Обратные тригонометрические функции

Обратные функции sin, cos, tan и т. д.

В математике обратные тригонометрические функции (иногда также называемые антитригонометрическими ^[1], циклометрическими [ 2 ^] или функциями дуги ^[3] ) являются обратными функциями тригонометрических функций в соответствующих ограниченных областях . В частности, они являются обратными функциями синуса , косинуса , тангенса , котангенса , секанса и косеканса [ ^4] и используются для получения угла из любого из тригонометрических соотношений угла. Обратные тригонометрические функции широко используются в машиностроении , навигации , физике и геометрии .

Обозначение

Для окружности радиусом 1 arcsin и arccos — это длины фактических дуг, определяемые рассматриваемыми величинами.

Существует несколько обозначений для обратных тригонометрических функций. Наиболее распространенным соглашением является обозначение обратных тригонометрических функций с использованием префикса arc-: arcsin( x ) , arccos( x ) , arctan( x ) и т. д. ^[1] (Это соглашение используется на протяжении всей статьи.) Это обозначение возникает из следующих геометрических соотношений: ^{[ требуется ссылка ]} при измерении в радианах угол в θ ​​радиан будет соответствовать дуге , длина которой равна rθ , где r — радиус окружности. Таким образом, в единичной окружности функция косинуса x является как дугой, так и углом, поскольку дуга окружности радиусом 1 равна углу. Или «дуга, косинус которой равен x » совпадает с «углом, косинус которой равен x », поскольку длина дуги окружности в радиусах равна измерению угла в радианах. ^[5] В языках программирования обратные тригонометрические функции часто называются сокращенными формами asin , acos , atan . ^[6]

Обозначения sin ⁻¹ ( x ) , cos ⁻¹ ( x ) , tan ⁻¹ ( x ) и т. д., введенные Джоном Гершелем в 1813 году ^{[7] [8],} также часто используются в англоязычных источниках ^[1] , гораздо чаще, чем также установленные sin ^[−1] ( x ) , cos ^[−1] ( x ) , tan ^[−1] ( x ) — соглашения, соответствующие обозначению обратной функции , что полезно (например) для определения многозначной версии каждой обратной тригонометрической функции: Однако может показаться, что это логически противоречит общей семантике для выражений, таких как sin ² ( x ) (хотя только sin ² x , без скобок, является действительно распространенным использованием), которые относятся к числовой степени, а не к композиции функций, и, следовательно, могут привести к путанице между обозначениями для обратной ( мультипликативной обратной ) и обратная функция . ^[9] ${\displaystyle \tan ^{-1}(x)=\{\arctan(x)+\pi k\mid k\in \mathbb {Z} \}~.}$

Путаница несколько смягчается тем фактом, что каждая из обратных тригонометрических функций имеет свое собственное название — например, (cos( ​​x )) ⁻¹ = sec( x ) . Тем не менее, некоторые авторы советуют не использовать его, поскольку оно неоднозначно. ^{[1] [10]} Еще одним ненадежным соглашением, используемым небольшим числом авторов, является использование заглавной первой буквы вместе с верхним индексом « −1 »: Sin ⁻¹ ( x ) , Cos ⁻¹ ( x ) , Tan ⁻¹ ( x ) и т. д. ^[11] Хотя это и призвано избежать путаницы с обратной величиной , которая должна быть представлена ​​как sin ⁻¹ ( x ) , cos ⁻¹ ( x ) и т. д., или, лучше, как sin ⁻¹ x , cos ⁻¹ x и т. д., это, в свою очередь, создает еще один серьезный источник неоднозначности, особенно с учетом того, что многие популярные языки программирования высокого уровня (например, Mathematica и MAGMA ) используют те же самые заглавные буквы для стандартных тригонометрических функций, тогда как другие ( Python , SymPy , NumPy , Matlab , MAPLE и т. д.) используют строчные буквы.

Таким образом, с 2009 года стандарт ISO 80000-2 определяет только префикс «arc» для обратных функций.

Основные понятия

Точки, обозначенные 1 , Sec( θ ) , Csc( θ ), представляют собой длину отрезка прямой от начала координат до этой точки. Sin( θ ) , Tan( θ ) и 1 — это высоты до прямой, начинающиеся с оси x , тогда как Cos( θ ) , 1 и Cot( θ ) — это длины вдоль оси x , начинающиеся с начала координат.

Главные ценности

Поскольку ни одна из шести тригонометрических функций не является взаимно однозначной , они должны быть ограничены, чтобы иметь обратные функции. Таким образом, диапазоны результатов обратных функций являются собственными (т.е. строгими) подмножествами областей исходных функций.

Например, использование функции в смысле многозначных функций , так же как функция квадратного корня может быть определена из функции определяется так, что Для данного действительного числа с существует несколько (фактически, счетно бесконечно много) чисел, таких что ; например, но также и т. д. Когда требуется только одно значение, функция может быть ограничена ее главной ветвью . С этим ограничением для каждого в области выражение будет оцениваться только до одного значения, называемого его главным значением . Эти свойства применимы ко всем обратным тригонометрическим функциям. ${\displaystyle y={\sqrt {x}}}$ ${\displaystyle y^{2}=x,}$ ${\displaystyle y=\arcsin(x)}$ ${\displaystyle \sin(y)=x.}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle -1\leq x\leq 1,}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \sin(y)=x}$ ${\displaystyle \sin(0)=0,}$ ${\displaystyle \sin(\pi )=0,}$ ${\displaystyle \sin(2\pi )=0,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \arcsin(x)}$

Основные обратные величины перечислены в следующей таблице.

