Фотоэмиссионная спектроскопия с угловым разрешением

Экспериментальная методика определения распределения электронов в твердых телах

Спектр ARPES двумерного электронного состояния, локализованного на поверхности (111) меди. Энергия имеет зависимость от импульса , подобную зависимости от свободного электрона , p ² /2 m , где m = 0,46 ‍ m e . Цветовая шкала представляет количество электронов на канал кинетической энергии и угла испускания. При  использовании фотонов 21,22 эВ уровень Ферми отображается при 16,64 эВ.

Фотоэмиссионная спектроскопия с угловым разрешением ( ARPES ) — это экспериментальный метод, используемый в физике конденсированных сред для исследования разрешенных энергий и импульсов электронов в материале, обычно кристаллическом твердом теле . Он основан на фотоэлектрическом эффекте , при котором входящий фотон достаточной энергии выбрасывает электрон с поверхности материала. Непосредственно измеряя кинетические энергии и распределения углов эмиссии испускаемых фотоэлектронов, этот метод может отображать электронную зонную структуру и поверхности Ферми . ARPES лучше всего подходит для изучения одномерных или двумерных материалов. Он использовался физиками для исследования высокотемпературных сверхпроводников , графена , топологических материалов , состояний квантовых ям и материалов, демонстрирующих волны плотности заряда . ^[1]

Системы ARPES состоят из монохроматического источника света для подачи узкого пучка фотонов, держателя образца, соединенного с манипулятором, используемым для позиционирования образца материала, и электронного спектрометра . Оборудование находится в среде сверхвысокого вакуума (UHV), которая защищает образец и предотвращает рассеяние испускаемых электронов. После рассеивания по двум перпендикулярным направлениям относительно кинетической энергии и угла испускания электроны направляются на детектор и подсчитываются для получения спектров ARPES — срезов зонной структуры вдоль одного направления импульса. Некоторые приборы ARPES могут извлекать часть электронов вдоль детектора для измерения поляризации их спина .

Принцип

Электроны в кристаллических твердых телах могут занимать только состояния определенных энергий и импульсов, другие запрещены квантовой механикой . Они образуют континуум состояний, известный как зонная структура твердого тела. Зонная структура определяет, является ли материал изолятором , полупроводником или металлом , как он проводит электричество и в каких направлениях он проводит лучше всего, или как он ведет себя в магнитном поле .

Фотоэмиссионная спектроскопия с угловым разрешением определяет зонную структуру и помогает понять процессы рассеяния и взаимодействия электронов с другими компонентами материала. Это происходит путем наблюдения за электронами, выброшенными фотонами из их начального энергетического и импульсного состояния в состояние, энергия которого на энергию фотона выше начальной энергии и выше энергии связи электрона в твердом теле. При этом импульс электрона остается практически неизменным, за исключением его компонента, перпендикулярного поверхности материала. Таким образом, зонная структура переводится из энергий, при которых электроны связаны внутри материала, в энергии, которые освобождают их от кристаллической связи и позволяют их обнаруживать вне материала.

Измеряя кинетическую энергию освобожденного электрона, можно рассчитать его скорость и абсолютный импульс. Измеряя угол испускания относительно нормали к поверхности, ARPES может также определить два плоских компонента импульса, которые сохраняются в процессе фотоэмиссии. Во многих случаях, если необходимо, можно реконструировать и третий компонент.

Инструментарий

Типичная лабораторная установка для эксперимента ARPES (не в масштабе): гелиевая разрядная лампа в качестве источника ультрафиолетового света, держатель образца, который крепится к вакуумному манипулятору , и полусферический анализатор энергии электронов .

Типичный прибор для фотоэмиссии с угловым разрешением состоит из источника света, держателя образца, прикрепленного к манипулятору, и электронного спектрометра. Все они являются частью сверхвысоковакуумной системы, которая обеспечивает необходимую защиту от адсорбатов для поверхности образца и исключает рассеивание электронов на пути к анализатору. ^{[2] [3]}

Источник света подает на образец монохроматический , обычно поляризованный , сфокусированный, высокоинтенсивный луч ~1012 ^{фотонов} /с с разбросом энергии в несколько мэВ . ^[3] Источники света варьируются от компактных УФ-ламп с разрядом на инертных газах и радиочастотных плазменных источников (10–40 эВ), ^{[4] [5] [6]} ультрафиолетовых лазеров (5–11 эВ) ^[7] до синхротронных ^[8] вставных устройств , оптимизированных для различных частей электромагнитного спектра (от 10 эВ в ультрафиолете до 1000 эВ рентгеновского излучения).

Вид через окно сверхвысоковакуумной камеры для фотоэмиссионной спектроскопии с угловым разрешением. Держатель кристалла со встроенным электронным нагревом прикреплен к манипулятору xyz+theta сверху, а серебряной оплеткой к криоохладителю снизу. Справа видны линза электронного анализатора и капилляр источника УФ-излучения.

Держатель образца вмещает образцы кристаллических материалов, электронные свойства которых необходимо исследовать. Он облегчает их введение в вакуум, расщепление для обнажения чистых поверхностей и точное позиционирование. Держатель работает как продолжение манипулятора, который делает возможными перемещения по трем осям и вращения для регулировки полярных, азимутальных и наклонных углов образца. Держатель имеет датчики или термопары для точного измерения и контроля температуры. Охлаждение до температур до 1 кельвина обеспечивается криогенными сжиженными газами , криоохладителями и холодильниками для разбавления . Резистивные нагреватели, прикрепленные к держателю, обеспечивают нагрев до нескольких сотен °C, тогда как миниатюрные устройства для бомбардировки электронным пучком с обратной стороны могут обеспечивать температуру образца до 2000 °C. Некоторые держатели также могут иметь насадки для фокусировки и калибровки светового пучка .

