eta }}(T_{\mu \nu }-\textstyle {\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }T)\,}$

Лайтман–Ли ^[45] разработал метрическую теорию, основанную на неметрической теории Белинфанте и Суихарта. ^{[26] [27]} Результат известен как теория BSLL. Дано тензорное поле , , и две константы и действие: ${\displaystyle B_{\mu \nu }\,}$ ${\displaystyle B=B_{\mu \nu }\eta ^{\mu \nu }\,}$ ${\displaystyle a\,}$ ${\displaystyle f\,}$

${\displaystyle S={1 \over 16\pi G}\int d^{4}x{\sqrt {-\eta }}(aB^{\mu \nu |\alpha }B_{\mu \nu |\alpha }+fB_{,\alpha }B^{,\alpha })+S_{m}}$

а тензор энергии-напряжения получается из:

${\displaystyle a\Box _{\eta }B^{\mu \nu }+f\eta ^{\mu \nu }\Box _{\eta }B=-4\pi G{\sqrt {g/\eta }}\,T^{\alpha \beta }\left({\frac {\partial g_{\alpha \beta }}{\partial B_{\mu }\nu }}\right)}$

В Расталле ^[49] метрика является алгебраической функцией метрики Минковского и векторного поля. ^[54] Действие:

${\displaystyle S={1 \over 16\pi G}\int d^{4}x\,{\sqrt {-g}}F(N)K^{\mu ;\nu }K_{\mu ;\nu }+S_{m}}$

где

${\displaystyle F(N)=-{\frac {N}{2+N}}}$ и ${\displaystyle N=g^{\mu \nu }K_{\mu }K_{\nu }\;}$

(см. Уравнение поля для и в работе Уилла ^[11] ). ${\displaystyle T^{\mu \nu }\;}$ ${\displaystyle K_{\mu }\;}$

Квазилинейные теории

В Уайтхеде ^[7] физическая метрика построена ( Сингом ) алгебраически из метрики Минковского и материальных переменных, так что она даже не имеет скалярного поля. Конструкция такова: ${\displaystyle g\;}$ ${\displaystyle \eta \;}$

${\displaystyle g_{\mu \nu }(x^{\alpha })=\eta _{\mu \nu }-2\int _{\Sigma ^{-}}{y_{\mu }^{-}y_{\nu }^{-} \over (w^{-})^{3}}\left[{\sqrt {-g}}\rho u^{\alpha }\,d\Sigma _{\alpha }\right]^{-}}$

где верхний индекс (−) указывает величины, оцененные вдоль светового конуса прошлого точки поля и ${\displaystyle \eta \;}$ ${\displaystyle x^{\alpha }\;}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(y^{\mu })^{-}&=x^{\mu }-(x^{\mu })^{-},\qquad (y^{\mu })^{-}(y_{\mu })^{-}=0,\\[5pt]w^{-}&=(y^{\mu })^{-}(u_{\mu })^{-},\qquad (u_{\mu })={\frac {dx^{\mu }}{d\sigma }},\\[5pt]d\sigma ^{2}&=\eta _{\mu \nu }\,dx^{\mu }\,dx^{\nu }\end{aligned}}}$

Тем не менее, метрическая конструкция (из неметрической теории), использующая анзац «сокращение длины», подвергается критике. ^[55]

Дезер и Лоран ^[34] и Боллини–Джамбиаджи–Тиомно ^[37] являются теориями с фиксированной калибровкой. Используя подход из квантовой теории поля, объедините пространство-время Минковского с калибровочно-инвариантным действием тензорного поля спина два (т.е. гравитона), чтобы определить ${\displaystyle h_{\mu \nu }\;}$

${\displaystyle g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+h_{\mu \nu }\;}$

Действие следующее:

${\displaystyle S={1 \over 16\pi G}\int d^{4}x{\sqrt {-\eta }}\left[2h_{|\nu }^{\mu \nu }h_{\mu \lambda }^{|\lambda }-2h_{|\nu }^{\mu \nu }h_{\lambda |\mu }^{\lambda }+h_{\nu |\mu }^{\nu }h_{\lambda }^{\lambda |\mu }-h^{\mu \nu |\lambda }h_{\mu \nu |\lambda }\right]+S_{m}\;}$

Тождество Бьянки, связанное с этой частичной калибровочной инвариантностью, неверно. Линейные теории фиксированной калибровки стремятся исправить это, нарушая калибровочную инвариантность гравитационного воздействия посредством введения вспомогательных гравитационных полей, которые связываются с . ${\displaystyle h_{\mu \nu }\;}$

Космологическую постоянную можно ввести в квазилинейную теорию простым способом замены фона Минковского на пространство-время де Ситтера или анти-де Ситтера , как предложил Г. Темпл в 1923 году. Предложения Темпла о том, как это сделать, были раскритикованы К. Б. Рейнером в 1955 году. ^[56]

Тензорные теории

Общая теория относительности Эйнштейна — это простейшая правдоподобная теория гравитации, которая может быть основана только на одном симметричном тензорном поле ( метрическом тензоре ). Другие включают: гравитацию Старобинского (R+R^2), гравитацию Гаусса–Бонне , f(R) гравитацию и теорию гравитации Лавлока .

Старобинский

Гравитация Старобинского, предложенная Алексеем Старобинским, имеет лагранжиан

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\sqrt {-g}}\left[R+{\frac {R^{2}}{6M^{2}}}\right]}$

и использовался для объяснения инфляции в форме инфляции Старобинского . Здесь есть константа. ${\displaystyle M}$

Гаусс–Бонне

Гравитация Гаусса-Бонне имеет действие

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\sqrt {-g}}\left[R+R^{2}-4R^{\mu \nu }R_{\mu \nu }+R^{\mu \nu \rho \sigma }R_{\mu \nu \rho \sigma }\right].}$

где коэффициенты дополнительных членов выбираются таким образом, что действие сводится к общей теории относительности в 4 пространственно-временных измерениях, а дополнительные члены становятся нетривиальными только при введении большего количества измерений.

4-я производная гравитации Стелле

4-я производная гравитации Стелле, которая является обобщением гравитации Гаусса–Бонне, имеет действие

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\sqrt {-g}}\left[R+f_{1}R^{2}+f_{2}R^{\mu \nu }R_{\mu \nu }+f_{3}R^{\mu \nu \rho \sigma }R_{\mu \nu \rho \sigma }\right].}$

ф(Р)

f(R) гравитация имеет действие

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\sqrt {-g}}f(R)}$

и представляет собой семейство теорий, каждая из которых определяется своей функцией скаляра Риччи. Гравитация Старобинского на самом деле является теорией. ${\displaystyle f(R)}$

Бесконечная производная гравитации

Гравитация с бесконечной производной — это ковариантная теория гравитации, квадратичная по кривизне, свободная от кручения и инвариантная по четности, ^[57]

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\sqrt {-g}}\left[M_{p}^{2}R+Rf_{1}\left({\frac {\Box }{M_{s}^{2}}}\right)R+R^{\mu \nu }f_{2}\left({\frac {\Box }{M_{s}^{2}}}\right)R_{\mu \nu }+R^{\mu \nu \rho \sigma }f_{3}\left({\frac {\Box }{M_{s}^{2}}}\right)R_{\mu \nu \rho \sigma }\right].}$

и

${\displaystyle 2f_{1}\left({\frac {\Box }{M_{s}^{2}}}\right)+f_{2}\left({\frac {\Box }{M_{s}^{2}}}\right)+2f_{3}\left({\frac {\Box }{M_{s}^{2}}}\right)=0,}$

для того, чтобы убедиться, что только безмассовые компоненты спина −2 и спина −0 распространяются в пропагаторе гравитона вокруг фона Минковского. Действие становится нелокальным за пределами масштаба и восстанавливается до общей теории относительности в инфракрасном диапазоне для энергий ниже нелокального масштаба . В ультрафиолетовом режиме, на расстояниях и временных масштабах ниже нелокального масштаба, гравитационное взаимодействие ослабевает достаточно, чтобы разрешить точечную сингулярность, что означает, что сингулярность Шварцшильда может быть потенциально разрешена в бесконечных производных теориях гравитации . ${\displaystyle M_{s}}$ ${\displaystyle M_{s}}$ ${\displaystyle M_{s}^{-1}}$

Лавлок

Гравитация Лавлока имеет действие

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\sqrt {-g}}\ (\alpha _{0}+\alpha _{1}R+\alpha _{2}\left(R^{2}+R_{\alpha \beta \mu \nu }R^{\alpha \beta \mu \nu }-4R_{\mu \nu }R^{\mu \nu }\right)+\alpha _{3}{\mathcal {O}}(R^{3})),}$

и может рассматриваться как обобщение общей теории относительности.

Скалярно-тензорные теории

Все они содержат по крайней мере один свободный параметр, в отличие от общей теории относительности, в которой свободных параметров нет.