Примечание: Некоторые авторы ^{[ требуется ссылка ]} определяют диапазон арксеканса как , поскольку функция тангенса неотрицательна в этой области. Это делает некоторые вычисления более последовательными. Например, используя этот диапазон, тогда как с диапазоном , нам пришлось бы писать так как тангенс неотрицателен на , но неположителен на По аналогичной причине те же авторы определяют диапазон арккосеканса как или ${\textstyle (0\leq y<{\frac {\pi }{2}}{\text{ or }}\pi \leq y<{\frac {3\pi }{2}})}$ ${\displaystyle \tan(\operatorname {arcsec}(x))={\sqrt {x^{2}-1}},}$ ${\textstyle (0\leq y<{\frac {\pi }{2}}{\text{ or }}{\frac {\pi }{2}}<y\leq \pi )}$ ${\displaystyle \tan(\operatorname {arcsec}(x))=\pm {\sqrt {x^{2}-1}},}$ ${\textstyle 0\leq y<{\frac {\pi }{2}},}$ ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}<y\leq \pi .}$ ${\textstyle (-\pi <y\leq -{\frac {\pi }{2}}}$ ${\textstyle 0<y\leq {\frac {\pi }{2}}).}$

Домены

Если допускается, чтобы было комплексным числом , то диапазон применяется только к его действительной части. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

В таблице ниже приведены названия и области определения обратных тригонометрических функций, а также диапазон их обычных главных значений в радианах .

Символ обозначает множество всех действительных чисел и обозначает множество всех целых чисел . Множество всех целых чисел, кратных , обозначается как ${\displaystyle \mathbb {R} =(-\infty ,\infty )}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} =\{\ldots ,\,-2,\,-1,\,0,\,1,\,2,\,\ldots \}}$ ${\displaystyle \pi }$

$${\displaystyle \pi \mathbb {Z} ~:=~\{\pi n\;:\;n\in \mathbb {Z} \}~=~\{\ldots ,\,-2\pi ,\,-\pi ,\,0,\,\pi ,\,2\pi ,\,\ldots \}.}$$

Символ обозначает вычитание множества, так что, например, это множество точек в (то есть действительных чисел), которые не находятся в интервале ${\displaystyle \,\setminus \,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus (-1,1)=(-\infty ,-1]\cup [1,\infty )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (-1,1).}$

Теперь поясним обозначение суммы Минковского , которое использовалось выше для краткой записи областей определения . ${\textstyle \pi \mathbb {Z} +(0,\pi )}$ ${\displaystyle \pi \mathbb {Z} +{\bigl (}{-{\tfrac {\pi }{2}}},{\tfrac {\pi }{2}}{\bigr )}}$ ${\displaystyle \cot ,\csc ,\tan ,{\text{ and }}\sec }$

Область определения котангенса и косеканса ${\displaystyle \cot }$ ${\displaystyle \csc }$ : области определения и совпадают. Они представляют собой множество всех углов, в которых т.е. все действительные числа, которые не имеют вида для некоторого целого числа ${\displaystyle \,\cot \,}$ ${\displaystyle \,\csc \,}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \sin \theta \neq 0,}$ ${\displaystyle \pi n}$ ${\displaystyle n,}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\pi \mathbb {Z} +(0,\pi )&=\cdots \cup (-2\pi ,-\pi )\cup (-\pi ,0)\cup (0,\pi )\cup (\pi ,2\pi )\cup \cdots \\&=\mathbb {R} \setminus \pi \mathbb {Z} \end{aligned}}}$$

Область касательной и секущей ${\displaystyle \tan }$ ${\displaystyle \sec }$ : области и одинаковы. Они представляют собой набор всех углов , под которыми ${\displaystyle \,\tan \,}$ ${\displaystyle \,\sec \,}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \cos \theta \neq 0,}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\pi \mathbb {Z} +\left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)&=\cdots \cup {\bigl (}{-{\tfrac {3\pi }{2}}},{-{\tfrac {\pi }{2}}}{\bigr )}\cup {\bigl (}{-{\tfrac {\pi }{2}}},{\tfrac {\pi }{2}}{\bigr )}\cup {\bigl (}{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {3\pi }{2}}{\bigr )}\cup \cdots \\&=\mathbb {R} \setminus \left({\tfrac {\pi }{2}}+\pi \mathbb {Z} \right)\\\end{aligned}}}$$

Решения элементарных тригонометрических уравнений

Каждая из тригонометрических функций является периодической по действительной части своего аргумента, пробегая все свои значения дважды в каждом интервале ${\displaystyle 2\pi :}$

