Кронштейн Moyal

В физике скобка Мойала представляет собой соответствующим образом нормализованную антисимметризацию произведения звезд в фазовом пространстве .

Скобка Мойала была разработана примерно в 1940 году Хосе Энрике Мойалом , но Мойалу удалось опубликовать свою работу только в 1949 году после продолжительного спора с Полем Дираком . ^[1]^[2] Тем временем эта идея была независимо представлена в 1946 году Хипом Грёневолдом . ^[3]

Обзор

Скобка Мойала — это способ описания коммутатора наблюдаемых в формулировке фазового пространства квантовой механики , когда эти наблюдаемые описываются как функции на фазовом пространстве . Она опирается на схемы идентификации функций на фазовом пространстве с квантовыми наблюдаемыми, наиболее известной из которых является преобразование Вигнера–Вейля . Она лежит в основе динамического уравнения Мойала , эквивалентной формулировки квантового уравнения движения Гейзенберга , тем самым обеспечивая квантовое обобщение уравнений Гамильтона .

Математически это деформация скобки Пуассона фазового пространства (по сути, ее расширение ), параметром деформации является приведенная постоянная Планка $ħ$ . Таким образом, ее групповое сокращение $ħ \to0$ дает алгебру Ли скобки Пуассона .

С точностью до формальной эквивалентности скобка Мойала является единственной однопараметрической Ли-алгебраической деформацией скобки Пуассона. Ее алгебраический изоморфизм алгебре коммутаторов обходит отрицательный результат теоремы Гроенвольда–ван Хоува, которая исключает такой изоморфизм для скобки Пуассона, вопрос, неявно поднятый Дираком в его докторской диссертации 1926 года ^[4] «метод классической аналогии» для квантования. ^[5]

Например, в двумерном плоском фазовом пространстве и для соответствия отображению Вейля скобка Мойала имеет вид:

{\begin{aligned}\{\{f,g\}\}&{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{i\hbar }}(f\star g-g\star f)\\&=\{f,g\}+O(\hbar ^{2}),\\\end{aligned}}

где ★ — оператор звездочного произведения в фазовом пространстве (ср. произведение Мойала ), тогда как $f$ и $g$ — дифференцируемые функции фазового пространства, а ${f, g}$ — их скобка Пуассона. ^[6]

Более конкретно, на языке операционного исчисления это равно

$\{\{f,g\}\}\ ={\frac {2}{\hbar }}~f(x,p)\ \sin \left({{\tfrac {\hbar }{2}}({\overleftarrow {\partial }}_{x}{\overrightarrow {\partial }}_{p}-{\overleftarrow {\partial }}_{p}{\overrightarrow {\partial }}_{x})}\right)\ g(x,p).$

Левая и правая стрелки над частными производными обозначают левую и правую частные производные. Иногда скобку Мойала называют скобкой синуса .

Популярное представление интеграла (Фурье) для него, введенное Джорджем Бейкером ^[7], имеет вид

\{\{f,g\}\}(x,p)={2 \over \hbar ^{3}\pi ^{2}}\int dp'\,dp''\,dx'\,dx''f(x+x',p+p')g(x+x'',p+p'')\sin \left({\tfrac {2}{\hbar }}(x'p''-x''p')\right)~.

Каждое отображение соответствия из фазового пространства в гильбертово пространство индуцирует характерную скобку «Мояла» (такую, как проиллюстрированная здесь для отображения Вейля). Все такие скобки Мойала формально эквивалентны между собой в соответствии с систематической теорией. ^[8]

Скобка Мойала определяет одноименную бесконечномерную алгебру Ли — она антисимметрична по своим аргументам $f$ и $g$ и удовлетворяет тождеству Якоби . Соответствующая абстрактная алгебра Ли реализуется с помощью $T f \equiv f$ ★ , так что

[T_{f}~,T_{g}]=T_{i\hbar \{\{f,g\}\}}.

На 2-торическом фазовом пространстве $T 2$ с периодическими координатами $x$ и $p$ , каждая из которых находится в $[0,2 π]$ , и целочисленными индексами мод $m i$ для базисных функций $exp(i (m 1 x + m 2 p))$ эта алгебра Ли имеет вид ^[9]

[T_{m_{1},m_{2}}~,T_{n_{1},n_{2}}]=2i\sin \left({\tfrac {\hbar }{2}}(n_{1}m_{2}-n_{2}m_{1})\right)~T_{m_{1}+n_{1},m_{2}+n_{2}},~

что сводится к SU ( N ) для целого числа $N \equiv 4 π/ħ$ . SU ( N ) тогда возникает как деформация SU (∞) с параметром деформации 1/ N .

Обобщение скобки Мойала для квантовых систем со связями второго рода включает операцию над классами эквивалентности функций в фазовом пространстве ^[10] , которую можно рассматривать как квантовую деформацию скобки Дирака .