Траектории электронов в электростатической линзе спектрометра ARPES, показанные в плоскости угловой дисперсии. Прибор показывает определенную степень фокусировки на одном и том же канале обнаружения электронов, покидающих кристалл под тем же углом, но исходящих из двух отдельных точек на образце. Здесь смоделированное разделение составляет 0,5 мм.

Электронный спектрометр рассеивает электроны по двум пространственным направлениям в соответствии с их кинетической энергией и углом их испускания при выходе из образца; другими словами, он обеспечивает отображение различных энергий и углов испускания в различные положения на детекторе. В наиболее часто используемом типе, полусферическом анализаторе энергии электронов , электроны сначала проходят через электростатическую линзу . Линза имеет узкое фокусное пятно , которое находится примерно в 40 мм от входа в линзу. Он дополнительно усиливает угловое распространение электронного факела и подает его с настроенной энергией в узкую входную щель рассеивающей энергию части.

Электронный спектрометр с угловым и энергетическим разрешением для ARPES (схема)

Дисперсия энергии осуществляется для узкого диапазона энергий вокруг так называемой энергии прохождения в направлении, перпендикулярном направлению угловой дисперсии, то есть перпендикулярном срезу щели длиной ~25 мм и шириной ⪆0,1 мм. Угловая дисперсия, ранее достигнутая вокруг оси цилиндрической линзы, сохраняется только вдоль щели и в зависимости от режима линзы и желаемого углового разрешения обычно устанавливается равной ±3°, ±7° или ±15°. ^{[4] [5] [6]} Полусферы энергетического анализатора поддерживаются при постоянном напряжении, так что по центральной траектории следуют электроны, имеющие кинетическую энергию, равную установленной энергии прохождения; те, у которых энергия выше или ниже, оказываются ближе к внешней или внутренней полусфере на другом конце анализатора. Здесь установлен детектор электронов , обычно в виде 40-миллиметровой микроканальной пластины, сопряженной с флуоресцентным экраном. События обнаружения электронов регистрируются с помощью внешней камеры и подсчитываются в сотнях тысяч отдельных каналов угла и кинетической энергии. Некоторые приборы дополнительно оснащены трубкой для извлечения электронов с одной стороны детектора, чтобы обеспечить измерение спиновой поляризации электронов .

Современные анализаторы способны разрешать углы испускания электронов вплоть до 0,1°. Энергетическое разрешение зависит от энергии пропускания и ширины щели, поэтому оператор выбирает между измерениями со сверхвысоким разрешением и низкой интенсивностью (< 1 мэВ при энергии пропускания 1 эВ) или худшим энергетическим разрешением 10 мэВ или более при более высоких энергиях пропускания и с более широкими щелями, что приводит к более высокой интенсивности сигнала. Разрешение прибора проявляется как искусственное уширение спектральных характеристик: отсечка энергии Ферми шире, чем ожидалось только по температуре образца, и теоретическая спектральная функция электрона, свернутая с функцией разрешения прибора как по энергии, так и по импульсу/углу. ^{[4] [5] [6]}

Иногда вместо полусферических анализаторов используются анализаторы времени пролета . Однако они требуют импульсных источников фотонов и наиболее распространены в лазерных ARPES- лабораториях. ^[9]

Основные отношения

Фотоэмиссионная спектроскопия с угловым разрешением является мощным усовершенствованием обычной фотоэмиссионной спектроскопии . Свет частоты, состоящий из фотонов энергии , где - постоянная Планка , используется для стимуляции переходов электронов из занятого в незанятое электронное состояние твердого тела. Если энергия фотона больше энергии связи электрона , электрон в конечном итоге покинет твердое тело, не рассеиваясь , и будет наблюдаться с кинетической энергией ^[10] ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle h\nu }$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle E_{\text{B}}}$

${\displaystyle E_{\text{k}}=h\nu -E_{\text{B}}}$

под углом относительно нормали к поверхности , оба характерны для изучаемого материала. ^{[примечание 1]} ${\displaystyle \vartheta }$

Слева : Угол анализатора – карта энергии I ₀ ( α , E _k ) вокруг вертикального излучения. Справа : Угол анализатора – карты энергии I _θ ( α , E _k ) под несколькими полярными углами от вертикального излучения.

Карты интенсивности электронной эмиссии, измеренные с помощью ARPES как функции и являются репрезентативными для внутреннего распределения электронов в твердом теле, выраженного в терминах их энергии связи и волнового вектора Блоха , который связан с кристаллическим импульсом электронов и групповой скоростью . В процессе фотоэмиссии волновой вектор Блоха связан с измеренным импульсом электрона , где величина импульса задается уравнением ${\displaystyle E_{\text{k}}}$ ${\displaystyle \vartheta }$ ${\displaystyle E_{\text{B}}}$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle |\mathbf {p} |}$

${\displaystyle |\mathbf {p} |={\sqrt {2m_{\text{e}}E_{\text{k}}}}}$.