• Синус и косеканс начинают свой период в точке (где — целое число), заканчивают его в точке , а затем переходят в обратную сторону: ${\textstyle 2\pi k-{\frac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle k}$ ${\textstyle 2\pi k+{\frac {\pi }{2}},}$ ${\textstyle 2\pi k+{\frac {\pi }{2}}}$ ${\textstyle 2\pi k+{\frac {3\pi }{2}}.}$
• Косинус и секанс начинают свой период в заканчивают его в , а затем переходят в обратный порядок ${\displaystyle 2\pi k,}$ ${\displaystyle 2\pi k+\pi .}$ ${\displaystyle 2\pi k+\pi }$ ${\displaystyle 2\pi k+2\pi .}$
• Тангенс начинает свой период в заканчивает его в и затем повторяет его (вперед) до ${\textstyle 2\pi k-{\frac {\pi }{2}},}$ ${\textstyle 2\pi k+{\frac {\pi }{2}},}$ ${\textstyle 2\pi k+{\frac {\pi }{2}}}$ ${\textstyle 2\pi k+{\frac {3\pi }{2}}.}$
• Котангенс начинает свой период с, заканчивает его с и затем повторяет его (вперед) до ${\displaystyle 2\pi k,}$ ${\displaystyle 2\pi k+\pi ,}$ ${\displaystyle 2\pi k+\pi }$ ${\displaystyle 2\pi k+2\pi .}$

Эта периодичность отражается в общих обратных числах, где — некоторое целое число. ${\displaystyle k}$

Следующая таблица показывает, как обратные тригонометрические функции могут быть использованы для решения равенств, включающих шесть стандартных тригонометрических функций. Предполагается, что заданные значения и все лежат в соответствующих диапазонах, так что соответствующие выражения ниже являются хорошо определенными . Обратите внимание, что "для некоторых " — это просто другой способ сказать "для некоторого целого числа " ${\displaystyle \theta ,}$ ${\displaystyle r,}$ ${\displaystyle s,}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle k.}$

Символ представляет собой логическое равенство и указывает на то, что если левая часть истинна, то истинна и правая часть, и наоборот, если правая часть истинна, то истинна и левая часть (более подробную информацию и пример, иллюстрирующий эту концепцию, см. в этой сноске ^{[примечание 1]} ). ${\displaystyle \,\iff \,}$

где первые четыре решения можно записать в развернутом виде как:

Например, если то для некоторого В то время как если то для некоторого где будет четным если и будет нечетным если Уравнения и имеют те же решения, что и соответственно. Во всех приведенных выше уравнениях, за исключением только что решенных (т.е. за исключением / и / ), целое число в формуле решения однозначно определяется (при фиксированных и ). ${\displaystyle \cos \theta =-1}$ ${\displaystyle \theta =\pi +2\pi k=-\pi +2\pi (1+k)}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} .}$ ${\displaystyle \sin \theta =\pm 1}$ ${\textstyle \theta ={\frac {\pi }{2}}+\pi k=-{\frac {\pi }{2}}+\pi (k+1)}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} ,}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \sin \theta =1}$ ${\displaystyle \sin \theta =-1.}$ ${\displaystyle \sec \theta =-1}$ ${\displaystyle \csc \theta =\pm 1}$ ${\displaystyle \cos \theta =-1}$ ${\displaystyle \sin \theta =\pm 1,}$ ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle \csc \theta =\pm 1}$ ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle \sec \theta =-1}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle r,s,x,}$ ${\displaystyle y}$

С помощью целочисленной четности можно записать решение , не содержащее знак «плюс-минус»: $${\displaystyle \operatorname {Parity} (h)={\begin{cases}0&{\text{if }}h{\text{ is even }}\\1&{\text{if }}h{\text{ is odd }}\\\end{cases}}}$$ ${\displaystyle \cos \theta =x}$ ${\displaystyle \,\pm \,}$

${\displaystyle cos\;\theta =x\quad }$если и только если для некоторых ${\displaystyle \quad \theta =(-1)^{h}\arccos(x)+\pi h+\pi \operatorname {Parity} (h)\quad }$ ${\displaystyle h\in \mathbb {Z} .}$

И аналогично для секущей функции,

${\displaystyle sec\;\theta =r\quad }$если и только если для некоторых ${\displaystyle \quad \theta =(-1)^{h}\operatorname {arcsec}(r)+\pi h+\pi \operatorname {Parity} (h)\quad }$ ${\displaystyle h\in \mathbb {Z} ,}$

где равно , когда целое число четное, и равно, когда оно нечетное. ${\displaystyle \pi h+\pi \operatorname {Parity} (h)}$ ${\displaystyle \pi h}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \pi h+\pi }$

Подробный пример и объяснение символа «плюс или минус»±

Решения для и включают символ «плюс или минус», значение которого теперь прояснено. Только решение для будет обсуждаться, поскольку обсуждение для то же самое. Нам дано между и мы знаем, что в некотором интервале есть угол , который удовлетворяет Мы хотим найти это Таблица выше показывает, что решение , что является кратким способом сказать, что (по крайней мере) одно из следующих утверждений верно: ${\displaystyle \cos \theta =x}$ ${\displaystyle \sec \theta =x}$ ${\displaystyle \,\pm ,\,}$ ${\displaystyle \cos \theta =x}$ ${\displaystyle \sec \theta =x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle -1\leq x\leq 1}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \cos \theta =x.}$ ${\displaystyle \theta .}$ $${\displaystyle \,\theta =\pm \arccos x+2\pi k\,\quad {\text{ for some }}k\in \mathbb {Z} }$$