Хотя обычно не считается скалярно-тензорной теорией гравитации, метрика 5 на 5 Калуцы–Клейна сводится к метрике 4 на 4 и одному скаляру. Таким образом, если 5-й элемент рассматривать как скалярное гравитационное поле вместо электромагнитного поля, то Калуцу–Клейна можно считать прародителем скалярно-тензорных теорий гравитации. Это было признано Тири. ^[20]

Скалярно-тензорные теории включают Тири, ^[20] Джордана, ^[24] Бранса и Дике, ^[9] Бергмана, ^[36] Нордтвельдта (1970), Вагонера, ^[39] Бекенштейна ^[47] и Баркера. ^[48]

Действие основано на интеграле Лагранжиана . ${\displaystyle S\;}$ ${\displaystyle L_{\varphi }\;}$

${\displaystyle S={1 \over 16\pi G}\int d^{4}x{\sqrt {-g}}L_{\varphi }+S_{m}\;}$

${\displaystyle L_{\varphi }=\varphi R-{\omega (\varphi ) \over \varphi }g^{\mu \nu }\,\partial _{\mu }\varphi \,\partial _{\nu }\varphi +2\varphi \lambda (\varphi )\;}$

${\displaystyle S_{m}=\int d^{4}x\,{\sqrt {g}}\,G_{N}L_{m}\;}$

${\displaystyle T^{\mu \nu }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {2 \over {\sqrt {g}}}{\delta S_{m} \over \delta g_{\mu \nu }}}$

где — это различные безразмерные функции для каждой отдельной скалярно-тензорной теории. Функция играет ту же роль, что и космологическая постоянная в общей теории относительности. — это безразмерная нормировочная константа, которая фиксирует современное значение . Для скаляра можно добавить произвольный потенциал. ${\displaystyle \omega (\varphi )\;}$ ${\displaystyle \lambda (\varphi )\;}$ ${\displaystyle G_{N}\;}$ ${\displaystyle G\;}$

Полная версия сохранена у Бергмана ^[36] и Вагонера. ^[39] Особые случаи:

Нордтведт, ^[38] ${\displaystyle \lambda =0\;}$

Поскольку в то время считалось, что это равно нулю, это не считалось существенной разницей. Роль космологической постоянной в более современных работах обсуждается в разделе Космологическая постоянная. ${\displaystyle \lambda }$

Бранса–Дике, ^[9] постоянна ${\displaystyle \omega \;}$

Бекенштейн ^[47] теория переменной массы Начиная с параметров и , найденных из космологического решения, определяет функцию , затем ${\displaystyle r\;}$ ${\displaystyle q\;}$ ${\displaystyle \varphi =[1-qf(\varphi )]f(\varphi )^{-r}\;}$ ${\displaystyle f\;}$

${\displaystyle \omega (\varphi )=-\textstyle {\frac {3}{2}}-\textstyle {\frac {1}{4}}f(\varphi )[(1-6q)qf(\varphi )-1][r+(1-r)qf(\varphi )]^{-2}\;}$

Баркер ^[48] теория постоянной G

${\displaystyle \omega (\varphi )={\frac {4-3\varphi }{2\varphi -2}}}$

Корректировка позволяет скалярным тензорным теориям стремиться к общей теории относительности в пределе в текущей эпохе. Однако в ранней Вселенной могут быть существенные отличия от общей теории относительности. ${\displaystyle \omega (\varphi )\;}$ ${\displaystyle \omega \rightarrow \infty \;}$

Пока общая теория относительности подтверждается экспериментом, общие скалярно-тензорные теории (включая теорию Бранса–Дикке ^[9] ) никогда не могут быть полностью исключены, но поскольку эксперименты продолжают более точно подтверждать общую теорию относительности, параметры должны быть точно настроены, чтобы предсказания более точно соответствовали предсказаниям общей теории относительности.

Приведенные выше примеры являются частными случаями теории Хорндески , ^{[58] [59]} наиболее общего лагранжиана, построенного из метрического тензора и скалярного поля, приводящего к уравнениям движения второго порядка в 4-мерном пространстве. Было показано, что существуют жизнеспособные теории за пределами Хорндески (с уравнениями движения более высокого порядка). ^{[60] [61] [62]}

Векторно-тензорные теории

Прежде чем мы начнем, Уилл (2001) сказал: «Многие альтернативные метрические теории, разработанные в 1970-х и 1980-х годах, можно рассматривать как теории «соломенного чучела», придуманные для доказательства того, что такие теории существуют, или для иллюстрации определенных свойств. Немногие из них можно рассматривать как хорошо мотивированные теории с точки зрения, скажем, теории поля или физики элементарных частиц. Примерами являются векторно-тензорные теории, изученные Уиллом, Нордтведтом и Хеллингсом».

Hellings и Nordtvedt ^[44] и Will и Nordtvedt ^[43] являются векторно-тензорными теориями. В дополнение к метрическому тензору существует времениподобное векторное поле Гравитационное действие равно: ${\displaystyle K_{\mu }.}$

${\displaystyle S={\frac {1}{16\pi G}}\int d^{4}x{\sqrt {-g}}\left[R+\omega K_{\mu }K^{\mu }R+\eta K^{\mu }K^{\nu }R_{\mu \nu }-\epsilon F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }+\tau K_{\mu ;\nu }K^{\mu ;\nu }\right]+S_{m}}$

где константы и ${\displaystyle \omega ,\eta ,\epsilon ,\tau }$

${\displaystyle F_{\mu \nu }=K_{\nu ;\mu }-K_{\mu ;\nu }.}$(См. Уравнения поля для и в работе ^[11] ) ${\displaystyle T^{\mu \nu }}$ ${\displaystyle K_{\mu }.}$

Уилл и Нордтведт ^[43] — это особый случай, когда

${\displaystyle \omega =\eta =\epsilon =0;\quad \tau =1}$

Хеллингс и Нордтведт ^[44] — это особый случай, когда

${\displaystyle \tau =0;\quad \epsilon =1;\quad \eta =-2\omega }$

Эти векторно-тензорные теории являются полуконсервативными, что означает, что они удовлетворяют законам сохранения импульса и момента импульса, но могут иметь эффекты предпочтительной системы отсчета. Когда они сводятся к общей теории относительности, то, пока общая теория относительности подтверждается экспериментом, общие векторно-тензорные теории никогда не могут быть исключены. ${\displaystyle \omega =\eta =\epsilon =\tau =0}$

Другие метрические теории

Были предложены и другие метрические теории; теория Бекенштейна ^[63] обсуждается в разделе «Современные теории».

Неметрические теории

Теория Картана особенно интересна как потому, что это неметрическая теория, так и потому, что она такая старая. Статус теории Картана неопределен. Уилл ^[11] утверждает, что все неметрические теории устраняются принципом эквивалентности Эйнштейна. Уилл (2001) смягчает это, объясняя экспериментальные критерии проверки неметрических теорий с помощью принципа эквивалентности Эйнштейна. Мизнер и др. ^[52] утверждают, что теория Картана является единственной неметрической теорией, которая выдержала все экспериментальные проверки до того времени, а Турышев ^[64] перечисляет теорию Картана среди немногих, которые выдержали все экспериментальные проверки до того времени. Ниже приводится краткий набросок теории Картана, переформулированной Траутманом. ^[65]

Картан ^{[15] [16]} предложил простое обобщение теории гравитации Эйнштейна. Он предложил модель пространства-времени с метрическим тензором и линейной «связью», совместимой с метрикой, но не обязательно симметричной. Тензор кручения связи связан с плотностью собственного углового момента. Независимо от Картана, похожие идеи были выдвинуты Скиамой, Кибблом в 1958-1966 годах, достигнув кульминации в обзоре 1976 года Хеля и др.

Первоначальное описание дано в терминах дифференциальных форм, но в данной статье оно заменено более привычным языком тензоров (рискуя потерю точности). Как и в общей теории относительности, лагранжиан состоит из безмассовой и массовой частей. Лагранжиан для безмассовой части имеет вид:

${\displaystyle {\begin{aligned}L&={1 \over 32\pi G}\Omega _{\nu }^{\mu }g^{\nu \xi }x^{\eta }x^{\zeta }\varepsilon _{\xi \mu \eta \zeta }\\[5pt]\Omega _{\nu }^{\mu }&=d\omega _{\nu }^{\mu }+\omega _{\xi }^{\eta }\\[5pt]\nabla x^{\mu }&=-\omega _{\nu }^{\mu }x^{\nu }\end{aligned}}}$

Это линейная связь. Это полностью антисимметричный псевдотензор ( символ Леви-Чивиты ) с , и это метрический тензор, как обычно. Предположив, что линейная связь является метрической, можно устранить нежелательную свободу, присущую неметрической теории. Тензор энергии-напряжения вычисляется из: ${\displaystyle \omega _{\nu }^{\mu }\;}$ ${\displaystyle \varepsilon _{\xi \mu \eta \zeta }\;}$ ${\displaystyle \varepsilon _{0123}={\sqrt {-g}}\;}$ ${\displaystyle g^{\nu \xi }\,}$

${\displaystyle T^{\mu \nu }={1 \over 16\pi G}(g^{\mu \nu }\eta _{\eta }^{\xi }-g^{\xi \mu }\eta _{\eta }^{\nu }-g^{\xi \nu }\eta _{\eta }^{\mu })\Omega _{\xi }^{\eta }\;}$

Кривизна пространства не является римановой, но в римановом пространстве-времени лагранжиан сводится к лагранжиану общей теории относительности.

Некоторые уравнения неметрической теории Белинфанте и Свихарта ^{[26] [27]} уже обсуждались в разделе о биметрических теориях.

Отличительной неметрической теорией является калибровочная теория гравитации , которая заменяет метрику в своих полевых уравнениях парой калибровочных полей в плоском пространстве-времени. С одной стороны, теория довольно консервативна, поскольку она по существу эквивалентна теории Эйнштейна–Картана (или общей теории относительности в пределе исчезающего спина), отличаясь в основном природой своих глобальных решений. С другой стороны, она радикальна, поскольку заменяет дифференциальную геометрию геометрической алгеброй .

Современные теории с 1980-х годов по настоящее время

В этот раздел включены альтернативы общей теории относительности, опубликованные после наблюдений за вращением галактик, которые привели к гипотезе «темной материи». Не существует известного надежного списка сравнений этих теорий. Рассматриваемые здесь теории включают: Бекенштейн, ^[63] Моффат, ^[66] Моффат, ^[67] Моффат. ^{[68] [69]} Эти теории представлены с космологической постоянной или добавленным скалярным или векторным потенциалом.

Мотивации

Мотивации для более поздних альтернатив общей теории относительности почти все космологические, связанные с такими конструкциями, как «инфляция», «темная материя» и «темная энергия», или заменяющие их. Основная идея заключается в том, что гравитация согласуется с общей теорией относительности в настоящую эпоху, но могла быть совершенно иной в ранней Вселенной.

В 1980-х годах в мире физики постепенно начало проясняться понимание того, что в тогдашнем сценарии большого взрыва было несколько проблем, включая проблему горизонта и наблюдение, что в ранние времена, когда кварки только формировались, во вселенной не было достаточно места, чтобы вместить хотя бы один кварк. Для преодоления этих трудностей была разработана теория инфляции. Другой альтернативой было построение альтернативы общей теории относительности, в которой скорость света была выше в ранней вселенной. Открытие неожиданных кривых вращения галактик застало всех врасплох. Может ли быть во вселенной больше массы, чем мы знаем, или сама теория гравитации неверна? Сейчас консенсус заключается в том, что недостающая масса — это «холодная темная материя», но этот консенсус был достигнут только после попытки альтернатив общей теории относительности, и некоторые физики до сих пор верят, что альтернативные модели гравитации могут содержать ответ.