Когда электрон пересекает поверхностный барьер, теряя часть своей энергии из-за поверхностной рабочей функции , ^{[примечание 1]} сохраняется только та составляющая , которая параллельна поверхности, . Таким образом, из ARPES точно известно только , и ее величина определяется как ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} _{\Vert }}$ ${\displaystyle \mathbf {k} _{\Vert }={\tfrac {1}{\hbar }}\mathbf {p} _{\Vert }}$

${\displaystyle |\mathbf {k} _{\Vert }|={\tfrac {1}{\hbar }}|\mathbf {p_{\Vert }} |={\tfrac {1}{\hbar }}{\sqrt {2m_{\text{e}}E_{\text{k}}}}\sin \vartheta }$. ^[11]

Здесь — приведенная постоянная Планка . ${\displaystyle \hbar }$

Из-за неполного определения трехмерного волнового вектора и выраженной поверхностной чувствительности процесса упругой фотоэмиссии, ARPES лучше всего подходит для полной характеристики зонной структуры в упорядоченных низкоразмерных системах, таких как двумерные материалы , сверхтонкие пленки и нанопроволоки . При использовании для трехмерных материалов перпендикулярная составляющая волнового вектора обычно аппроксимируется с предположением о параболическом , свободно-электронном конечном состоянии с дном при энергии . Это дает: ${\displaystyle k_{\perp }}$ ${\displaystyle -V_{0}}$

${\displaystyle k_{\perp }={\tfrac {1}{\hbar }}{\sqrt {2m_{\text{e}}(E_{\text{k}}\cos ^{2}\!\vartheta +V_{0})}}}$. ^[11]

Внутренний потенциал является неизвестным параметром априори. Для систем d-электронов эксперимент показывает, что ≈ 15 эВ . ^[12] В общем, внутренний потенциал оценивается с помощью серии экспериментов, зависящих от энергии фотона, особенно в экспериментах по картированию фотоэмиссионных полос. ^[13] ${\displaystyle V_{0}}$ ${\displaystyle V_{0}}$

Картографирование поверхности Ферми

Слева : Карта постоянной энергии вблизи E _F в единицах угла анализатора – полярного угла (полярное движение перпендикулярно щели анализатора). Справа : Карта постоянной энергии вблизи E _F в единицах импульса кристалла (преобразованная из карты угла анализатора – полярного угла).

Электронные анализаторы, которые используют щель для предотвращения смешивания каналов импульса и энергии, способны снимать угловые карты только вдоль одного направления. Чтобы снимать карты по энергии и двумерному пространству импульса, либо образец поворачивается в правильном направлении так, чтобы щель принимала электроны из соседних углов испускания, либо электронный шлейф направляется внутрь электростатической линзы с фиксированным образцом. Ширина щели будет определять размер шага углового сканирования. Например, когда шлейф ±15°, рассеянный вокруг оси линзы, подается в щель длиной 30 мм и шириной 1 мм, каждый миллиметр щели получает порцию 1° — в обоих направлениях; но на детекторе другое направление интерпретируется как кинетическая энергия электрона, и информация об угле испускания теряется. Это усреднение определяет максимальное угловое разрешение сканирования в направлении, перпендикулярном щели: при щели 1 мм шаги грубее 1° приводят к потере данных, а более мелкие шаги — к перекрытиям. Современные анализаторы имеют щели шириной до 0,05 мм. Карты энергия–угол–угол обычно дополнительно обрабатываются для получения карт энергия – k _x – k _y и разрезаются таким образом, чтобы отображать поверхности постоянной энергии в зонной структуре и, что наиболее важно, карту поверхности Ферми, когда они разрезаются вблизи уровня Ферми.

Преобразование угла излучения в импульс

Геометрия эксперимента ARPES (не в масштабе). В этом положении θ = 0° и τ = 0° анализатор принимает электроны, испускаемые вертикально с поверхности и α ≤ 8° вокруг.

Спектрометр ARPES измеряет угловую дисперсию в срезе α вдоль его щели. Современные анализаторы регистрируют эти углы одновременно, в своей системе отсчета, как правило, в диапазоне ±15°. Чтобы отобразить структуру полосы в двумерном импульсном пространстве, образец вращают, сохраняя при этом световое пятно на поверхности фиксированным. Наиболее распространенным выбором является изменение полярного угла θ вокруг оси, параллельной щели, и регулировка наклона τ или азимута φ таким образом, чтобы можно было достичь излучения из определенной области зоны Бриллюэна .

Компоненты импульса электронов можно выразить через величины, измеренные в системе отсчета анализатора, как

${\displaystyle \mathbf {P} =[0,P\sin \alpha ,P\cos \alpha ]}$, где . ${\displaystyle P={\sqrt {2m_{\text{e}}E_{\text{k}}}}}$

Вращения системы отсчета образца. Анализатор измеряет диапазон углов α в своей собственной системе отсчета.

Эти компоненты могут быть преобразованы в соответствующие компоненты импульса в системе отсчета образца, , с помощью матриц вращения . Когда образец вращается вокруг оси y на θ , есть компоненты . Если образец также наклонен вокруг x на τ , это приводит к , и компоненты импульса кристалла электрона, определяемые ARPES в этой геометрии отображения, равны ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle R_{\textrm {axis}}({\textrm {angle}})}$ ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle R_{y}(\vartheta )\,\mathbf {P} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} =R_{x}(\tau )R_{y}(\vartheta )\,\mathbf {P} }$

${\displaystyle k_{x}={\tfrac {1}{\hbar }}p_{x}={\tfrac {1}{\hbar }}{\sqrt {2m_{\text{e}}E_{\text{k}}}}\,\cos \alpha \sin \vartheta }$