1. ${\displaystyle \,\theta =\arccos x+2\pi k\,}$для некоторого целого числа или ${\displaystyle k,}$
   
2. ${\displaystyle \,\theta =-\arccos x+2\pi k\,}$для некоторого целого числа ${\displaystyle k.}$

Как упоминалось выше, если (что по определению происходит только когда ), то оба утверждения (1) и (2) верны, хотя и с разными значениями для целого числа : если — целое число из утверждения (1), что означает, что выполняется, то целое число для утверждения (2) равно (потому что ). Однако если то целое число уникально и полностью определяется Если (что по определению происходит только когда ) то (потому что и поэтому в обоих случаях равно ) и поэтому утверждения (1) и (2) оказываются идентичными в этом конкретном случае (и поэтому оба верны). Рассмотрев случаи и теперь сосредоточимся на случае, когда и Поэтому предположим это с этого момента. Решение для по-прежнему является , которое, как и прежде, является сокращением для утверждения, что одно из утверждений (1) и (2) истинно. Однако на этот раз, поскольку и утверждения (1) и (2) различны, и, кроме того, выполняется ровно одно из двух равенств (не оба). Для определения того, какое из них выполняется, необходима дополнительная информация. Например, предположим, что и что все , что известно о том, что (и больше ничего не известно). Тогда и более того, в этом конкретном случае (как для случая, так и для случая) и, следовательно, Это означает, что может быть либо или Без дополнительной информации невозможно определить, какое из этих значений имеет. Примером некоторой дополнительной информации, которая могла бы определить значение, было бы знание того, что угол находится выше оси (в этом случае ) или, в качестве альтернативы, знание того, что он находится ниже оси (в этом случае ). ${\displaystyle \,\arccos x=\pi \,}$ ${\displaystyle x=\cos \pi =-1}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \theta =\pi +2\pi K}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle K+1}$ ${\displaystyle \theta =-\pi +2\pi (1+K)}$ ${\displaystyle x\neq -1}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \theta .}$ ${\displaystyle \,\arccos x=0\,}$ ${\displaystyle x=\cos 0=1}$ ${\displaystyle \,\pm \arccos x=0\,}$ ${\displaystyle \,+\arccos x=+0=0\,}$ ${\displaystyle \,-\arccos x=-0=0\,}$ ${\displaystyle \,\pm \arccos x\,}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \,\arccos x=0\,}$ ${\displaystyle \,\arccos x=\pi ,\,}$ ${\displaystyle \,\arccos x\neq 0\,}$ ${\displaystyle \,\arccos x\neq \pi ,\,}$ ${\displaystyle \cos \theta =x}$ $${\displaystyle \,\theta =\pm \arccos x+2\pi k\,\quad {\text{ for some }}k\in \mathbb {Z} }$$ ${\displaystyle \,\arccos x\neq 0\,}$ ${\displaystyle \,0<\arccos x<\pi ,\,}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \,-\pi \leq \theta \leq \pi \,}$ $${\displaystyle \arccos x=\arccos 0={\frac {\pi }{2}}}$$ ${\displaystyle k=0}$ ${\displaystyle \,+\,}$ ${\displaystyle \,-\,}$ $${\displaystyle \theta ~=~\pm \arccos x+2\pi k~=~\pm \left({\frac {\pi }{2}}\right)+2\pi (0)~=~\pm {\frac {\pi }{2}}.}$$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \,\pi /2\,}$ ${\displaystyle \,-\pi /2.}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \theta =\pi /2}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \theta =-\pi /2}$

Равные идентичные тригонометрические функции

В таблице ниже показано, как должны быть связаны два угла и , если их значения под действием заданной тригонометрической функции равны или отрицательны друг другу. ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \varphi }$

Вертикальная двойная стрелка в последней строке указывает на то, что и удовлетворяют тогда и только тогда, когда они удовлетворяют ${\displaystyle \Updownarrow }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \left|\sin \theta \right|=\left|\sin \varphi \right|}$ ${\displaystyle \left|\cos \theta \right|=\left|\cos \varphi \right|.}$

Множество всех решений элементарных тригонометрических уравнений

Таким образом, если дано единственное решение элементарного тригонометрического уравнения ( например, является таким уравнением, и поскольку всегда выполняется, то всегда является решением), то множество всех его решений таково: ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \sin \theta =y}$ ${\displaystyle \sin(\arcsin y)=y}$ ${\displaystyle \theta :=\arcsin y}$

Преобразование уравнений

Уравнения выше можно преобразовать, используя тождества отражения и сдвига: ^[12]