В 1990-х годах исследования сверхновых обнаружили ускоренное расширение Вселенной, которое теперь обычно приписывают темной энергии . Это привело к быстрому восстановлению космологической постоянной Эйнштейна, и квинтэссенция появилась как альтернатива космологической постоянной. По крайней мере одна новая альтернатива общей теории относительности попыталась объяснить результаты исследований сверхновых совершенно иным образом. Измерение скорости гравитации с помощью гравитационно-волнового события GW170817 исключило многие альтернативные теории гравитации как объяснения ускоренного расширения. ^{[70] [71] [72]} Еще одно наблюдение, которое вызвало недавний интерес к альтернативам общей теории относительности, — это аномалия Пионера . Было быстро обнаружено, что альтернативы общей теории относительности могут объяснить эту аномалию. Сейчас считается, что это объясняется неоднородным тепловым излучением.

Космологическая постоянная и квинтэссенция

Космологическая постоянная — очень старая идея, восходящая к Эйнштейну в 1917 году. ^[5] Успех модели Вселенной Фридмана привел к всеобщему признанию того, что она равна нулю, но использование ненулевого значения вернулось, когда данные по сверхновым указали на то, что расширение Вселенной ускоряется. ^{[ необходима цитата ]} ${\displaystyle \Lambda \;}$ ${\displaystyle \Lambda =0\;}$

В ньютоновской гравитации добавление космологической постоянной изменяет уравнение Ньютона–Пуассона с:

${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =4\pi \rho \ G;}$

к

${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi +{\frac {1}{2}}\Lambda c^{2}=4\pi \rho \ G;}$

В общей теории относительности это изменяет действие Эйнштейна–Гильберта с

${\displaystyle S={1 \over 16\pi G}\int R{\sqrt {-g}}\,d^{4}x\,+S_{m}\;}$

к

${\displaystyle S={1 \over 16\pi G}\int (R-2\Lambda ){\sqrt {-g}}\,d^{4}x\,+S_{m}\;}$

что изменяет уравнение поля с:

${\displaystyle T^{\mu \nu }={1 \over 8\pi G}\left(R^{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }R\right)\;}$

к:

${\displaystyle T^{\mu \nu }={1 \over 8\pi G}\left(R^{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }R+g^{\mu \nu }\Lambda \right)\;}$

В альтернативных теориях гравитации к действию можно добавить космологическую постоянную таким же образом.

В более общем смысле скалярный потенциал может быть добавлен к скалярным тензорным теориям. Это можно сделать в любой альтернативе общей теории относительности, содержащей скалярное поле , добавив член внутри лагранжиана для гравитационной части действия, часть ${\displaystyle \lambda (\varphi )\;}$ ${\displaystyle \varphi \;}$ ${\displaystyle \lambda (\varphi )\;}$ ${\displaystyle L_{\varphi }\;}$

${\displaystyle S={1 \over 16\pi G}\int d^{4}x\,{\sqrt {-g}}\,L_{\varphi }+S_{m}\;}$

Поскольку это произвольная функция скалярного поля, а не константа, ее можно задать так, чтобы она давала ускорение, которое было большим в ранней Вселенной и малым в настоящую эпоху. Это известно как квинтэссенция. ${\displaystyle \lambda (\varphi )\;}$

Похожий метод может быть использован в альтернативах общей теории относительности, которые используют векторные поля, включая теории Расталла ^[49] и векторно-тензорные теории. Член, пропорциональный

${\displaystyle K^{\mu }K^{\nu }g_{\mu \nu }\;}$

добавляется к лагранжиану для гравитационной части действия.

Теории Фарнса

В декабре 2018 года астрофизик Джейми Фарнс из Оксфордского университета предложил теорию темной жидкости , связанную с представлениями о гравитационно отталкивающих отрицательных массах, которые были представлены ранее Альбертом Эйнштейном . Теория может помочь лучше понять значительные объемы неизвестной темной материи и темной энергии во Вселенной . ^[73]

Теория опирается на концепцию отрицательной массы и заново вводит тензор создания Фреда Хойла , чтобы разрешить создание материи только для частиц отрицательной массы. Таким образом, частицы отрицательной массы окружают галактики и оказывают на них давление, тем самым напоминая темную материю. Поскольку эти гипотетические частицы взаимно отталкиваются друг от друга, они раздвигают Вселенную, тем самым напоминая темную энергию. Создание материи позволяет плотности экзотических частиц отрицательной массы оставаться постоянной как функция времени, и поэтому выглядит как космологическая постоянная . Уравнения поля Эйнштейна модифицируются следующим образом:

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\left(T_{\mu \nu }^{+}+T_{\mu \nu }^{-}+C_{\mu \nu }\right)}$

Согласно бритве Оккама, теория Фарнеса является более простой альтернативой традиционной модели LambdaCDM, поскольку и темная энергия, и темная материя (две гипотезы) решаются с использованием одной отрицательной массы жидкости (одна гипотеза). Теория будет напрямую проверена с использованием самого большого в мире радиотелескопа Square Kilometre Array , который должен быть запущен в 2022 году. ^[74]

Релятивистский МОНД

Первоначальная теория MOND Милгрома была разработана в 1983 году как альтернатива «темной материи». Отклонения от закона тяготения Ньютона определяются шкалой ускорения, а не шкалой расстояний. MOND успешно объясняет наблюдение Талли–Фишера о том, что светимость галактики должна масштабироваться как четвертая степень скорости вращения. Она также объясняет, почему расхождение во вращении в карликовых галактиках особенно велико.

Вначале у MOND было несколько проблем.

1. Он не включал релятивистские эффекты.
2. Это нарушило закон сохранения энергии, импульса и момента импульса.
3. Он был непоследователен, поскольку давал разные галактические орбиты для газа и для звезд.
4. В нем не указано, как рассчитать гравитационное линзирование от скоплений галактик.

К 1984 году проблемы 2 и 3 были решены путем введения лагранжиана ( AQUAL ). Релятивистская версия этого, основанная на скалярно-тензорной теории, была отвергнута, поскольку она позволяла волнам в скалярном поле распространяться быстрее света. Лагранжиан нерелятивистской формы имеет вид:

${\displaystyle L=-{a_{0}^{2} \over 8\pi G}f\left\lbrack {\frac {|\nabla \varphi |^{2}}{a_{0}^{2}}}\right\rbrack -\rho \varphi }$

Релятивистская версия этого имеет:

${\displaystyle L=-{a_{0}^{2} \over 8\pi G}{\tilde {f}}\left(\ell _{0}^{2}g^{\mu \nu }\,\partial _{\mu }\varphi \,\partial _{\nu }\varphi \right)}$

с нестандартным действием масс. Здесь и являются произвольными функциями, выбранными для придания ньютоновскому и MOND поведению в правильных пределах, а является шкалой длины MOND. К 1988 году второе скалярное поле (PCC) исправило проблемы с более ранней скалярно-тензорной версией, но находится в конфликте с прецессией перигелия Меркурия и гравитационным линзированием галактиками и скоплениями. К 1997 году MOND был успешно включен в стратифицированную релятивистскую теорию [Сандерс], но поскольку это предпочтительная теория фрейма , у нее есть свои собственные проблемы. Бекенштейн ^[63] представил тензорно-векторно-скалярную модель (TeVeS). Она имеет два скалярных поля и и векторное поле . Действие разделено на части для гравитации, скаляров, вектора и массы. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ ${\displaystyle l_{0}=c^{2}/a_{0}\;}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \sigma \;}$ ${\displaystyle U_{\alpha }}$

${\displaystyle S=S_{g}+S_{s}+S_{v}+S_{m}}$

Гравитационная часть та же, что и в общей теории относительности.

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{s}&=-{\frac {1}{2}}\int \left[\sigma ^{2}h^{\alpha \beta }\varphi _{,\alpha }\varphi _{,\beta }+{\frac {1}{2}}G\ell _{0}^{-2}\sigma ^{4}F(kG\sigma ^{2})\right]{\sqrt {-g}}\,d^{4}x\\[5pt]S_{v}&=-{\frac {K}{32\pi G}}\int \left[g^{\alpha \beta }g^{\mu \nu }U_{[\alpha ,\mu ]}U_{[\beta ,\nu ]}-{\frac {2\lambda }{K}}\left(g^{\mu \nu }U_{\mu }U_{\nu }+1\right)\right]{\sqrt {-g}}\,d^{4}x\\[5pt]S_{m}&=\int L\left({\tilde {g}}_{\mu \nu },f^{\alpha },f_{|\mu }^{\alpha },\ldots \right){\sqrt {-g}}\,d^{4}x\end{aligned}}}$

где

${\displaystyle h^{\alpha \beta }=g^{\alpha \beta }-U^{\alpha }U^{\beta }}$

${\displaystyle {\tilde {g}}^{\alpha \beta }=e^{2\varphi }g^{\alpha \beta }+2U^{\alpha }U^{\beta }\sinh(2\varphi )}$

${\displaystyle k,K}$являются константами, квадратные скобки в индексах представляют антисимметризацию, является множителем Лагранжа (вычисленным в другом месте), а L является лагранжианом, переведенным из плоского пространства-времени в метрику . Обратите внимание, что G не обязательно должна быть равна наблюдаемой гравитационной постоянной . F является произвольной функцией, и ${\displaystyle U_{[\alpha ,\mu ]}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\tilde {g}}^{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle G_{Newton}}$

${\displaystyle F(\mu )={\frac {3}{4}}{\mu ^{2}(\mu -2)^{2} \over 1-\mu }}$

приведен в качестве примера с правильным асимптотическим поведением; обратите внимание, как оно становится неопределенным, когда ${\displaystyle \mu =1}$

Параметрические постньютоновские параметры этой теории вычислены в ^[75], где показано, что все ее параметры равны параметрам общей теории относительности, за исключением

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{1}&={\frac {4G}{K}}\left((2K-1)e^{-4\varphi _{0}}-e^{4\varphi _{0}}+8\right)-8\\[5pt]\alpha _{2}&={\frac {6G}{2-K}}-{\frac {2G(K+4)e^{4\varphi _{0}}}{(2-K)^{2}}}-1\end{aligned}}}$

оба из которых выражены в геометрических единицах , где ; так ${\displaystyle c=G_{Newtonian}=1}$

${\displaystyle G^{-1}={\frac {2}{2-K}}+{\frac {k}{4\pi }}.}$

Теории Моффата

JW Moffat ^[66] разработал несимметричную теорию гравитации . Это не метрическая теория. Сначала утверждалось, что она не содержит горизонта черной дыры, но Burko и Ori ^[76] обнаружили, что несимметричная теория гравитации может содержать черные дыры. Позже Moffat утверждал, что она также применялась для объяснения кривых вращения галактик без привлечения «темной материи». Damour, Deser & MaCarthy ^[77] критиковали несимметричную теорию гравитации, заявляя, что она имеет неприемлемое асимптотическое поведение.