Скобка синуса и скобка косинуса

Наряду с обсуждаемой скобкой синуса Грёневольд далее ввел ^[3] скобку косинуса, разработанную Бейкером, ^[7]^[11]

{\begin{aligned}\{\{\{f,g\}\}\}&{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\tfrac {1}{2}}(f\star g+g\star f)=fg+O(\hbar ^{2}).\\\end{aligned}}

Здесь снова ★ — оператор звездочного произведения в фазовом пространстве, $f$ и $g$ — дифференцируемые функции фазового пространства, а $f g$ — обычное произведение.

Синусные и косинусные скобки являются, соответственно, результатами антисимметризации и симметризации звездного произведения. Таким образом, поскольку синусная скобка является отображением Вигнера коммутатора, косинусная скобка является образом Вигнера антикоммутатора в стандартной квантовой механике. Аналогично, поскольку скобка Мойала равна скобке Пуассона вплоть до более высоких порядков $ħ$ , косинусная скобка равна обычному произведению вплоть до более высоких порядков $ħ$ . В классическом пределе скобка Мойала помогает свести к уравнению Лиувилля (сформулированному в терминах скобки Пуассона) , поскольку косинусная скобка приводит к классическому уравнению Гамильтона–Якоби . ^[12]

Скобки синуса и косинуса также связаны с уравнениями чисто алгебраического описания квантовой механики. ^[12]^[13]

Ссылки

^ Moyal, JE; Bartlett, MS (1949). «Квантовая механика как статистическая теория». Математические труды Кембриджского философского общества . 45 (1): 99–124. Bibcode :1949PCPS...45...99M. doi :10.1017/S0305004100000487. S2CID 124183640.
^ Мойал, Энн (2006). Maverick Mathematician: Жизнь и наука Дж. Э. Мойала (Глава 3: Битва с легендой). doi : 10.22459/MM.08.2006 . ISBN 9781920942595. Получено 2010-05-02 .
^ ab Groenewold, HJ (1946). «О принципах элементарной квантовой механики». Physica . 12 (7): 405–460. Bibcode : 1946Phy....12..405G. doi : 10.1016/S0031-8914(46)80059-4.
^ П. А. М. Дирак (1926) Диссертация Кембриджского университета «Квантовая механика»
^ П. А. М. Дирак , «Принципы квантовой механики» ( Clarendon Press Oxford , 1958) ISBN 978-0-19-852011-5
^ Наоборот, скобка Пуассона формально выражается через звездное произведение, $iħ {f, g}$ = 2 $f (log ★) g$ .
^ ab Бейкер, Джордж А. (1958-03-15). «Формулировка квантовой механики на основе квазивероятностного распределения, индуцированного в фазовом пространстве». Physical Review . 109 (6). Американское физическое общество (APS): 2198–2206. Bibcode : 1958PhRv..109.2198B. doi : 10.1103/physrev.109.2198. ISSN 0031-899X.
^ C.Zachos , D. Fairlie и T. Curtright , «Квантовая механика в фазовом пространстве» ( World Scientific , Сингапур, 2005) ISBN 978-981-238-384-6 . Curtright, TL; Zachos, CK (2012). «Квантовая механика в фазовом пространстве». Asia Pacific Physics Newsletter . 01 : 37–46. arXiv : 1104.5269 . doi : 10.1142/S2251158X12000069. S2CID 119230734.
^ Fairlie, DB; Zachos, CK (1989). «Бесконечномерные алгебры, скобки синуса и SU(∞)». Physics Letters B . 224 (1–2): 101–107. Bibcode :1989PhLB..224..101F. doi :10.1016/0370-2693(89)91057-5. S2CID 120159881.
^ Криворученко, МИ; Радута, АА; Фесслер, Аманд (2006-01-17). "Квантовая деформация скобки Дирака". Physical Review D. 73 ( 2). Американское физическое общество (APS): 025008. arXiv : hep-th/0507049 . Bibcode : 2006PhRvD..73b5008K. doi : 10.1103/physrevd.73.025008. ISSN 1550-7998. S2CID 119131374.
^ См. также цитату Бейкера (1958) в: Curtright, T.; Fairlie, D.; Zachos, C. (1998). "Features of time-independent Wigner functions". Physical Review D . 58 (2): 025002. arXiv : hep-th/9711183 . Bibcode :1998PhRvD..58b5002C. doi :10.1103/PhysRevD.58.025002. S2CID 288935.arXiv:hep-th/9711183v3
^ ab BJ Hiley : Описания квантовых явлений в фазовом пространстве, в: A. Khrennikov (ред.): Quantum Theory: Re-consideration of Foundations–2 , стр. 267-286, Växjö University Press, Швеция, 2003 (PDF)
^ MR Brown, BJ Hiley: Schrodinger revisited: an algebraic approach , arXiv:quant-ph/0005026 (отправлено 4 мая 2000 г., версия от 19 июля 2004 г., получено 3 июня 2011 г.)