${\displaystyle k_{y}={\tfrac {1}{\hbar }}p_{y}={\tfrac {1}{\hbar }}{\sqrt {2m_{\text{e}}E_{\text{k}}}}\,(\pm \sin \alpha \cos \tau +\cos \alpha \sin \tau \cos \vartheta )}$

выбрать знак в зависимости от того, пропорционален ли ${\displaystyle \vartheta =0}$ ${\displaystyle k_{y}}$

или​ ${\displaystyle \sin(\alpha +\tau )}$ ${\displaystyle \sin(\alpha -\tau )}$

Если известны оси высокой симметрии образца и их необходимо выровнять, можно применить коррекцию по азимуту φ , вращая вокруг z, когда или вращая преобразованную карту I ( E , k _x , k _y ) вокруг начала координат в двумерных импульсных плоскостях. ${\displaystyle \mathbf {p} =R_{z}(\varphi )R_{x}(\tau )R_{y}(\vartheta )\,\mathbf {P} }$

Теория соотношений интенсивности фотоэмиссии

Теория фотоэмиссии ^{[2] [10] [11]} — это теория прямых оптических переходов между состояниями и N -электронной системы . Возбуждение света вводится как магнитный векторный потенциал посредством минимальной замены в кинетической части квантово-механического гамильтониана для электронов в кристалле. Возмущенная часть гамильтониана получается: ${\displaystyle |i\rangle }$ ${\displaystyle |f\rangle }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} \mapsto \mathbf {p} +e\mathbf {A} }$

${\displaystyle H'={\frac {e}{2m}}(\mathbf {A} \cdot \mathbf {p} +\mathbf {p} \cdot \mathbf {A} )+{\frac {e^{2}}{2m}}|\mathbf {A} |^{2}}$.

В этом подходе спиновая связь электрона с электромагнитным полем игнорируется. Скалярный потенциал устанавливается равным нулю либо путем наложения калибровки Вейля ^[2] , либо путем работы в калибровке Кулона , в которой становится пренебрежимо малым вдали от источников. В любом случае коммутатор принимается равным нулю. В частности, в калибровке Вейля , поскольку период для ультрафиолетового света примерно на два порядка больше периода волновой функции электрона . В обеих калибровках предполагается, что электроны на поверхности имели мало времени, чтобы отреагировать на входящее возмущение, и ничего не добавляют ни к одному из двух потенциалов. Для большинства практических применений безопасно пренебречь квадратичным членом. Следовательно, ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi =0}$ ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} =0}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \left[\mathbf {A} ,\mathbf {p} \right]=i\hbar \,\nabla \cdot \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} \approx 0}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle |A|^{2}}$

${\displaystyle H'={\frac {e}{m}}\mathbf {A} \cdot \mathbf {p} }$.

Вероятность перехода рассчитывается в теории возмущений, зависящей от времени, и определяется золотым правилом Ферми :

${\displaystyle \Gamma _{i\to f}={\frac {2\pi }{\hbar }}|\langle f|H'|i\rangle |^{2}\delta (E_{f}-E_{i}-h\nu )\propto |\langle f|\mathbf {A} \cdot \mathbf {p} |i\rangle |^{2}\,\delta (E_{f}-E_{i}-h\nu )}$,

Приведенное выше дельта -распределение — это способ сказать, что энергия сохраняется при поглощении фотона энергии . ${\displaystyle h\nu }$ ${\displaystyle E_{f}=E_{i}+h\nu }$

Если электрическое поле электромагнитной волны записывается как , где , то векторный потенциал наследует его поляризацию и равен . Тогда вероятность перехода выражается через электрическое поле как ^[14] ${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {E_{0}} \sin(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}$ ${\displaystyle \omega =2\pi \nu }$ ${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\tfrac {1}{\omega }}\mathbf {E_{0}} \cos(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}$

${\displaystyle \Gamma _{i\to f}\propto |\langle f|{\tfrac {1}{\nu }}\mathbf {E_{0}} \cdot \mathbf {p} |i\rangle |^{2}\,\delta (E_{f}-E_{i}-h\nu )}$.

В приближении внезапности , которое предполагает, что электрон мгновенно удаляется из системы из N электронов, конечное и начальное состояния системы принимаются как правильно антисимметризированные произведения одночастичных состояний фотоэлектрона и состояний , представляющих оставшиеся ( N − 1) -электронные системы. ^[2] ${\displaystyle |k_{i}\rangle }$ ${\displaystyle |k_{f}\rangle }$

Фотоэмиссионный ток электронов энергии и импульса затем выражается как произведение ${\displaystyle E_{f}=E_{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} }$

• ${\displaystyle |\langle k_{f}|\mathbf {E_{0}} \cdot \mathbf {p} |k_{i}\rangle |^{2}=M_{fi}}$, известные как дипольные правила отбора для оптических переходов, и
• ${\displaystyle A(\mathbf {k} ,E)}$, спектральная функция удаления одного электрона , известная из теории многих тел в физике конденсированного состояния

суммируется по всем разрешенным начальным и конечным состояниям, приводящим к наблюдаемым энергии и импульсу. ^[2] Здесь E измеряется относительно уровня Ферми E _F , а E _k относительно вакуума, так что где , функция выхода , представляет собой разницу энергий между двумя референтными уровнями. Функция выхода зависит от материала, ориентации поверхности и состояния поверхности. Поскольку разрешенными начальными состояниями являются только те, которые заняты, сигнал фотоэмиссии будет отражать функцию распределения Ферми-Дирака в форме зависящего от температуры сигмоидального падения интенсивности вблизи E _F . В случае двумерной однозонной электронной системы отношение интенсивности дополнительно сводится к ${\displaystyle E_{\text{k}}=E+h\nu -W}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle f(E)={\frac {1}{1+e^{(E-E_{\text{F}})/k_{\text{B}}T}}}}$