Математика не сложная, но она переплетена, поэтому нижеследующее — лишь краткий набросок. Начиная с несимметричного тензора , плотность Лагранжа разделяется на ${\displaystyle g_{\mu \nu }\;}$

${\displaystyle L=L_{R}+L_{M}\;}$

где то же самое, что и для материи в общей теории относительности. ${\displaystyle L_{M}\;}$

${\displaystyle L_{R}={\sqrt {-g}}\left[R(W)-2\lambda -{\frac {1}{4}}\mu ^{2}g^{\mu \nu }g_{[\mu \nu ]}\right]-{\frac {1}{6}}g^{\mu \nu }W_{\mu }W_{\nu }\;}$

где — термин кривизны, аналогичный, но не равный кривизне Риччи в общей теории относительности, и — космологические константы, — антисимметричная часть . — связь, и ее немного трудно объяснить, поскольку она определяется рекурсивно. Однако, ${\displaystyle R(W)\;}$ ${\displaystyle \lambda \;}$ ${\displaystyle \mu ^{2}\;}$ ${\displaystyle g_{[\nu \mu ]}\;}$ ${\displaystyle g_{\nu \mu }\;}$ ${\displaystyle W_{\mu }\;}$ ${\displaystyle W_{\mu }\approx -2g_{[\mu \nu ]}^{,\nu }\;}$

Хауган и Кауфманн ^[78] использовали измерения поляризации света, испускаемого галактиками, чтобы наложить строгие ограничения на величину некоторых несимметричных параметров гравитационной теории. Они также использовали эксперименты Хьюза-Древера, чтобы ограничить оставшиеся степени свободы. Их ограничение на восемь порядков острее предыдущих оценок.

Теория Моффата ^[68] метрики-скоу-тензора-гравитации (MSTG) способна предсказать кривые вращения для галактик без темной материи или MOND, и утверждает, что она также может объяснить гравитационное линзирование скоплений галактик без темной материи. Она имеет переменную , увеличивающуюся до конечного постоянного значения примерно через миллион лет после большого взрыва. ${\displaystyle G\;}$

Теория, по-видимому, содержит асимметричное тензорное поле и вектор тока источника . Действие разделяется на: ${\displaystyle A_{\mu \nu }\;}$ ${\displaystyle J_{\mu }\;}$

${\displaystyle S=S_{G}+S_{F}+S_{FM}+S_{M}\;}$

Оба термина гравитации и массы соответствуют терминам общей теории относительности с космологической постоянной. Действие косого поля и связь косого поля с материей таковы:

${\displaystyle S_{F}=\int d^{4}x\,{\sqrt {-g}}\left({\frac {1}{12}}F_{\mu \nu \rho }F^{\mu \nu \rho }-{\frac {1}{4}}\mu ^{2}A_{\mu \nu }A^{\mu \nu }\right)\;}$

${\displaystyle S_{FM}=\int d^{4}x\,\epsilon ^{\alpha \beta \mu \nu }A_{\alpha \beta }\partial _{\mu }J_{\nu }\;}$

где

${\displaystyle F_{\mu \nu \rho }=\partial _{\mu }A_{\nu \rho }+\partial _{\rho }A_{\mu \nu }}$

и является символом Леви-Чивиты . Связь косого поля является связью Паули и калибровочно инвариантна для любого исходного тока. Исходный ток выглядит как поле фермионов материи, связанное с барионным и лептонным числом. ${\displaystyle \epsilon ^{\alpha \beta \mu \nu }\;}$

Скалярно-тензорно-векторная гравитация

Скалярно-тензорно-векторная гравитация Моффата ^[69] содержит тензор, вектор и три скалярных поля. Но уравнения довольно просты. Действие разделено на: с членами для гравитации, векторного поля, скалярных полей и массы. — стандартный член гравитации, за исключением того, что перемещен внутрь интеграла. ${\displaystyle S=S_{G}+S_{K}+S_{S}+S_{M}}$ ${\displaystyle K_{\mu },}$ ${\displaystyle G,\omega ,\mu }$ ${\displaystyle S_{G}}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle S_{K}=-\int d^{4}x\,{\sqrt {-g}}\omega \left({\frac {1}{4}}B_{\mu \nu }B^{\mu \nu }+V(K)\right),\qquad {\text{where }}\quad B_{\mu \nu }=\partial _{\mu }K_{\nu }-\partial _{\nu }K_{\mu }.}$

${\displaystyle S_{S}=-\int d^{4}x\,{\sqrt {-g}}{\frac {1}{G^{3}}}\left({\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }\,\nabla _{\mu }G\,\nabla _{\nu }G-V(G)\right)+{\frac {1}{G}}\left({\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }\,\nabla _{\mu }\omega \,\nabla _{\nu }\omega -V(\omega )\right)+{1 \over \mu ^{2}G}\left({\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }\,\nabla _{\mu }\mu \,\nabla _{\nu }\mu -V(\mu )\right).}$

Потенциальная функция для векторного поля выбирается следующей:

${\displaystyle V(K)=-{\frac {1}{2}}\mu ^{2}\varphi ^{\mu }\varphi _{\mu }-{\frac {1}{4}}g\left(\varphi ^{\mu }\varphi _{\mu }\right)^{2}}$

где — константа связи. Функции, предполагаемые для скалярных потенциалов, не указаны. ${\displaystyle g}$

Бесконечная производная гравитации

Чтобы удалить призраков в модифицированном пропагаторе, а также получить асимптотическую свободу, Бисвас, Мазумдар и Сигел (2005) рассмотрели бесконечный набор высших производных членов, вдохновленный струнами

${\displaystyle S=\int \mathrm {d} ^{4}x{\sqrt {-g}}\left({\frac {R}{2}}+RF(\Box )R\right)}$

где — экспонента целой функции оператора Даламбера . ^{[79] [80]} Это позволяет избежать сингулярности черной дыры вблизи начала координат, при этом восстанавливая падение 1/r потенциала общей теории относительности на больших расстояниях. ^[81] Лусто и Маццителли (1997) нашли точное решение этой теории, представляющее собой гравитационную ударную волну. ^[82] ${\displaystyle F(\Box )}$

Общая теория относительности самовзаимодействие (GRSI)

Модель самовзаимодействия общей теории относительности или GRSI ^[83] представляет собой попытку объяснить астрофизические и космологические наблюдения без темной материи и темной энергии путем добавления членов самовзаимодействия при расчете гравитационных эффектов в общей теории относительности , аналогично членам самовзаимодействия в квантовой хромодинамике . ^[84] Кроме того, модель объясняет соотношение Талли-Фишера , ^[85] соотношение радиального ускорения , ^[86] наблюдения, которые в настоящее время сложно понять в рамках Lambda-CDM .

Модель была предложена в серии статей, первая из которых датируется 2003 годом. ^[87] Основная идея заключается в том, что поскольку в рамках общей теории относительности гравитационные поля связаны друг с другом, это может эффективно увеличить гравитационное взаимодействие между массивными объектами. Дополнительная гравитационная сила затем позволяет избежать необходимости в темной материи. Эта связь полей является источником нелинейного поведения общей теории относительности. На языке частиц ее можно понять как гравитоны , взаимодействующие друг с другом (несмотря на то, что они безмассовы ), поскольку они переносят энергию-импульс .

Естественным следствием этой модели является ее объяснение ускоряющегося расширения Вселенной без обращения к темной энергии . ^[84] Увеличение энергии связи внутри галактики требует, в силу сохранения энергии , ослабления гравитационного притяжения за пределами этой галактики. Это имитирует отталкивание темной энергии.

Модель GRSI вдохновлена ​​Сильным ядерным взаимодействием , где происходит сопоставимое явление. Взаимодействие между глюонами, испускаемыми статическими или почти статическими кварками, резко усиливает взаимодействие кварков, что в конечном итоге приводит к удержанию кварков с одной стороны (аналогично необходимости более сильной гравитации для объяснения темной материи) и подавлению Сильного ядерного взаимодействия вне адронов (аналогично отталкиванию темной энергии, которое уравновешивает гравитационное притяжение в больших масштабах). Два других параллельных явления — это соотношение Талли-Фишера в динамике галактик, которое аналогично траекториям Редже, возникающим из сильного взаимодействия. В обоих случаях феноменологические формулы, описывающие эти наблюдения, схожи, хотя и с разными числовыми коэффициентами.

Эти параллели ожидаемы с теоретической точки зрения: общая теория относительности и лагранжианы сильного взаимодействия имеют одинаковую форму. ^{[88] [89]} Тогда справедливость модели GRSI просто зависит от того, достаточно ли велика связь гравитационных полей, чтобы те же эффекты, которые возникают в адронах, происходили и в очень массивных системах. Эта связь эффективно задается выражением , где — гравитационная постоянная , — масса системы, а — характерная длина системы. Утверждение сторонников GRSI, основанное либо на расчетах решетки , ^[89] модели фонового поля. ^[90] или на совпадающих феноменологиях в галактической или адронной динамике, упомянутых в предыдущем абзаце, заключается в том, что действительно достаточно велико для больших систем, таких как галактики. ${\displaystyle {\sqrt {GM/L}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle {\sqrt {GM/L}}}$

Список тем, изучаемых в модели

Основные наблюдения, которые, по-видимому, требуют темной материи и/или темной энергии, могут быть объяснены в рамках этой модели. А именно,

• Плоские кривые вращения галактик . ^{[89] [90] [91]} Однако эти результаты были подвергнуты сомнению. ^{[92] [93]}
• Анизотропия космического микроволнового фона . ^[94]
• Более слабая светимость далеких сверхновых и ее влияние на ускоряющееся расширение Вселенной . ^[84]
• Формирование крупных структур Вселенной . ^[95]
• Спектр мощности материи . ^[94]
• Внутренняя динамика скоплений галактик , включая скопление Пуля . ^[89]

Кроме того, модель объясняет наблюдения, которые в настоящее время сложно понять в рамках Lambda-CDM :

• Соотношение Талли -Фишера . ^{[89] [90]}
• Радиальное отношение ускорения . ^[96]
• Напряжение Хаббла . ^[97]
• Космическое совпадение , то есть тот факт, что в настоящее время предполагаемое отталкивание темной энергии почти полностью отменяет действие гравитации в общей динамике Вселенной . ^[91]

Наконец, модель сделала предсказание, что количество недостающей массы (т.е. темная масса в приближениях темной материи) в эллиптических галактиках коррелирует с эллиптичностью галактик. ^[89] Это было проверено и подтверждено. ^{[98] [99]}

Проверка альтернатив общей теории относительности

Любая предполагаемая альтернатива общей теории относительности должна будет соответствовать множеству тестов, чтобы быть принятой. Для более глубокого освещения этих тестов см. Misner et al. ^[52] Ch.39, Will ^[11] Table 2.1 и Ni. ^[12] Большинство таких тестов можно классифицировать следующим образом в следующих подразделах.