Эти формулы подразумевают, в частности, что справедливо следующее:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &=-\sin(-\theta )&&=-\sin(\pi +\theta )&&={\phantom {-}}\sin(\pi -\theta )\\&=-\cos \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&={\phantom {-}}\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)&&=-\cos \left(-{\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\\&={\phantom {-}}\cos \left(-{\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&=-\cos \left({\frac {3\pi }{2}}-\theta \right)&&=-\cos \left(-{\frac {3\pi }{2}}+\theta \right)\\[0.3ex]\cos \theta &={\phantom {-}}\cos(-\theta )&&=-\cos(\pi +\theta )&&=-\cos(\pi -\theta )\\&={\phantom {-}}\sin \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&={\phantom {-}}\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)&&=-\sin \left(-{\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\\&=-\sin \left(-{\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&=-\sin \left({\frac {3\pi }{2}}-\theta \right)&&={\phantom {-}}\sin \left(-{\frac {3\pi }{2}}+\theta \right)\\[0.3ex]\tan \theta &=-\tan(-\theta )&&={\phantom {-}}\tan(\pi +\theta )&&=-\tan(\pi -\theta )\\&=-\cot \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&={\phantom {-}}\cot \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)&&={\phantom {-}}\cot \left(-{\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\\&=-\cot \left(-{\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&={\phantom {-}}\cot \left({\frac {3\pi }{2}}-\theta \right)&&=-\cot \left(-{\frac {3\pi }{2}}+\theta \right)\\[0.3ex]\end{aligned}}}$$

где перестановка , перестановка и перестановка дают аналогичные уравнения для соответственно. ${\displaystyle \sin \leftrightarrow \csc ,}$ ${\displaystyle \cos \leftrightarrow \sec ,}$ ${\displaystyle \tan \leftrightarrow \cot }$ ${\displaystyle \csc ,\sec ,{\text{ and }}\cot ,}$

Так, например, с помощью равенства уравнение можно преобразовать в , что позволяет использовать решение уравнения (где ); это решение: , которое становится: где использование того факта, что и подстановка доказывает, что другое решение равно : Подстановка может быть использована для выражения правой части приведенной выше формулы в терминах вместо ${\textstyle \sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\cos \theta ,}$ ${\displaystyle \cos \theta =x}$ ${\textstyle \sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=x,}$ ${\displaystyle \;\sin \varphi =x\;}$ ${\textstyle \varphi :={\frac {\pi }{2}}-\theta }$ ${\displaystyle \varphi =(-1)^{k}\arcsin(x)+\pi k\;{\text{ for some }}k\in \mathbb {Z} ,}$ $${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-\theta ~=~(-1)^{k}\arcsin(x)+\pi k\quad {\text{ for some }}k\in \mathbb {Z} }$$ ${\displaystyle (-1)^{k}=(-1)^{-k}}$ ${\displaystyle h:=-k}$ ${\displaystyle \;\cos \theta =x\;}$ $${\displaystyle \theta ~=~(-1)^{h+1}\arcsin(x)+\pi h+{\frac {\pi }{2}}\quad {\text{ for some }}h\in \mathbb {Z} .}$$ ${\displaystyle \;\arcsin x={\frac {\pi }{2}}-\arccos x\;}$ ${\displaystyle \;\arccos x\;}$ ${\displaystyle \;\arcsin x.\;}$

Соотношения между тригонометрическими функциями и обратными тригонометрическими функциями

Тригонометрические функции обратных тригонометрических функций приведены ниже. Быстрый способ их вывести — рассмотреть геометрию прямоугольного треугольника с одной стороной длиной 1 и другой стороной длиной , а затем применить теорему Пифагора и определения тригонометрических соотношений. Стоит отметить, что для арксеканса и арккосеканса диаграмма предполагает, что положительно, и поэтому результат должен быть скорректирован с помощью абсолютных значений и операции знака (sgn). ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x}$

Соотношения между обратными тригонометрическими функциями

Обычные главные значения функций arcsin( x ) (красный) и arccos( x ) (синий), построенные на декартовой плоскости.

Обычные главные значения функций arctan( x ) и arccot( x ), построенные на декартовой плоскости.

Главные значения функций arcsec( x ) и arccsc( x ), построенные на декартовой плоскости.

Дополнительные углы:

${\displaystyle {\begin{aligned}\arccos(x)&={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(x)\\[0.5em]\operatorname {arccot}(x)&={\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)\\[0.5em]\operatorname {arccsc}(x)&={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arcsec}(x)\end{aligned}}}$

Отрицательные аргументы:

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(-x)&=-\arcsin(x)\\\operatorname {arccsc}(-x)&=-\operatorname {arccsc}(x)\\\arccos(-x)&=\pi -\arccos(x)\\\operatorname {arcsec}(-x)&=\pi -\operatorname {arcsec}(x)\\\arctan(-x)&=-\arctan(x)\\\operatorname {arccot}(-x)&=\pi -\operatorname {arccot}(x)\end{aligned}}}$

Взаимные аргументы:

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin \left({\frac {1}{x}}\right)&=\operatorname {arccsc}(x)&\\[0.3em]\operatorname {arccsc} \left({\frac {1}{x}}\right)&=\arcsin(x)&\\[0.3em]\arccos \left({\frac {1}{x}}\right)&=\operatorname {arcsec}(x)&\\[0.3em]\operatorname {arcsec} \left({\frac {1}{x}}\right)&=\arccos(x)&\\[0.3em]\arctan \left({\frac {1}{x}}\right)&=\operatorname {arccot}(x)&={\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)\,,{\text{ if }}x>0\\[0.3em]\arctan \left({\frac {1}{x}}\right)&=\operatorname {arccot}(x)-\pi &=-{\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)\,,{\text{ if }}x<0\\[0.3em]\operatorname {arccot} \left({\frac {1}{x}}\right)&=\arctan(x)&={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccot}(x)\,,{\text{ if }}x>0\\[0.3em]\operatorname {arccot} \left({\frac {1}{x}}\right)&=\arctan(x)+\pi &={\frac {3\pi }{2}}-\operatorname {arccot}(x)\,,{\text{ if }}x<0\end{aligned}}}$

Вышеприведенные тождества могут быть использованы с учетом (и выведены из) того факта, что и являются взаимными (т.е. ), как и и и ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle \csc }$ ${\displaystyle \csc ={\tfrac {1}{\sin }}}$ ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle \sec ,}$ ${\displaystyle \tan }$ ${\displaystyle \cot .}$

Полезные тождества, если имеется только фрагмент таблицы синусов:

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(x)&={\frac {1}{2}}\arccos \left(1-2x^{2}\right)\,,{\text{ if }}0\leq x\leq 1\\\arcsin(x)&=\arctan \left({\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\right)\\\arccos(x)&={\frac {1}{2}}\arccos \left(2x^{2}-1\right)\,,{\text{ if }}0\leq x\leq 1\\\arccos(x)&=\arctan \left({\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}\right)\\\arccos(x)&=\arcsin \left({\sqrt {1-x^{2}}}\right)\,,{\text{ if }}0\leq x\leq 1{\text{ , from which you get }}\\\arccos &\left({\frac {1-x^{2}}{1+x^{2}}}\right)=\arcsin \left({\frac {2x}{1+x^{2}}}\right)\,,{\text{ if }}0\leq x\leq 1\\\arcsin &\left({\sqrt {1-x^{2}}}\right)={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {sgn}(x)\arcsin(x)\\\arctan(x)&=\arcsin \left({\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)\\\operatorname {arccot}(x)&=\arccos \left({\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)\end{aligned}}}$

Всякий раз, когда здесь используется квадратный корень комплексного числа, мы выбираем корень с положительной действительной частью (или положительной мнимой частью, если квадрат был отрицательным действительным).

Полезная форма, которая следует непосредственно из таблицы выше, это

${\displaystyle \arctan(x)=\arccos \left({\sqrt {\frac {1}{1+x^{2}}}}\right)\,,{\text{ if }}x\geq 0}$.

Это достигается путем признания того, что . ${\displaystyle \cos \left(\arctan \left(x\right)\right)={\sqrt {\frac {1}{1+x^{2}}}}=\cos \left(\arccos \left({\sqrt {\frac {1}{1+x^{2}}}}\right)\right)}$

Из формулы половинного угла , , получаем: ${\displaystyle \tan \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)={\tfrac {\sin(\theta )}{1+\cos(\theta )}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(x)&=2\arctan \left({\frac {x}{1+{\sqrt {1-x^{2}}}}}\right)\\[0.5em]\arccos(x)&=2\arctan \left({\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{1+x}}\right)\,,{\text{ if }}-1<x\leq 1\\[0.5em]\arctan(x)&=2\arctan \left({\frac {x}{1+{\sqrt {1+x^{2}}}}}\right)\end{aligned}}}$

Формула сложения арктангенса

${\displaystyle \arctan(u)\pm \arctan(v)=\arctan \left({\frac {u\pm v}{1\mp uv}}\right){\pmod {\pi }}\,,\quad uv\neq 1\,.}$

Это выводится из формулы сложения тангенсов

${\displaystyle \tan(\alpha \pm \beta )={\frac {\tan(\alpha )\pm \tan(\beta )}{1\mp \tan(\alpha )\tan(\beta )}}\,,}$

позволяя

${\displaystyle \alpha =\arctan(u)\,,\quad \beta =\arctan(v)\,.}$

В исчислении

Производные обратных тригонометрических функций

Производные для комплексных значений z следующие :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dz}}\arcsin(z)&{}={\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\;;&z&{}\neq -1,+1\\{\frac {d}{dz}}\arccos(z)&{}=-{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\;;&z&{}\neq -1,+1\\{\frac {d}{dz}}\arctan(z)&{}={\frac {1}{1+z^{2}}}\;;&z&{}\neq -i,+i\\{\frac {d}{dz}}\operatorname {arccot}(z)&{}=-{\frac {1}{1+z^{2}}}\;;&z&{}\neq -i,+i\\{\frac {d}{dz}}\operatorname {arcsec}(z)&{}={\frac {1}{z^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}}}\;;&z&{}\neq -1,0,+1\\{\frac {d}{dz}}\operatorname {arccsc}(z)&{}=-{\frac {1}{z^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}}}\;;&z&{}\neq -1,0,+1\end{aligned}}}$

Только для действительных значений x :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsec}(x)&{}={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}\;;&|x|>1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arccsc}(x)&{}=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}\;;&|x|>1\end{aligned}}}$