${\displaystyle I(E_{\text{k}},\mathbf {k_{\Vert }} )=I_{M}(\mathbf {k_{\Vert }} ,\mathbf {E_{0}} ,\nu )\,f(E)\,A(\mathbf {k_{\Vert }} ,E)}$. ^[2]

Правила отбора

Электронные состояния в кристаллах организованы в энергетические зоны , которые имеют связанные дисперсии энергетических зон , которые являются собственными значениями энергии для делокализованных электронов согласно теореме Блоха. Из фактора плоской волны в разложении волновых функций Блоха следует, что единственные разрешенные переходы, когда не участвуют другие частицы, находятся между состояниями, чьи кристаллические импульсы отличаются на обратные векторы решетки , т. е. теми состояниями, которые находятся в схеме приведенной зоны друг над другом (отсюда название прямые оптические переходы ). ^[11] ${\displaystyle E(k)}$ ${\displaystyle \exp(i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$

Другой набор правил отбора возникает из (или ), когда учитываются поляризация фотона, содержащегося в (или ), и симметрии начального и конечного одноэлектронных блоховских состояний и . Они могут приводить к подавлению сигнала фотоэмиссии в определенных частях обратного пространства или могут сообщать о конкретном атомно-орбитальном происхождении начального и конечного состояний. ^[15] ${\displaystyle M_{fi}}$ ${\displaystyle I_{M}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {E_{0}} }$ ${\displaystyle |k_{i}\rangle }$ ${\displaystyle |k_{f}\rangle }$

Многочастичные эффекты

Спектр ARPES ренормализованной π-полосы электронно-легированного графена ; p-поляризованный свет 40 эВ, T = 80 К. Пунктирная линия — голая полоса. Излом при −0,2 эВ обусловлен фононами графена . ^[16]

Одноэлектронная спектральная функция, которая напрямую измеряется в ARPES, отображает вероятность того, что состояние системы из N электронов, из которой был мгновенно удален один электрон, является любым из основных состояний системы из ( N − 1) частиц:

${\displaystyle A(\mathbf {k} ,E)=\sum _{m}\left|\,\left\langle {\begin{matrix}{\scriptstyle (N-1)\,\mathrm {eigenstate} }\\{\scriptstyle m}\end{matrix}}\,\,|\,\,{\begin{matrix}{\scriptstyle (N)\,\mathrm {eigenstate} }\\{\scriptstyle \mathrm {with\,} \mathbf {k} \mathrm {\,removed} }\end{matrix}}\right\rangle \,\right|^{2}\,\delta (E-E_{m}^{N-1}+E^{N})}$.

Если бы электроны были независимы друг от друга, то состояние N -электрона с удаленным состоянием было бы в точности собственным состоянием системы N -1 частиц, а спектральная функция стала бы бесконечно острой дельта-функцией при энергии и импульсе удаленной частицы; она отслеживала бы дисперсию независимых частиц в пространстве энергии-импульса . В случае увеличения электронных корреляций спектральная функция расширяется и начинает развивать более богатые особенности, которые отражают взаимодействия в базовой системе многих тел . Они обычно описываются сложной поправкой к дисперсии энергии отдельной частицы, которая называется собственной энергией квазичастицы , ${\displaystyle |k_{i}\rangle }$ ${\displaystyle E_{o}(\mathbf {k} )}$

${\textstyle \Sigma (\mathbf {k} ,E)=\Sigma '(\mathbf {k} ,E)+i\Sigma ''(\mathbf {k} ,E)}$.

Эта функция содержит полную информацию о перенормировке электронной дисперсии из-за взаимодействий и времени жизни дырки, созданной возбуждением. Оба могут быть определены экспериментально из анализа спектров ARPES высокого разрешения при нескольких разумных предположениях. А именно, можно предположить, что часть спектра почти постоянна вдоль направлений высокой симметрии в импульсном пространстве и что единственная переменная часть исходит от спектральной функции, которая в терминах , где два компонента обычно считаются зависящими только от , читается как ${\displaystyle M_{fi}}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle A(\mathbf {k} ,E)=-{\frac {1}{\pi }}{\frac {\Sigma ''(E)}{\left[E-E_{o}(\mathbf {k} )-\Sigma '(E)\right]^{2}+\left[\Sigma ''(E)\right]^{2}}}}$

Постоянные энергетические разрезы спектральной функции приблизительно являются лоренцевскими , ширина которых на полувысоте определяется мнимой частью собственной энергии , а их отклонение от затравочной зоны задается ее действительной частью.