Самосогласованность

Самосогласованность среди неметрических теорий включает исключение теорий, допускающих тахионы , призрачные полюса и полюса более высокого порядка, а также те, которые имеют проблемы с поведением на бесконечности. Среди метрических теорий самосогласованность лучше всего иллюстрируется описанием нескольких теорий, которые не проходят этот тест. Классический пример — теория поля спина два Фирца и Паули; ^[17] уравнения поля подразумевают, что гравитирующие тела движутся по прямым линиям, тогда как уравнения движения настаивают на том, что гравитация отклоняет тела от прямолинейного движения. Yilmaz (1971) ^[29] содержит тензорное гравитационное поле, используемое для построения метрики; оно математически непоследовательно, поскольку функциональная зависимость метрики от тензорного поля не определена должным образом.

Полнота

Чтобы быть полной, теория гравитации должна быть способна анализировать результаты каждого интересующего эксперимента. Поэтому она должна быть связана с электромагнетизмом и всей остальной физикой. Например, любая теория, которая не может предсказать из первых принципов движение планет или поведение атомных часов, является неполной.

Многие ранние теории неполны в том смысле, что неясно, следует ли вычислять плотность, используемую теорией, из тензора энергии-импульса как или как , где — 4-скорость , а — дельта Кронекера . Теории Тирри (1948) и Джордана ^[24] неполны, если параметр Джордана не установлен равным -1, в этом случае они соответствуют теории Бранса–Дикке ^[9] и поэтому заслуживают дальнейшего рассмотрения. Милн ^[19] неполн, поскольку не делает предсказаний гравитационного красного смещения. Теории Уитроу и Мордуха, ^{[30] [31]} Кустаанхеймо ^[32] и Кустаанхеймо и Нуотио ^[33] либо неполны, либо непоследовательны. Включение уравнений Максвелла будет неполным, если не предположить, что они накладываются на плоское фоновое пространство-время, и когда это сделано, они непоследовательны, потому что они предсказывают нулевое гравитационное красное смещение, когда используется волновая версия света (теория Максвелла), и ненулевое красное смещение, когда используется корпускулярная версия (фотон). Другим более очевидным примером является ньютоновская гравитация с уравнениями Максвелла; свет в виде фотонов отклоняется гравитационными полями (в два раза меньше, чем в общей теории относительности), но свет в виде волн — нет. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \rho =T_{\mu \nu }u^{\mu }u^{\nu }}$ ${\displaystyle \rho =T_{\mu \nu }\delta ^{\mu \nu }}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \eta \;}$

Классические тесты

Существует три «классических» теста (начиная с 1910-х годов или ранее) способности теорий гравитации справляться с релятивистскими эффектами; это гравитационное красное смещение , гравитационное линзирование (обычно проверяемое вокруг Солнца) и аномальное смещение перигелия планет. Каждая теория должна воспроизводить наблюдаемые результаты в этих областях, которые на сегодняшний день всегда согласуются с предсказаниями общей теории относительности. В 1964 году Ирвин И. Шапиро нашел четвертый тест, названный задержкой Шапиро . Его обычно также считают «классическим» тестом.

Согласие с ньютоновской механикой и специальной теорией относительности

В качестве примера несогласия с ньютоновскими экспериментами, теория Биркгофа ^[18] предсказывает релятивистские эффекты достаточно надежно, но требует, чтобы звуковые волны распространялись со скоростью света. Это было следствием предположения, сделанного для упрощения обработки столкновения масс. ^{[ необходима цитата ]}

Принцип эквивалентности Эйнштейна

Принцип эквивалентности Эйнштейна состоит из трех компонентов. Первый — уникальность свободного падения, также известный как принцип слабой эквивалентности. Он выполняется, если инертная масса равна гравитационной массе. η — параметр, используемый для проверки максимально допустимого нарушения принципа слабой эквивалентности. Первые проверки принципа слабой эквивалентности были проведены Этвешем до 1900 года и ограничили η значением менее 5 × 10⁻⁹ . Современные тесты снизили это значение до менее чем 5 × 10⁻¹³ . Второе — инвариантность Лоренца. При отсутствии гравитационных эффектов скорость света постоянна. Проверочным параметром для этого является δ . Первые проверки инвариантности Лоренца были проведены Майкельсоном и Морли до 1890 года и ограничили δ значением менее 5 × 10⁻³ . Современные тесты снизили это значение до менее чем 1 × 10⁻²¹ . Третье — это локальная инвариантность положения, которая включает пространственную и временную инвариантность. Результат любого локального негравитационного эксперимента не зависит от того, где и когда он проводится. Пространственная локальная инвариантность положения проверяется с помощью измерений гравитационного красного смещения. Тестовым параметром для этого является α . Верхние пределы этого, найденные Паундом и Ребкой в ​​1960 году, ограничили α значением менее 0,1. Современные тесты уменьшили это значение до менее 1 × 10⁻⁴ . ^[2]

Гипотеза Шиффа утверждает, что любая полная, самосогласованная теория гравитации, воплощающая слабый принцип эквивалентности, обязательно воплощает принцип эквивалентности Эйнштейна. Это, вероятно, верно, если теория имеет полное сохранение энергии. Метрические теории удовлетворяют принципу эквивалентности Эйнштейна. Крайне мало неметрических теорий удовлетворяют этому. Например, неметрическая теория Белинфанте и Свихарта ^{[26] [27]} устраняется формализмом THεμ для проверки принципа эквивалентности Эйнштейна. Калибровочная теория гравитации является заметным исключением, где сильный принцип эквивалентности по сути является минимальной связью калибровочно -ковариантной производной .

Параметрический постньютоновский формализм

Для получения дополнительной информации см. также Тесты общей теории относительности , Мизнер и др. ^[52] и Уилл ^[11] .

Работа по разработке стандартизированного, а не специального набора тестов для оценки альтернативных моделей гравитации началась с Эддингтона в 1922 году и привела к стандартному набору параметрических постньютоновских чисел в Нордтведте и Уилле ^[100] и Уилле и Нордтведте. ^[43] Каждый параметр измеряет отдельный аспект того, насколько теория отходит от ньютоновской гравитации. Поскольку мы говорим здесь об отклонении от ньютоновской теории, они измеряют только эффекты слабого поля. Эффекты сильных гравитационных полей рассматриваются позже.

Вот эти десять: ${\displaystyle \gamma ,\beta ,\eta ,\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3},\zeta _{1},\zeta _{2},\zeta _{3},\zeta _{4}.}$

• ${\displaystyle \gamma }$является мерой кривизны пространства, равной нулю для ньютоновской гравитации и единице для общей теории относительности.
• ${\displaystyle \beta }$является мерой нелинейности при сложении гравитационных полей, одной из мер общей теории относительности.
• ${\displaystyle \eta }$проверка на наличие эффектов предпочтительного местоположения.
• ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}}$измерить степень и природу «эффектов предпочтительной системы отсчета». Любая теория гравитации, в которой хотя бы один из трех не равен нулю, называется теорией предпочтительной системы отсчета.
• ${\displaystyle \zeta _{1},\zeta _{2},\zeta _{3},\zeta _{4},\alpha _{3}}$измерить степень и характер нарушений в глобальных законах сохранения. Теория гравитации имеет 4 закона сохранения для энергии-импульса и 6 для момента импульса, только если все пять равны нулю.

Сильная гравитация и гравитационные волны

Параметрический постньютоновский — это всего лишь мера слабых полевых эффектов. Сильные гравитационные эффекты можно наблюдать в компактных объектах, таких как белые карлики, нейтронные звезды и черные дыры. Экспериментальные тесты, такие как стабильность белых карликов, скорость замедления вращения пульсаров, орбиты двойных пульсаров и существование горизонта черной дыры, можно использовать в качестве тестов альтернативы общей теории относительности. Общая теория относительности предсказывает, что гравитационные волны распространяются со скоростью света. Многие альтернативы общей теории относительности утверждают, что гравитационные волны распространяются быстрее света, что, возможно, нарушает причинность. После обнаружения слияния нейтронных звезд GW170817 с помощью многоадресной передачи данных , где световые и гравитационные волны измерены как распространяющиеся с одинаковой скоростью с погрешностью 1/10 ¹⁵ , многие из этих модифицированных теорий гравитации были исключены.

Космологические тесты

Полезные космологические масштабные тесты только начинают становиться доступными. ^{[2] : 88} Учитывая ограниченность астрономических данных и сложность теорий, сравнения включают сложные параметры. Например, Рейес и др. ^[101] проанализировали 70 205 ярких красных галактик с кросс-корреляцией, включающей оценки скорости галактики и гравитационные потенциалы, оцененные с помощью линзирования, и все же результаты все еще являются предварительными. ^{[1] : 164}

Для теорий, которые стремятся заменить темную материю, такие наблюдения, как кривая вращения галактики , соотношение Талли–Фишера , более высокая скорость вращения карликовых галактик и гравитационное линзирование из-за галактических скоплений, действуют как ограничения. Для теорий, которые стремятся заменить инфляцию , размер ряби в спектре космического микроволнового фонового излучения является самым строгим тестом. Для теорий, которые включают или стремятся заменить темную энергию, в качестве тестов можно использовать результаты яркости сверхновых и возраст Вселенной. Другим тестом является плоскостность Вселенной. Согласно общей теории относительности, комбинация барионной материи, темной материи и темной энергии в сумме делает Вселенную совершенно плоской.