Эти формулы можно вывести через производные тригонометрических функций. Например, если , то так ${\displaystyle x=\sin \theta }$ ${\textstyle dx/d\theta =\cos \theta ={\sqrt {1-x^{2}}},}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arcsin(x)={\frac {d\theta }{dx}}={\frac {1}{dx/d\theta }}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}.}$

Выражение в виде определенных интегралов

Интегрирование производной и фиксирование значения в одной точке дает выражение для обратной тригонометрической функции в виде определенного интеграла:

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(x)&{}=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,dz\;,&|x|&{}\leq 1\\\arccos(x)&{}=\int _{x}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,dz\;,&|x|&{}\leq 1\\\arctan(x)&{}=\int _{0}^{x}{\frac {1}{z^{2}+1}}\,dz\;,\\\operatorname {arccot}(x)&{}=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{z^{2}+1}}\,dz\;,\\\operatorname {arcsec}(x)&{}=\int _{1}^{x}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz=\pi +\int _{-x}^{-1}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz\;,&x&{}\geq 1\\\operatorname {arccsc}(x)&{}=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz=\int _{-\infty }^{-x}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz\;,&x&{}\geq 1\\\end{aligned}}}$

Когда x равен 1, интегралы с ограниченными областями определения являются несобственными интегралами , но все еще хорошо определенными.

Бесконечный ряд

Подобно функциям синуса и косинуса, обратные тригонометрические функции также могут быть вычислены с использованием степенных рядов , как указано ниже. Для арксинуса ряд может быть получен путем разложения его производной, , как биномиальный ряд и интегрирования почленно (используя определение интеграла, как указано выше). Ряд для арктангенса может быть получен аналогичным образом путем разложения его производной в геометрический ряд и применения определения интеграла, указанного выше (см. ряд Лейбница ). ${\textstyle {\tfrac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}}$ ${\textstyle {\frac {1}{1+z^{2}}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(z)&=z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{7}}{7}}+\cdots \\[5pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}{\frac {z^{2n+1}}{2n+1}}\\[5pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{(2^{n}n!)^{2}}}{\frac {z^{2n+1}}{2n+1}}\,;\qquad |z|\leq 1\end{aligned}}}$

${\displaystyle \arctan(z)=z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{2n+1}}\,;\qquad |z|\leq 1\qquad z\neq i,-i}$

Ряды для других обратных тригонометрических функций могут быть заданы в терминах этих в соответствии с приведенными выше соотношениями. Например, , , и так далее. Другой ряд задается как: ^[13] ${\displaystyle \arccos(x)=\pi /2-\arcsin(x)}$ ${\displaystyle \operatorname {arccsc}(x)=\arcsin(1/x)}$

${\displaystyle 2\left(\arcsin \left({\frac {x}{2}}\right)\right)^{2}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{n^{2}{\binom {2n}{n}}}}.}$

Леонард Эйлер нашел ряд для арктангенса, который сходится быстрее, чем его ряд Тейлора :

${\displaystyle \arctan(z)={\frac {z}{1+z^{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }\prod _{k=1}^{n}{\frac {2kz^{2}}{(2k+1)(1+z^{2})}}.}$^[14]

(Член в сумме при n = 0 — это пустое произведение , как и 1.)

Альтернативно это можно выразить как

${\displaystyle \arctan(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{2n}(n!)^{2}}{(2n+1)!}}{\frac {z^{2n+1}}{(1+z^{2})^{n+1}}}.}$

Другой ряд для функции арктангенса имеет вид

${\displaystyle \arctan(z)=i\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n-1}}\left({\frac {1}{(1+2i/z)^{2n-1}}}-{\frac {1}{(1-2i/z)^{2n-1}}}\right),}$

где - мнимая единица . ^[15] ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$

Непрерывные дроби для арктангенса

Двумя альтернативами степенному ряду для арктангенса являются следующие обобщенные цепные дроби :

${\displaystyle \arctan(z)={\frac {z}{1+{\cfrac {(1z)^{2}}{3-1z^{2}+{\cfrac {(3z)^{2}}{5-3z^{2}+{\cfrac {(5z)^{2}}{7-5z^{2}+{\cfrac {(7z)^{2}}{9-7z^{2}+\ddots }}}}}}}}}}={\frac {z}{1+{\cfrac {(1z)^{2}}{3+{\cfrac {(2z)^{2}}{5+{\cfrac {(3z)^{2}}{7+{\cfrac {(4z)^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}}}$

Второе из них справедливо в комплексной плоскости разреза. Есть два разреза, от − i до точки на бесконечности, идущих вниз по мнимой оси, и от i до точки на бесконечности, идущих вверх по той же оси. Лучше всего это работает для действительных чисел от −1 до 1. Частичные знаменатели — это нечетные натуральные числа, а частичные числители (после первого) — это просто ( nz ) ² , причем каждый полный квадрат появляется один раз. Первый был разработан Леонардом Эйлером ; второй — Карлом Фридрихом Гауссом с использованием гауссовского гипергеометрического ряда .

