Режимы конвергенции (аннотированный индекс)

Аннотированный указатель различных режимов конвергенции

Цель этой статьи — служить аннотированным указателем различных режимов конвергенции и их логических связей. Для пояснительной статьи см. Режимы конвергенции . Простые логические связи между различными режимами конвергенции указаны (например, если один подразумевает другой) скорее в виде формулы, чем в прозе для быстрой справки, а подробные описания и обсуждения зарезервированы для соответствующих статей.

---

Руководство по этому индексу. Чтобы избежать излишнего многословия, обратите внимание, что каждый из следующих типов объектов является частным случаем типов, предшествующих ему: множества , топологические пространства , равномерные пространства , топологические абелевы группы (TAG), нормированные векторные пространства , евклидовы пространства и действительные / комплексные числа. Также обратите внимание, что любое метрическое пространство является равномерным пространством. Наконец, подзаголовки всегда будут указывать на особые случаи своих суперзаголовков.

Ниже приведен список режимов конвергенции:

Последовательность элементов {а н} в топологическом пространстве (И)

• Конвергенция , или, если говорить точнее, «топологическая конвергенция» (т.е. существование предела).

...в однородном пространстве (У)

• Коши-сходимость

Подразумеваемое:

  - Сходимость Коши-сходимость ${\displaystyle \Rightarrow }$

  - Сходимость по Коши и сходимость подпоследовательности вместе . ${\displaystyle \Rightarrow }$

  -   U называется «полным», если имеет место сходимость по Коши (для сетей) . ${\displaystyle \Rightarrow }$

Примечание: Последовательность, демонстрирующая сходимость по Коши, называется последовательностью Коши, чтобы подчеркнуть, что она может и не сходитьсться.

Ряд элементов Σб кв ТЕГЕ (Г)

• Сходимость (частичной суммы последовательности)
• Сходимость Коши (частичной суммы последовательности)
• Безусловная сходимость

Подразумеваемое:

  - Безусловная сходимость сходимости (по определению). ${\displaystyle \Rightarrow }$

...в нормированном пространстве (Н)

• Абсолютная сходимость (сходимость) ${\displaystyle \sum |b_{k}|}$

Подразумеваемое:

  - Абсолютная сходимость Коши-сходимость абсолютная сходимость некоторой группировки ¹ . ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle \Rightarrow }$

  - Следовательно: N является банаховым (полным), если имеет место абсолютная сходимость . ${\displaystyle \Rightarrow }$

  - Абсолютная сходимость и сходимость вместе, безусловная сходимость. ${\displaystyle \Rightarrow }$

  - Безусловная сходимость, абсолютная сходимость, даже если N — банахово. ${\displaystyle \not \Rightarrow }$

  - Если N — евклидово пространство, то безусловная сходимость — абсолютная сходимость. ${\displaystyle \equiv }$

¹ Примечание: «группировка» относится к ряду, полученному путем группировки (но не переупорядочивания) членов исходного ряда. Группировка ряда, таким образом, соответствует подпоследовательности его частичных сумм.

Последовательность функций {ф н} из набора (С) в топологическое пространство (И)

• Точечная сходимость

...из набора (С) к однородному пространству (У)

• Равномерная сходимость
• Точечная сходимость Коши
• Равномерная сходимость Коши

Последствиями являются случаи более ранних событий, за исключением:

  - Равномерная сходимость, как поточечная сходимость, так и равномерная сходимость по Коши. ${\displaystyle \Rightarrow }$

  - Равномерная сходимость по Коши и поточечная сходимость подпоследовательности равномерная сходимость. ${\displaystyle \Rightarrow }$

...из топологического пространства (Х) к однородному пространству (У)

Для многих «глобальных» режимов сходимости существуют соответствующие понятия а ) «локальной» и б ) «компактной» сходимости, которые задаются требованием, чтобы сходимость происходила а ) в некоторой окрестности каждой точки или б ) на всех компактных подмножествах X. Примеры:

• Локальная равномерная сходимость (т.е. равномерная сходимость в окрестности каждой точки)
• Компактная (равномерная) сходимость (т.е. равномерная сходимость на всех компактных подмножествах)
• Дополнительные примеры этой модели приведены ниже.