Результаты проверки теорий

Параметрические постньютоновские параметры для ряда теорий

( Более подробную информацию см. в Will ^[11] и Ni ^{[12] . Misner et al. [52]} приводит таблицу для перевода параметров из обозначения Ni в обозначение Will)

Общей теории относительности уже более 100 лет, и в течение этого времени одна за другой альтернативные теории гравитации не смогли согласоваться с более точными наблюдениями. Одним из показательных примеров является параметризованный постньютоновский формализм . В следующей таблице перечислены параметрические постньютоновские значения для большого количества теорий. Если значение в ячейке совпадает со значением в заголовке столбца, то полная формула слишком сложна для включения сюда.

† Теория неполна и может принимать одно из двух значений. Указано значение, наиболее близкое к нулю. ${\displaystyle \zeta _{4}}$

Все экспериментальные тесты пока согласуются с общей теорией относительности, и поэтому параметрический постньютоновский анализ немедленно исключает все скалярные теории поля в таблице. Полный список параметрических постньютоновских параметров недоступен для Уайтхеда, ^[7] Дезера-Лорана, ^[34] Боллини–Джамбиаги–Тиомино, ^[37], но в этих трех случаях ^{[ требуется ссылка ],} что находится в сильном противоречии с общей теорией относительности и экспериментальными результатами. В частности, эти теории предсказывают неверные амплитуды для приливов Земли. (Небольшая модификация теории Уайтхеда позволяет избежать этой проблемы. Однако модификация предсказывает эффект Нордтведта , который был экспериментально ограничен.) ${\displaystyle \beta =\xi }$

Теории, которые не выдерживают других проверок

Стратифицированные теории Ни, ^[42] Ли Лайтмана и Ни ^[46] являются нестартовыми, поскольку все они не могут объяснить смещение перигелия Меркурия. Биметрические теории Лайтмана и Ли, ^[45] Розена, ^[41] Расталла ^[49] все не проходят некоторые тесты, связанные с сильными гравитационными полями. Скалярно-тензорные теории включают общую теорию относительности как особый случай, но согласуются с параметрическими постньютоновскими значениями общей теории относительности только тогда, когда они равны общей теории относительности в пределах экспериментальной погрешности. По мере того, как экспериментальные тесты становятся более точными, отклонение скалярно-тензорных теорий от общей теории относительности сводится к нулю. То же самое относится и к векторно-тензорным теориям, отклонение векторно-тензорных теорий от общей теории относительности сводится к нулю. Кроме того, векторно-тензорные теории являются полуконсервативными; они имеют ненулевое значение, которое может оказывать измеримое влияние на приливы Земли. Неметрические теории, такие как теории Белинфанте и Свихарта ^{[26] [27],} как правило, не согласуются с экспериментальными проверками принципа эквивалентности Эйнштейна. И это не оставляет в качестве вероятной допустимой альтернативы общей теории относительности ничего, кроме, возможно, Картана. ^[15] Так было до тех пор, пока космологические открытия не подтолкнули разработку современных альтернатив. ${\displaystyle \alpha _{2}}$