Эта функция известна из ARPES как сканирование вдоль выбранного направления в импульсном пространстве и является двумерной картой вида . При разрезании при постоянной энергии получается кривая типа Лоренца в , перенормированное положение пика которой задается как , а ширина на половине максимума определяется как , следующим образом: ^{[17] [16]} ${\displaystyle A(k,E)}$ ${\displaystyle E_{m}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k_{m}}$ ${\displaystyle \Sigma '(E_{m})}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \Sigma ''(E_{m})}$

1. ${\displaystyle \Sigma '(E_{m})=E_{m}-E_{o}(k_{m})}$
2. ${\displaystyle \Sigma ''(E_{m})={\frac {1}{2}}\left[E_{o}(k_{m}+{\textstyle {\frac {1}{2}}}w)-E_{o}(k_{m}-{\textstyle {\frac {1}{2}}}w)\right]}$

Единственным оставшимся неизвестным в анализе является голая полоса . Голую полосу можно найти самосогласованным способом, применяя соотношение Крамерса-Кронига между двумя компонентами комплексной функции , которая получена из предыдущих двух уравнений. Алгоритм следующий: начать с анзацной голой полосы, вычислить по ур. (2), преобразовать ее в с помощью соотношения Крамерса-Кронига , затем использовать эту функцию для вычисления дисперсии голой полосы на дискретном наборе точек по ур. (1) и передать алгоритму ее подгонку к подходящей кривой в качестве новой анзацной голой полосы; сходимость обычно достигается за несколько быстрых итераций. ^[16] ${\displaystyle E_{o}(k)}$ ${\displaystyle \Sigma (E)}$ ${\displaystyle \Sigma ''(E)}$ ${\displaystyle \Sigma '(E)}$ ${\displaystyle k_{m}}$

Из собственной энергии, полученной таким образом, можно судить о силе и форме электрон-электронных корреляций, электрон- фононного (в более общем смысле, электрон- бозонного ) взаимодействия, активных фононных энергий и времени жизни квазичастиц . ^{[18] [19] [20] [21] [22]}

В простых случаях сглаживания зоны вблизи уровня Ферми из-за взаимодействия с фононами Дебая масса зоны увеличивается на (1 + λ ) , а фактор электрон-фононной связи λ может быть определен из линейной зависимости ширины пика от температуры. ^[21]

Для сильно коррелированных систем, таких как купратные сверхпроводники, знания собственной энергии, к сожалению, недостаточны для всестороннего понимания физических процессов, которые приводят к определенным особенностям в спектре. ^[23] Фактически, в случае купратных сверхпроводников различные теоретические трактовки часто приводят к совершенно разным объяснениям происхождения определенных особенностей в спектре. Типичным примером является псевдощель в купратах, т. е. селективное по импульсу подавление спектрального веса на уровне Ферми, которое разными авторами связывалось со спиновыми, зарядовыми или (d-волновыми) парными флуктуациями. Эту неоднозначность относительно основного физического механизма работы можно преодолеть, рассматривая двухчастичные корреляционные функции (такие как оже-электронная спектроскопия и спектроскопия потенциала появления), поскольку они способны описывать коллективный режим системы и также могут быть связаны с определенными свойствами основного состояния. ^[24]

Использует

ARPES использовался для отображения структуры занятых зон многих металлов и полупроводников , состояний, появляющихся в проецируемых запрещенных зонах на их поверхностях, ^{[10] состояний} квантовых ям , которые возникают в системах с пониженной размерностью , ^[25] материалов толщиной в один атом, таких как графен , ^[26] дихалькогенидов переходных металлов и многих разновидностей топологических материалов . ^{[27] [28]} Он также использовался для отображения базовой структуры зон, щелей и динамики квазичастиц в сильно коррелированных материалах, таких как высокотемпературные сверхпроводники и материалы, демонстрирующие волны плотности заряда . ^{[2] [29] [30] [9]}

Когда необходимо изучить динамику электронов в связанных состояниях чуть выше уровня Ферми, используется двухфотонное возбуждение в установках накачки-зонда ( 2PPE ). Там первый фотон достаточно низкой энергии используется для возбуждения электронов в незанятые зоны, которые все еще находятся ниже энергии, необходимой для фотоэмиссии (т. е. между уровнями Ферми и вакуума). Второй фотон используется для выталкивания этих электронов из твердого тела, чтобы их можно было измерить с помощью ARPES. Точно синхронизируя второй фотон, обычно с помощью умножения частоты низкоэнергетического импульсного лазера и задержки между импульсами путем изменения их оптических путей , можно определить время жизни электрона в масштабе ниже пикосекунд . ^{[31] [32]}

Примечания

1. Для простоты функция выхода включена в выражение как часть (истинного значения энергии связи). На практике, однако, энергия связи выражается относительно уровня Ферми материала, который можно считать из спектра ARPES. Функция выхода — это разница между уровнем Ферми и уровнем вакуума , где электроны свободны. ${\displaystyle E_{\text{k}}}$ ${\displaystyle E_{\text{B}}}$