Подразумеваемое:

  - «Глобальные» режимы конвергенции подразумевают соответствующие «локальные» и «компактные» режимы конвергенции. Например:

      Равномерная сходимость , как локальная равномерная сходимость, так и компактная (равномерная) сходимость. ${\displaystyle \Rightarrow }$

  - «Локальные» режимы конвергенции, как правило, подразумевают «компактные» режимы конвергенции. Например,

      Локальная равномерная сходимость, компактная (равномерная) сходимость. ${\displaystyle \Rightarrow }$

  - Если локально компактно, то обратные ему утверждения, как правило, справедливы: ${\displaystyle X}$

      Локальная равномерная сходимость, компактная (равномерная) сходимость. ${\displaystyle \equiv }$

...от пространства мер (S,μ) к комплексным числам (C)

• Почти везде сходимость
• Почти равномерная сходимость
• Сходимость L ^p
• Сходимость в мере
• Конвергенция в распределении

Подразумеваемое:

  - Точечная сходимость, сходимость почти всюду. ${\displaystyle \Rightarrow }$

  - Равномерная сходимость, почти равномерная сходимость. ${\displaystyle \Rightarrow }$

  - Почти всюду сходимость сходимость по мере. (В конечном пространстве меры) ${\displaystyle \Rightarrow }$

  - Почти равномерная сходимость сходимости по мере. ${\displaystyle \Rightarrow }$

  - L ^p сходимость сходимость по мере. ${\displaystyle \Rightarrow }$

  - Сходимость по мере сходимости по распределению, если μ — вероятностная мера и функции интегрируемы. ${\displaystyle \Rightarrow }$

Ряд функций Σг киз набора (С) к ТЕГУ (Г)

• Поточечная сходимость (частичной суммы последовательности)
• Равномерная сходимость (частичной суммы последовательности)
• Поточечная сходимость Коши (частичной суммы последовательности)
• Равномерная сходимость Коши (частичной суммы последовательности)
• Безусловная поточечная сходимость
• Безусловная равномерная сходимость

Все последствия являются примерами более ранних событий.

...из набора (С) в нормированное пространство (Н)

Обычно замена «сходимости» на «абсолютную сходимость» означает, что речь идет о сходимости ряда неотрицательных функций вместо . ${\displaystyle \Sigma |g_{k}|}$ ${\displaystyle \Sigma g_{k}}$

• Поточечная абсолютная сходимость (поточечная сходимость ) ${\displaystyle \Sigma |g_{k}|}$
• Равномерная абсолютная сходимость (равномерная сходимость) ${\displaystyle \Sigma |g_{k}|}$
• Нормальная сходимость (сходимость ряда равномерных норм ) ${\displaystyle \Sigma ||g_{k}||_{u}}$

Последствиями являются случаи более ранних событий, за исключением:

  - Нормальная сходимость равномерная абсолютная сходимость ${\displaystyle \Rightarrow }$

...из топологического пространства (Х) к ТЕГУ (Г)

• Локальная равномерная сходимость (частичной суммы последовательности)
• Компактная (равномерная) сходимость (частичной суммы последовательности)

Все последствия являются примерами более ранних событий.

...из топологического пространства (Х) в нормированное пространство (Н)

• Локальная равномерная абсолютная сходимость
• Компактная (равномерная) абсолютная сходимость
• Локальная нормальная сходимость
• Компактная нормальная сходимость

Последствия (в основном случаи более ранних событий):

  - Равномерная абсолютная сходимость , как локальная равномерная абсолютная сходимость, так и компактная (равномерная) абсолютная сходимость. ${\displaystyle \Rightarrow }$

      Нормальная сходимость, как локальная нормальная сходимость, так и компактная нормальная сходимость. ${\displaystyle \Rightarrow }$

  - Локальная нормальная сходимость, локальная равномерная абсолютная сходимость. ${\displaystyle \Rightarrow }$

      Компактная нормальная сходимость, компактная (равномерная) абсолютная сходимость. ${\displaystyle \Rightarrow }$

  - Локальная равномерная абсолютная сходимость компактная (равномерная) абсолютная сходимость. ${\displaystyle \Rightarrow }$

      Локальная нормальная сходимость компактная нормальная сходимость ${\displaystyle \Rightarrow }$

  - Если X локально компактно:

      Локальная равномерная абсолютная сходимость компактная (равномерная) абсолютная сходимость. ${\displaystyle \equiv }$

      Локальная нормальная сходимость компактная нормальная сходимость ${\displaystyle \equiv }$

Смотрите также

• Предел последовательности
• Конвергенция мер
• Сходимость в мере
• Сходимость случайных величин :
  • в распределении
  • в вероятности
  • почти уверен
  • конечно
  • в среднем

Ссылки