Ссылки

1. Клифтон, Тимоти; Педро Г. Феррейра; Антонио Падилла; Константинос Скордис (2012). «Модифицированная гравитация и космология». Physics Reports . 513 num.3 (1): 1–189. arXiv : 1106.2476 . Bibcode : 2012PhR...513....1C. doi : 10.1016/j.physrep.2012.01.001. S2CID  119258154.
2. Уилл, Клиффорд М. (2014-12-01). "Противостояние общей теории относительности и эксперимента". Living Reviews in Relativity . 17 (1): 4. arXiv : 1403.7377 . Bibcode :2014LRR....17....4W. doi : 10.12942/lrr-2014-4 . ISSN  2367-3613. PMC 5255900 . PMID  28179848. 
3. Асмодель, Э. (2017). «Проверки общей теории относительности: обзор». arXiv : 1705.04397v1 [physics.class-ph].
4. Эйнштейн, А (1916). «Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie». Аннален дер Физик . 49 (7): 769. Бибкод : 1916АнП...354..769Е. дои : 10.1002/andp.19163540702.
5. Эйнштейн, А. (1917) Über die Spezielle und die Allgemeinen Relativaätstheorie, Gemeinverständlich, Vieweg, Брауншвейг
6. Бойовальд, Каноническая гравитация и ее применение, Cambridge University Press, 2001, глава 3, ISBN 978-0-521-19575-1 
7. Уайтхед, А. Н. (1922) Принципы относительности , Cambridge Univ. Press
8. Эйнштейн А. и Гроссман М. (1913), Zeitschrift für Mathematik und Physik 62, 225
9. Brans, C.; Dicke, RH (1961). «Принцип Маха и релятивистская теория гравитации». Physical Review . 124 (3): 925–935. Bibcode :1961PhRv..124..925B. doi :10.1103/physrev.124.925.
10. Это не совсем то, как изначально сформулировал Мах, см. другие варианты в принципе Маха
11. Уилл, CM (первоначально опубликовано в 1981 г./пересмотренное издание в 1993 г.) Теория и эксперимент в гравитационной физике , Cambridge Univ. Press
12. Ni, Wei-Tou (1972). "Теоретические основы для проверки релятивистской гравитации. IV. Сборник метрических теорий гравитации и их постньютоновских пределов". The Astrophysical Journal . 176 : 769. Bibcode : 1972ApJ...176..769N. doi : 10.1086/151677.
13. Лэнг, Р. (2002) Экспериментальные основы общей теории относительности
14. Хотя презентации Турышева (2006) и Ланга (2002) являются важным источником для этой статьи, они содержат много фактических ошибок.
15. Картан, É (1922). «Sur une обобщение понятия курбюры Римана и пространств кручения». Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris (на французском языке). 174 : 593–595.
16. Картан, Э. (1923). «Sur les variétés à connexion affine et la theorie de la relativité généralisée» (PDF) . Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 3 (на французском языке). 40 : 325–412. дои : 10.24033/asens.751 .
17. Fierz, M.; Pauli, W. (1939). «О релятивистских волновых уравнениях для частиц произвольного спина в электромагнитном поле». Труды Лондонского королевского общества A. 173 ( 953): 211–232. Bibcode :1939RSPSA.173..211F. doi :10.1098/rspa.1939.0140. S2CID  123189221.
18. Биркгофф, ГД (1943). «Материя, электричество и гравитация в плоском пространстве-времени». Труды Национальной академии наук . 29 (8): 231–239. Bibcode :1943PNAS...29..231B. doi : 10.1073/pnas.29.8.231 . PMC 1078600 . PMID  16578082. 
19. Milne EA (1948) Кинематическая теория относительности , Clarendon Press, Оксфорд.
20. Тири, М. Ив (1948). «Уравнения единой теории Калуцы». Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris . 226 : 216.
21. Папапетру, А. (1954). «Eine Theorie des Gravitationsfeldes mit einer Feldfunktion». Zeitschrift für Physik (на немецком языке). 139 (5). ООО «Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа»: 518–532. Бибкод : 1954ZPhy..139..518P. дои : 10.1007/bf01374560. ISSN  1434-6001. S2CID  121257875.
22. Папапетру, Ахиллес (1954). «Eine neue Theorie des Gravitationsfeldes. I». Mathematische Nachrichten (на немецком языке). 12 (3–4). Уайли: 129–141. дои : 10.1002/мана.19540120301. ISSN  0025-584X.и Папапетру, Ахиллес (1954). «Новая теория гравитации. II». Mathematische Nachrichten (на немецком языке). 12 (3–4). Уайли: 143–154. дои : 10.1002/мана.19540120302. ISSN  0025-584X.
23. Littlewood, DE (1953). «Конформные преобразования и кинематическая относительность». Математические труды Кембриджского философского общества . 49 (1). Cambridge University Press (CUP): 90–96. Bibcode : 1953PCPS...49...90L. doi : 10.1017/s0305004100028085. ISSN  0305-0041. S2CID  122974469.
24. Джордан, П. (1955) Schwerkraft und Weltall, Vieweg, Брауншвейг
25. Бергман, О (1956). "Теория скалярного поля как теория гравитации". American Journal of Physics . 24 (1): 39. Bibcode : 1956AmJPh..24...38B. doi : 10.1119/1.1934129.
26. Belinfante, FJ; Swihart, JC (1957a). "Феноменологическая линейная теория гравитации, часть I". Annals of Physics . 1 (2): 168. Bibcode :1957AnPhy...1..168B. doi :10.1016/0003-4916(57)90057-x.
27. Belinfante, FJ; Swihart, JC (1957b). "Феноменологическая линейная теория гравитации, часть II". Annals of Physics . 2 : 196. doi :10.1016/0003-4916(57)90058-1.
28. Yilmaz, H (1958). "Новый подход к общей теории относительности". Physical Review . 111 (5): 1417. Bibcode : 1958PhRv..111.1417Y. doi : 10.1103/physrev.111.1417.
29. Yilmaz, H (1973). «Новый подход к теории относительности и гравитации». Annals of Physics . 81 : 179–200. Bibcode : 1973AnPhy..81..179Y. doi : 10.1016/0003-4916(73)90485-5.
30. Whitrow, GJ ; Morduch, GE (1960). "Общая теория относительности и лоренц-инвариантные теории гравитации". Nature . 188 (4753): 790–794. Bibcode :1960Natur.188..790W. doi :10.1038/188790a0. S2CID  4194677.
31. Whitrow, GJ; Morduch, GE (1965). "Релятивистские теории гравитации". Vistas in Astronomy . 6 (1): 1–67. Bibcode :1965VA......6....1W. doi :10.1016/0083-6656(65)90002-4.
32. Kustaanheimo, P (1966). «Зависимость гравитационного красного смещения от маршрута». Physics Letters . 23 (1): 75–77. Bibcode : 1966PhL....23...75K. doi : 10.1016/0031-9163(66)90266-6.
33. Kustaanheimo, PE и Nuotio, VS (1967) Publ. Астрон. Обс. Хельсинки № 128
34. Deser, S.; Laurent, BE (1968). «Гравитация без самовзаимодействия». Annals of Physics . 50 (1): 76–101. Bibcode : 1968AnPhy..50...76D. doi : 10.1016/0003-4916(68)90317-5.
35. Page, C.; Tupper, BOJ (1968). «Скалярные гравитационные теории с переменной скоростью света». Monthly Notices of the Royal Astronomical Society . 138 : 67–72. Bibcode :1968MNRAS.138...67P. doi : 10.1093/mnras/138.1.67 .
36. Бергманн, ПГ (1968). «Комментарии к скалярно-тензорной теории». Международный журнал теоретической физики . 1 (1): 25–36. Bibcode :1968IJTP....1...25B. doi :10.1007/bf00668828. S2CID  119985328.
37. Боллини, CG; Джамбиаджи, Джей-Джей; Темно, Дж. (1970). «Линейная теория гравитации». Lettere al Nuovo Cimento . 3 (3): 65–70. дои : 10.1007/bf02755901. S2CID  123522840.
38. Nordtvedt Jr, K. (1970). "Постньютоновская метрика для общего класса скалярно-тензорных гравитационных теорий с наблюдательными следствиями". The Astrophysical Journal . 161 : 1059. Bibcode :1970ApJ...161.1059N. doi : 10.1086/150607 .
39. Вагонер, Роберт В. (1970). «Скалярно-тензорная теория и гравитационные волны». Physical Review D. 1 ( 12): 3209–3216. Bibcode :1970PhRvD...1.3209W. doi :10.1103/PhysRevD.1.3209.
40. Rosen, N (1971). "Теория гравитации". Physical Review D. 3 ( 10): 2317. Bibcode :1971PhRvD...3.2317R. doi :10.1103/physrevd.3.2317.
41. Rosen, N (1975). "Биметрическая теория гравитации II". Общая теория относительности и гравитация . 6 (3): 259–268. Bibcode :1975GReGr...6..259R. doi :10.1007/BF00751570. S2CID  120122429.
42. Ni, Wei-Tou (1973). «Новая теория гравитации». Physical Review D. 7 ( 10): 2880–2883. Bibcode :1973PhRvD...7.2880N. doi :10.1103/PhysRevD.7.2880.
43. Will, CM; Nordtvedt Jr, K. (1972). "Законы сохранения и предпочтительные системы отсчета в релятивистской гравитации I". The Astrophysical Journal . 177 : 757. Bibcode :1972ApJ...177..757W. doi : 10.1086/151754 .
44. Хеллингс, Рональд; Нордтведт, Кеннет (1973). «Векторно-метрическая теория гравитации». Physical Review D. 7 ( 12): 3593–3602. Bibcode :1973PhRvD...7.3593H. doi :10.1103/PhysRevD.7.3593.
45. Лайтман, Алан; Ли, Дэвид (1973). «Новая двухметрическая теория гравитации с априорной геометрией». Physical Review D. 8 ( 10): 3293–3302. Bibcode :1973PhRvD...8.3293L. doi :10.1103/PhysRevD.8.3293. hdl : 2060/19730019712 . S2CID  122756259.
46. Ли, Д.; Лайтман, А.; Ни, В. (1974). «Законы сохранения и вариационные принципы в метрических теориях гравитации». Physical Review D. 10 ( 6): 1685–1700. Bibcode :1974PhRvD..10.1685L. doi :10.1103/PhysRevD.10.1685.
47. Бекенштейн, Якоб (1977). «Являются ли массы покоя частиц переменными? Теория и ограничения из экспериментов в солнечной системе». Physical Review D. 15 ( 6): 1458–1468. Bibcode : 1977PhRvD..15.1458B. doi : 10.1103/PhysRevD.15.1458.
48. Barker, BM (1978). "Общая скалярно-тензорная теория гравитации с постоянной G". The Astrophysical Journal . 219 : 5. Bibcode : 1978ApJ...219....5B. doi : 10.1086/155749.
49. Rastall, P (1979). "Ньютоновская теория гравитации и ее обобщение". Canadian Journal of Physics . 57 (7): 944–973. Bibcode :1979CaJPh..57..944R. doi :10.1139/p79-133.
50. Нордстрем, Г (1912). «Принцип относительности и гравитация». Physikalische Zeitschrift (на немецком языке). 13 :1126.
51. Нордстрем, Г (1913). «Zur Theorie der Gravitation vom Standpunkt des Relativitätsprinzips». Аннален дер Физик . 42 (13): 533. Бибкод : 1913АнП...347..533Н. дои : 10.1002/andp.19133471303.
52. Мизнер, CW, Торн, KS и Уилер, JA (1973) Гравитация, WH Freeman & Co.
53. Розен, Н (1973). «Биметрическая теория гравитации». Общая теория относительности и гравитация . 4 (6): 435–447. Bibcode :1973GReGr...4..435R. doi :10.1007/BF01215403. S2CID  189831561.
54. Уилл (1981) называет это биметрическим, но я не понимаю, почему это не просто векторная теория поля.
55. Field, JH (2007). «Запаздывающие электрические и магнитные поля движущегося заряда: пересмотр вывода Фейнмана потенциалов Льенара-Вихерта». arXiv : 0704.1574 [physics.class-ph].
56. Гэри Гиббонс; Уилл (2008). «О множественных смертях теории гравитации Уайтхеда». Исследования по истории и философии науки Часть B: Исследования по истории и философии современной физики . 39 (1): 41–61. arXiv : gr-qc/0611006 . Bibcode :2008SHPMP..39...41G. doi :10.1016/j.shpsb.2007.04.004. S2CID  17017857.Cf. Ronny Desmet и Michel Weber (ред.), Whitehead. The Algebra of Metaphysics. Меморандум Летнего института прикладной метафизики процессов, Лувен-ля-Нев, Éditions Chromatika, 2010.
57. Бисвас, Тиртабир; Гервик, Эрик; Коивисто, Томи; Мазумдар, Анупам (2012). «К теориям гравитации без сингулярностей и призраков». Physical Review Letters . 108 (3): 031101. arXiv : 1110.5249 . Bibcode : 2012PhRvL.108c1101B. doi : 10.1103/PhysRevLett.108.031101. PMID  22400725. S2CID  5517893.
58. Хорндески, Грегори Уолтер (1974-09-01). "Уравнения скалярно-тензорного поля второго порядка в четырехмерном пространстве". International Journal of Theoretical Physics . 10 (6): 363–384. Bibcode :1974IJTP...10..363H. doi :10.1007/BF01807638. ISSN  0020-7748. S2CID  122346086.
59. Деффайе, К.; Эспозито-Фарезе, Г.; Викман, А. (2009-04-03). "Ковариантный Галилеон". Physical Review D. 79 ( 8): 084003. arXiv : 0901.1314 . Bibcode : 2009PhRvD..79h4003D. doi : 10.1103/PhysRevD.79.084003. ISSN  1550-7998. S2CID  118855364.