Ссылки

1. Чжан, Хонгюнь; Пинчелли, Томмасо; Джозвиак, Крис; Кондо, Такеши; Эрнсторфер, Ральф; Сато, Такафуми; Чжоу, Шуюнь (14 июля 2022 г.). "Фотоэмиссионная спектроскопия с угловым разрешением". Nature Reviews Methods Primers . 2 (1): 54. arXiv : 2207.06942 . doi :10.1038/s43586-022-00133-7. ISSN  2662-8449. S2CID  124044051.
2. Дамаскелли, Андреа; Шен, Чжи-Сюнь; Хуссейн, Захид (17 апреля 2003 г.). «Фотоэмиссионная спектроскопия с угловым разрешением купратных сверхпроводников». Reviews of Modern Physics . 75 (2): 473–541. arXiv : cond-mat/0208504 . doi :10.1103/RevModPhys.75.473. ISSN  0034-6861. S2CID  118433150.
3. Hüfner, Stefan, ed. (2007). Фотоэлектронная спектроскопия сверхвысокого разрешения. Lecture Notes in Physics. Vol. 715. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. doi :10.1007/3-540-68133-7. ISBN 978-3-540-68130-4. (требуется подписка)
4. "MBScientific электронные анализаторы и источники УФ-излучения".
5. "ARPES Lab". Scienta Omicron. 2020. Архивировано из оригинала 8 июля 2020 г. Получено 29 августа 2020 г.
6. "Lab ARPES System with PHOIBOS Analyzer". SPECS . Получено 29 августа 2020 г. .
7. "Продукты". Lumeras LLC. 2013. Получено 29 августа 2020 г.
8. "Источники света мира". 24 августа 2017 г.
9. Zhou, Xingjiang; He, Shaolong; Liu, Guodong; Zhao, Lin; Yu, Li; Zhang, Wentao (1 июня 2018 г.). «Новые разработки в области лазерной фотоэмиссионной спектроскопии и ее научные приложения: обзор ключевых вопросов». Reports on Progress in Physics . 81 (6): 062101. arXiv : 1804.04473 . Bibcode : 2018RPPh...81f2101Z. doi : 10.1088/1361-6633/aab0cc. ISSN  0034-4885. PMID  29460857. S2CID  3440746.
10. Hüfner, Stefan. (2003). "Введение и основные принципы". Фотоэлектронная спектроскопия: принципы и приложения (третье переиздание и дополненное издание). Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. ISBN 978-3-662-09280-4. OCLC  851391282.
11. Дамаскелли, Андреа (2004). "Исследование низкоэнергетической электронной структуры сложных систем с помощью ARPES". Physica Scripta . T109 : 61. arXiv : cond-mat/0307085 . doi :10.1238/Physica.Topical.109a00061. ISSN  0031-8949. S2CID  21730523.
12. Хорио, М.; Хаузер, К.; Сасса, Ю.; Мингажева, З.; Саттер, Д.; Крамер, К.; Кук, А.; Ночерино, Э.; Форслунд, ОК; Тьернберг, О.; Кобаяши, М. (17 августа 2018 г.). "Трехмерная поверхность Ферми сверхлегированных купратов на основе La". Physical Review Letters . 121 (7): 077004. doi :10.1103/PhysRevLett.121.077004. hdl : 1983/b5d79bda-0ca2-44b9-93a0-0aa603b0a543 . PMID  30169083. S2CID  206315433.
13. Райли, Дж. М.; Маццола, Ф.; Дендзик, М.; Мичиарди, М.; Такаяма, Т.; Боуден, Л.; Гранерод, К.; Леандерссон, М.; Баласубраманиан, Т.; Хеш, М.; Ким, ТК (2014). «Прямое наблюдение спин-поляризованных объемных зон в инверсионно-симметричном полупроводнике». Nature Physics . 10 (11): 835–839. doi : 10.1038/nphys3105 . hdl : 10023/6433 . ISSN  1745-2473. S2CID  55620357.
14. Вакер, Андреас. "Золотое правило Ферми" (PDF) . Учебные заметки (Лундский университет) . Архивировано из оригинала 24 октября 2022 г. . Получено 14 июня 2023 г. .{{cite web}}: CS1 maint: bot: original URL status unknown (link)
15. Cao, Yue; Waugh, JA; Zhang, X.-W.; Luo, J.-W.; Wang, Q.; Reber, TJ; Mo, SK; Xu, Z.; Yang, A.; Schneeloch, J.; Gu, G. (21 июля 2013 г.). «Переключение орбитальной текстуры в плоскости в точке Дирака в топологическом изоляторе Bi2Se3». Nature Physics . 9 (8): 499–504. arXiv : 1209.1016 . doi :10.1038/nphys2685. ISSN  1745-2473. S2CID  119197719.
16. Плетикосич, Иво; Краль, Марко; Милун, Милорад; Перван, Петар (24 апреля 2012 г.). "Поиск голой зоны: электронная связь с двумя фононными модами в легированном калием графене на Ir(111)". Physical Review B . 85 (15): 155447. arXiv : 1201.0777 . Bibcode :2012PhRvB..85o5447P. doi :10.1103/PhysRevB.85.155447. ISSN  1098-0121. S2CID  119170154.
17. Кордюк, АА; Борисенко, СВ; Койцш, А.; Финк, Й.; Кнупфер, М.; Бергер, Х. (9 июня 2005 г.). "Дисперсия голых электронов из экспериментов по фотоэмиссии". Physical Review B . 71 (21): 214513. arXiv : cond-mat/0405696 . doi :10.1103/PhysRevB.71.214513. ISSN  1098-0121. S2CID  67784336.
18. Норман, MR; Динг, H.; Фретвелл, H.; Рандерия, M.; Кампусано, JC (1 сентября 1999 г.). «Извлечение собственной энергии электрона из данных фотоэмиссии с угловым разрешением: применение к Bi2212». Physical Review B . 60 (10): 7585–7590. arXiv : cond-mat/9806262 . doi :10.1103/PhysRevB.60.7585. ISSN  0163-1829. S2CID  4691468.
