Антиплоскостной сдвиг

Антиплоский сдвиг или антиплоская деформация ^[1] — это особое состояние деформации в теле. Это состояние деформации достигается, когда смещения в теле равны нулю в рассматриваемой плоскости, но не равны нулю в направлении, перпендикулярном плоскости. Для малых деформаций тензор деформации при антиплоском сдвиге можно записать как

${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\begin{bmatrix}0&0&\epsilon _{13}\\0&0&\epsilon _{23}\\\epsilon _{13}&\epsilon _{23}&0\end{bmatrix}}}$

где плоскость — это интересующая плоскость, а направление перпендикулярно этой плоскости. ${\displaystyle 12\,}$ ${\displaystyle 3\,}$

Смещения

Поле смещения, приводящее к состоянию антиплоского сдвига, равно (в прямоугольных декартовых координатах)

${\displaystyle u_{1}=u_{2}=0~;~~u_{3}={\hat {u}}_{3}(x_{1},x_{2})}$

где смещения по направлениям. ${\displaystyle u_{i},~i=1,2,3}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}\,}$

Напряжения

Для изотропного линейно - упругого материала тензор напряжений , возникающий в результате состояния антиплоского сдвига, можно выразить как

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}\equiv {\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{12}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{13}&\sigma _{23}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0&\mu ~{\cfrac {\partial u_{3}}{\partial x_{1}}}\\0&0&\mu ~{\cfrac {\partial u_{3}}{\partial x_{2}}}\\\mu ~{\cfrac {\partial u_{3}}{\partial x_{1}}}&\mu ~{\cfrac {\partial u_{3}}{\partial x_{2}}}&0\end{bmatrix}}}$

где - модуль сдвига материала. ${\displaystyle \mu \,}$

Уравнение равновесия для антиплоского сдвига

Сохранение линейного импульса при отсутствии инерционных сил принимает форму уравнения равновесия . Для общих напряженных состояний существуют три уравнения равновесия. Однако для антиплоского сдвига, при условии, что объемные силы в направлениях 1 и 2 равны 0, они сводятся к одному уравнению равновесия, которое выражается как

${\displaystyle \mu ~\nabla ^{2}u_{3}+b_{3}(x_{1},x_{2})=0}$

где — объемная сила в направлении и . Обратите внимание, что это уравнение справедливо только для бесконечно малых деформаций. ${\displaystyle b_{3}}$ ${\displaystyle x_{3}}$ ${\displaystyle \nabla ^{2}u_{3}={\cfrac {\partial ^{2}u_{3}}{\partial x_{1}^{2}}}+{\cfrac {\partial ^{2}u_{3}}{\partial x_{2}^{2}}}}$

Приложения

Для определения напряжений и смещений, вызванных винтовой дислокацией, используется предположение об антиплоском сдвиге .

Ссылки

1. WS Slaughter, 2002, Линеаризованная теория упругости , Биркхаузер

Смотрите также

• Теория бесконечно малых деформаций
• Деформация (механика)