60. Zumalacárregui, Miguel; García-Bellido, Juan (2014-03-19). "Transforminggravity: from derived couplings to matter to second-order scalar–tensor theories beyond the Horndeski Lagrangian". Physical Review D. 89 ( 6): 064046. arXiv : 1308.4685 . Bibcode : 2014PhRvD..89f4046Z. doi : 10.1103/PhysRevD.89.064046. ISSN  1550-7998. S2CID  119201221.
61. Gleyzes, Jérôme; Langlois, David; Piazza, Federico; Vernizzi, Filippo (2015-05-27). "Здоровые теории за пределами Horndeski". Physical Review Letters . 114 (21): 211101. arXiv : 1404.6495 . Bibcode : 2015PhRvL.114u1101G. doi : 10.1103/PhysRevLett.114.211101. ISSN  0031-9007. PMID  26066423. S2CID  119117834.
62. Ачур, Джибрил Бен; Крисостоми, Марко; Кояма, Казуя; Ланглуа, Дэвид; Нуи, Карим; Тасинато, Джанмассимо (декабрь 2016 г.). «Вырожденные скалярно-тензорные теории более высокого порядка за пределами Хорндески до кубического порядка». Журнал физики высоких энергий . 2016 (12): 100. arXiv : 1608.08135 . Бибкод : 2016JHEP...12..100A. дои : 10.1007/JHEP12(2016)100. ISSN  1029-8479. S2CID  59248448.
63. Бекенштейн, Дж. Д. (2004). «Пересмотренная теория гравитации для модифицированной ньютоновской динамической парадигмы». Physical Review D. 70 ( 8): 083509. arXiv : astro-ph/0403694 . Bibcode : 2004PhRvD..70h3509B. doi : 10.1103/physrevd.70.083509.
64. Турышев, С.Г. (2006) Проверка гравитации в солнечной системе, http://star-www.st-and.ac.uk/~hz4/workshop/workshopppt/turyshev.pdf
65. Траутман, А. (1972) Об уравнениях Эйнштейна – Картана I, Bulletin de l'Academie Polonaise des Sciences 20, 185-190
66. Moffat (1995). "Несимметричная теория гравитации". Physics Letters B. 355 ( 3–4): 447–452. arXiv : gr-qc/9411006 . Bibcode : 1995PhLB..355..447M. doi : 10.1016/0370-2693(95)00670-G. S2CID  15879285.
67. Моффат (2003). «Биметрическая теория гравитации, переменная скорость света и затемнение сверхновых». Международный журнал современной физики D. 12 ( 2): 281–298. arXiv : gr-qc/0202012 . Bibcode : 2003IJMPD..12..281M. doi : 10.1142/S0218271803002366. S2CID  12305911.
68. Moffat (2005). "Теория гравитации, кривые вращения галактик и космология без темной материи". Журнал космологии и астрочастичной физики . 2005 (5): 003. arXiv : astro-ph/0412195 . Bibcode : 2005JCAP...05..003M. doi : 10.1088/1475-7516/2005/05/003. S2CID  307531.
69. Moffat (2006). "Скалярно-тензорно-векторная теория гравитации". Журнал космологии и астрочастичной физики . 2006 (3): 004. arXiv : gr-qc/0506021 . Bibcode :2006JCAP...03..004M. doi :10.1088/1475-7516/2006/03/004. S2CID  17376981.
70. Ломбрайзер, Лукас; Лима, Нельсон (2017). «Проблемы самоускорения в модифицированной гравитации из гравитационных волн и крупномасштабной структуры». Physics Letters B. 765 : 382–385. arXiv : 1602.07670 . Bibcode : 2017PhLB..765..382L. doi : 10.1016/j.physletb.2016.12.048. S2CID  118486016.
71. «Поиск разгадки теории Эйнштейна может скоро закончиться». phys.org . 10 февраля 2017 г. Получено 29 октября 2017 г.
72. Xaq Rzetelny (25 февраля 2017 г.). «Теоретическая битва: темная энергия против модифицированной гравитации». Ars Technica . Получено 27 октября 2017 г.
73. Farnes, JS (2018). "Объединяющая теория темной энергии и темной материи: отрицательные массы и создание материи в рамках модифицированной модели ΛCDM". Астрономия и астрофизика . 620 : A92. arXiv : 1712.07962 . Bibcode : 2018A&A...620A..92F. doi : 10.1051/0004-6361/201832898. S2CID  53600834.
74. Оксфордский университет (5 декабря 2018 г.). «Возвращение баланса Вселенной: новая теория может объяснить исчезновение 95 процентов космоса». EurekAlert! . Получено 6 декабря 2018 г. .
75. Саги, Ева (июль 2009 г.). «Предпочтительные параметры системы отсчета в тензорно-векторно-скалярной теории гравитации и ее обобщении». Physical Review D . 80 (4): 044032. arXiv : 0905.4001 . Bibcode :2009PhRvD..80d4032S. doi :10.1103/PhysRevD.80.044032. S2CID  118854650.
76. Burko, LM; Ori, A. (1995). «О формировании черных дыр в несимметричной гравитации». Physical Review Letters . 75 (13): 2455–2459. arXiv : gr-qc/9506033 . Bibcode : 1995PhRvL..75.2455B. doi : 10.1103/physrevlett.75.2455. PMID  10059316. S2CID  16615589.
77. Damour; Deser; McCarthy (1993). Несимметричная гравитация имеет неприемлемую глобальную асимптотику. arXiv : gr-qc/9312030 . Bibcode :1993nghu.book.....D.
78. Хауган, Марк; Кауфман, Тьерри (1996). «Новый тест принципа эквивалентности Эйнштейна и изотропии пространства». Physical Review D. 52 ( 6): 3168–3175. arXiv : gr-qc/9504032 . Bibcode : 1995PhRvD..52.3168H. doi : 10.1103/physrevd.52.3168. PMID  10019545. S2CID  14791921.
79. Бисвас, Тиртабир; Мазумдар, Анупам; Сигел, Уоррен (2006). «Отскакивающие вселенные в гравитации, вдохновленной струнами». Журнал космологии и астрочастичной физики . 2006 (3): 009. arXiv : hep-th/0508194 . Bibcode : 2006JCAP...03..009B. doi : 10.1088/1475-7516/2006/03/009. S2CID  7445076.
80. Biswas, Tirthabir; Conroy, Aindriú; Koshelev, Alexey S.; Mazumdar, Anupam (2013). "Обобщенная свободная от призраков квадратичная кривизна гравитации". Classical and Quantum Gravity . 31 (1): 015022. arXiv : 1308.2319 . Bibcode : 2014CQGra..31a5022B. doi : 10.1088/0264-9381/31/1/015022. S2CID  119103482.
81. Бисвас, Тиртабир; Гервик, Эрик; Коивисто, Томи; Мазумдар, Анупам (2011). «К сингулярности и теориям гравитации без призраков». Physical Review Letters . 108 (3): 031101. arXiv : 1110.5249 . Bibcode : 2012PhRvL.108c1101B. doi : 10.1103/PhysRevLett.108.031101. PMID  22400725. S2CID  5517893.
82. Lousto, Carlos O; Mazzitelli, Francisco D (1997). «Точная самосогласованная гравитационная ударная волна в полуклассической гравитации». Physical Review D. 56 ( 6): 3471–3477. arXiv : gr-qc/9611009 . Bibcode : 1997PhRvD..56.3471L. doi : 10.1103/PhysRevD.56.3471. S2CID  5075915.
83. Окс, Юджин (2023). «Обзор последних достижений в области темной материи с точки зрения принципа бритвы Оккама». New Astronomy Reviews . 96 : 101673. Bibcode : 2023NewAR..9601673O. doi : 10.1016/j.newar.2023.101673. ISSN  1387-6473. S2CID  256262366.
84. Deur, Alexandre (2019). «Объяснение темной материи и темной энергии, согласующееся со Стандартной моделью физики элементарных частиц и общей теорией относительности». Eur. Phys. J. C. 79 ( 10): 883. arXiv : 1709.02481 . Bibcode : 2019EPJC...79..883D. doi : 10.1140/epjc/s10052-019-7393-0. S2CID  119218121.
85. Deur, A. (июнь 2009 г.). «Влияние взаимодействия гравитон–гравитон на темную материю». Physics Letters B. 676 ( 1–3): 21–24. arXiv : 0901.4005 . Bibcode : 2009PhLB..676...21D. doi : 10.1016/j.physletb.2009.04.060.
86. Deur, A.; Sargent, C.; Terzić, B. (2020). «Значение гравитационных нелинейностей в динамике дисковых галактик». Astrophys. J . 896 (2): 94. arXiv : 1909.00095 . Bibcode :2020ApJ...896...94D. doi : 10.3847/1538-4357/ab94b6 .{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
87. Deur, Alexandre (2003). «Неабелевы эффекты в гравитации». arXiv : astro-ph/0309474 .
88. Zee, A. (2010). Квантовая теория поля в двух словах . Princeton University Press. стр. 576.
89. Deur, Alexandre (2009). "Implications of Graviton-Graviton Interaction to Dark Matter". Phys. Lett. B . 676 (1–3): 21–24. arXiv : 0901.4005 . Bibcode :2009PhLB..676...21D. doi :10.1016/j.physletb.2009.04.060. S2CID  118596512.
90. Deur, Alexandre (2021). "Релятивистские поправки к кривым вращения дисковых галактик". Eur. Phys. J. C. 81 ( 3): 213. arXiv : 2004.05905 . Bibcode : 2021EPJC...81..213D. doi : 10.1140/epjc/s10052-021-08965-5. S2CID  215745418.
91. Deur, A. (2017). "Самодействующие скалярные поля при высокой температуре". Eur. Phys. J. C. 77 ( 6): 412. arXiv : 1611.05515 . Bibcode :2017EPJC...77..412D. doi :10.1140/epjc/s10052-017-4971-x. S2CID  254106132.
92. Баркер, WEV; Хобсон, MP; Ласенби, AN (2023). «Поддерживает ли гравитационное удержание плоские кривые галактического вращения без темной материи?». arXiv : 2303.11094 [gr-qc].
93. Deur, A. (2023). «Комментарий к статье «Поддерживает ли гравитационное удержание плоские кривые галактического вращения без темной материи?»". arXiv : 2306.00992 [gr-qc].
94. Deur, A. (2022). "Влияние самовзаимодействия поля общей теории относительности на анизотропию космического микроволнового фона". Class. Quant. Grav . 39 (13): 135003. arXiv : 2203.02350 . Bibcode : 2022CQGra..39m5003D. doi : 10.1088/1361-6382/ac7029. S2CID  247244759.
95. Deur, A. (2021). "Влияние самовзаимодействия гравитационного поля на формирование крупных структур". Phys. Lett. B . 820 : 136510. arXiv : 2108.04649 . Bibcode : 2021PhLB..82036510D. doi : 10.1016/j.physletb.2021.136510. S2CID  236965796.
96. Deur, A.; Sargent, C.; Terzić, B. (2020). «Значение гравитационных нелинейностей в динамике дисковых галактик». Astrophys. J . 896 (2): 94. arXiv : 1909.00095 . Bibcode :2020ApJ...896...94D. doi : 10.3847/1538-4357/ab94b6 .{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
97. Сарджент, К.; Дёр, А.; Терзич, Б. (2024). «Натяжение Хаббла и гравитационное самовзаимодействие». Physica Scripta . 99 (7). arXiv : 2301.10861 . Bibcode : 2024PhyS...99g5043S. doi : 10.1088/1402-4896/ad570f.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
98. Deur, A. (2014). «Связь между темной массой эллиптических галактик и их формой». Mon. Not. R. Astron. Soc . 438 (2): 1535–1551. arXiv : 1304.6932 . doi : 10.1093/mnras/stt2293 .
99. Winters, D.; Deur, A.; Zheng, X. (2022). «Обновленный анализ неожиданной корреляции между темной материей и галактической эллиптичностью». Mon. Not. R. Astron. Soc . 518 (2): 2845–2852. arXiv : 2207.02945 . Bibcode : 2023MNRAS.518.2845W. doi : 10.1093/mnras/stac3236 .
100. Нордтведт-младший, К.; Уилл, К. М. (1972). «Законы сохранения и предпочтительные системы отсчета в релятивистской гравитации II». The Astrophysical Journal . 177 : 775. Bibcode : 1972ApJ...177..775N. doi : 10.1086/151755 .
101. Рейес, Рейнабель; Мандельбаум, Рэйчел; Селяк, Урош; Балдауф, Тобиас; Ганн, Джеймс Э.; Ломбрайзер, Лукас; Смит, Роберт Э. (2010). «Подтверждение общей теории относительности на больших масштабах с помощью слабого линзирования и скоростей галактик». Nature . 464 (7286). Springer Science and Business Media LLC: 256–258. arXiv : 1003.2185 . Bibcode :2010Natur.464..256R. doi :10.1038/nature08857. ISSN  0028-0836. PMID  20220843. S2CID  205219902.
102. Эйнштейн, А (1912). «Lichtgeschwindigkeit und Statik des Gravitationsfeldes». Аннален дер Физик (на немецком языке). 38 (7): 355–369. Бибкод : 1912АнП...343..355Е. дои : 10.1002/andp.19123430704.
103. Эйнштейн, А (1912). «Zur Theorie des statischen Gravitationsfeldes». Аннален дер Физик (на немецком языке). 38 (7): 443. Бибкод : 1912АнП...343..443Е. дои : 10.1002/andp.19123430709.
104. Эйнштейн, А.; Фоккер, AD (1914). «Die Nordströmsche Gravitationstheorie vom Standpunkt des Absoluten Differentkalküls». Аннален дер Физик . 44 (10): 321–328. Бибкод : 1914АнП...349..321Е. дои : 10.1002/andp.19143491009.

Внешние ссылки

• Кэрролл, Шон . Видеолекция-обсуждение возможностей и ограничений пересмотра Общей теории относительности. Темная энергия или хуже: был ли Эйнштейн неправ? на YouTube