19. LaShell, S.; Jensen, E.; Balasubramanian, T. (15 января 2000 г.). «Неквазичастичная структура в спектрах фотоэмиссии с поверхности Be(0001) и определение собственной энергии электронов». Physical Review B. 61 ( 3): 2371–2374. Bibcode : 2000PhRvB..61.2371L. doi : 10.1103/PhysRevB.61.2371. ISSN  0163-1829. (требуется подписка)
20. Валла, Т.; Федоров, А.В.; Джонсон, П.Д.; Халберт, С.Л. (6 сентября 1999 г.). «Многочастичные эффекты в фотоэмиссии с угловым разрешением: энергия квазичастиц и время жизни поверхностного состояния Mo(110)». Physical Review Letters . 83 (10): 2085–2088. arXiv : cond-mat/9904449 . Bibcode :1999PhRvL..83.2085V. doi :10.1103/PhysRevLett.83.2085. ISSN  0031-9007. S2CID  55072153.
21. Hofmann, Ph; Sklyadneva, I Yu; Rienks, EDL; Chulkov, EV (11 декабря 2009 г.). "Электронно-фононная связь на поверхностях и интерфейсах". New Journal of Physics . 11 (12): 125005. Bibcode :2009NJPh...11l5005H. doi : 10.1088/1367-2630/11/12/125005 . hdl : 10261/224620 . ISSN  1367-2630.
22. Veenstra, CN; Goodvin, GL; Berciu, M .; Damascelli, A. (16 июля 2010 г.). "Неуловимая электронно-фононная связь в количественном анализе спектральной функции". Physical Review B. 82 ( 1): 012504. arXiv : 1003.0141 . Bibcode : 2010PhRvB..82a2504V. doi : 10.1103/PhysRevB.82.012504. ISSN  1098-0121. S2CID  56044826.
23. Napitu, BD; Berakdar, J. (12 мая 2010 г.). "Двухчастичная фотоэмиссия из сильно коррелированных систем: динамический подход среднего поля". Physical Review B . 81 (19): 195108. arXiv : 1004.5468 . doi :10.1103/PhysRevB.81.195108. ISSN  0163-1829. S2CID  119247208.
24. Rohringer, Georg (12 мая 2020 г.). «Спектры коррелированных многоэлектронных систем: от одночастичного описания к двухчастичному». Журнал электронной спектроскопии и родственных явлений . 241 : 146804. doi : 10.1016/j.elspec.2018.11.003 . S2CID  106125471.
25. Chiang, T. -C (1 сентября 2000 г.). «Фотоэмиссионные исследования состояний квантовых ям в тонких пленках». Surface Science Reports . 39 (7): 181–235. Bibcode : 2000SurSR..39..181C. doi : 10.1016/S0167-5729(00)00006-6. ISSN  0167-5729. (требуется подписка)
26. Zhou, SY; Gweon, G.-H.; Graf, J.; Fedorov, AV; Spataru, CD; Diehl, RD; Kopelevich, Y.; Lee, D.-H.; Louie, Steven G.; Lanzara, A. (27 августа 2006 г.). «Первое прямое наблюдение фермионов Дирака в графите». Nature Physics . 2 (9): 595–599. arXiv : cond-mat/0608069 . Bibcode :2006NatPh...2..595Z. doi :10.1038/nphys393. ISSN  1745-2473. S2CID  119505122.
27. Hsieh, D.; Qian, D.; Wray, L.; Xia, Y.; Hor, YS; Cava, RJ; Hasan, MZ (24 апреля 2008 г.). «Топологический дираковский изолятор в квантовой спиновой холловской фазе: экспериментальное наблюдение первого сильного топологического изолятора». Nature . 452 (7190): 970–974. arXiv : 0902.1356 . doi :10.1038/nature06843. ISSN  0028-0836. PMID  18432240. S2CID  4402113.
28. Лю, ZK; Чжоу, B.; Ван, ZJ; Вэн, HM; Прабхакаран, D.; Мо, S.-K.; Чжан, Y.; Шен, ZX; Фан, Z.; Дай, X.; Хуссейн, Z. (21 февраля 2014 г.). «Открытие трехмерного топологического полуметалла Дирака, Na3Bi». Science . 343 (6173): 864–867. arXiv : 1310.0391 . Bibcode :2014Sci...343..864L. doi :10.1126/science.1245085. ISSN  0036-8075. PMID  24436183. S2CID  206552029.
29. Кордюк, АА (2 мая 2014 г.). "ARPES-эксперимент в фермиологии квазидвумерных металлов (обзорная статья)". Low Temperature Physics . 40 (4): 286–296. arXiv : 1406.2948 . Bibcode :2014LTP....40..286K. doi :10.1063/1.4871745. ISSN  1063-777X. S2CID  119228462.
30. Лу, Донхуэй; Вишик, Инна М.; Йи, Мин; Чэнь, Юйлинь; Мур, Роб Г.; Шэнь, Чжи-Сюнь (3 января 2012 г.). «Исследования фотоэмиссии квантовых материалов с разрешением по углу». Annual Review of Condensed Matter Physics . 3 (1): 129–167. doi :10.1146/annurev-conmatphys-020911-125027. ISSN  1947-5454. OSTI  1642351. S2CID  120575099. (требуется подписка)
31. Weinelt, Martin (4 ноября 2002 г.). «Двухфотонная фотоэмиссия с временным разрешением с металлических поверхностей». Journal of Physics: Condensed Matter . 14 (43): R1099–R1141. doi :10.1088/0953-8984/14/43/202. ISSN  0953-8984. S2CID  250856541. (требуется подписка)
32. Ueba, H.; Gumhalter, B. (1 января 2007 г.). «Теория двухфотонной фотоэмиссионной спектроскопии поверхностей». Progress in Surface Science . 82 (4–6): 193–223. doi :10.1016/j.progsurf.2007.03.002. (требуется подписка)

Внешние ссылки

• Введение в ARPES на линии Diamond Light Source i05