Неопределенные интегралы обратных тригонометрических функций

Для действительных и комплексных значений z :

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \arcsin(z)\,dz&{}=z\,\arcsin(z)+{\sqrt {1-z^{2}}}+C\\\int \arccos(z)\,dz&{}=z\,\arccos(z)-{\sqrt {1-z^{2}}}+C\\\int \arctan(z)\,dz&{}=z\,\arctan(z)-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+z^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arccot}(z)\,dz&{}=z\,\operatorname {arccot}(z)+{\frac {1}{2}}\ln \left(1+z^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arcsec}(z)\,dz&{}=z\,\operatorname {arcsec}(z)-\ln \left[z\left(1+{\sqrt {\frac {z^{2}-1}{z^{2}}}}\right)\right]+C\\\int \operatorname {arccsc}(z)\,dz&{}=z\,\operatorname {arccsc}(z)+\ln \left[z\left(1+{\sqrt {\frac {z^{2}-1}{z^{2}}}}\right)\right]+C\end{aligned}}}$

Для действительных x ≥ 1:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec}(x)-\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C\\\int \operatorname {arccsc}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arccsc}(x)+\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C\end{aligned}}}$

Для всех действительных x, не лежащих в диапазоне от -1 до 1:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec}(x)-\operatorname {sgn}(x)\ln \left|x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right|+C\\\int \operatorname {arccsc}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arccsc}(x)+\operatorname {sgn}(x)\ln \left|x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right|+C\end{aligned}}}$

Абсолютное значение необходимо для компенсации как отрицательных, так и положительных значений функций арксеканса и арккосеканса. Функция signum также необходима из-за абсолютных значений в производных двух функций, которые создают два различных решения для положительных и отрицательных значений x. Их можно еще больше упростить, используя логарифмические определения обратных гиперболических функций :

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec}(x)-\operatorname {arcosh} (|x|)+C\\\int \operatorname {arccsc}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arccsc}(x)+\operatorname {arcosh} (|x|)+C\\\end{aligned}}}$

Абсолютное значение аргумента функции аркош создает отрицательную половину ее графика, делая ее идентичной знаковой логарифмической функции, показанной выше.

Все эти первообразные можно вывести с помощью интегрирования по частям и простых производных форм, показанных выше.

Пример

Используя (т.е. интегрирование по частям ), установите ${\displaystyle \int u\,dv=uv-\int v\,du}$

${\displaystyle {\begin{aligned}u&=\arcsin(x)&dv&=dx\\du&={\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}&v&=x\end{aligned}}}$

Затем

${\displaystyle \int \arcsin(x)\,dx=x\arcsin(x)-\int {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,dx,}$

что путем простой подстановки дает конечный результат: ${\displaystyle w=1-x^{2},\ dw=-2x\,dx}$

${\displaystyle \int \arcsin(x)\,dx=x\arcsin(x)+{\sqrt {1-x^{2}}}+C}$

Расширение на комплексную плоскость

Риманова поверхность для аргумента отношения tan z = x . Оранжевый лист в середине — главный лист, представляющий arctan x . Синий лист сверху и зеленый лист снизу смещены на 2 π и −2 π соответственно.

Поскольку обратные тригонометрические функции являются аналитическими функциями , их можно расширить с действительной прямой на комплексную плоскость. Это приводит к функциям с несколькими листами и точками ветвления . Один из возможных способов определения расширения:

${\displaystyle \arctan(z)=\int _{0}^{z}{\frac {dx}{1+x^{2}}}\quad z\neq -i,+i}$

где часть мнимой оси, которая не лежит строго между точками ветвления (−i и +i), является разрезом ветвления между главным листом и другими листами. Путь интеграла не должен пересекать разрез ветвления. Для z , не на разрезе ветвления, прямой путь от 0 до z является таким путем. Для z на разрезе ветвления путь должен приближаться от Re[x] > 0 для верхнего разреза ветвления и от Re[x] < 0 для нижнего разреза ветвления.

Тогда функцию арксинуса можно определить как:

${\displaystyle \arcsin(z)=\arctan \left({\frac {z}{\sqrt {1-z^{2}}}}\right)\quad z\neq -1,+1}$

где (функция квадратного корня имеет свой разрез вдоль отрицательной действительной оси и) часть действительной оси, которая не лежит строго между −1 и +1, является разрезом ветви между главным листом arcsin и другими листами;

${\displaystyle \arccos(z)={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(z)\quad z\neq -1,+1}$

который имеет то же сечение, что и арксинус;

${\displaystyle \operatorname {arccot}(z)={\frac {\pi }{2}}-\arctan(z)\quad z\neq -i,i}$

который имеет тот же разрез, что и arctan;

${\displaystyle \operatorname {arcsec}(z)=\arccos \left({\frac {1}{z}}\right)\quad z\neq -1,0,+1}$

где часть действительной оси между −1 и +1 включительно представляет собой разрез между главным листом arcsec и другими листами;

${\displaystyle \operatorname {arccsc}(z)=\arcsin \left({\frac {1}{z}}\right)\quad z\neq -1,0,+1}$

который имеет то же сечение, что и arcsec.

Логарифмические формы

Эти функции также могут быть выражены с помощью комплексных логарифмов . Это естественным образом расширяет их области определения до комплексной плоскости . Следующие тождества для главных значений функций выполняются всюду, где они определены, даже на их ветвях.

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(z)&{}=-i\ln \left({\sqrt {1-z^{2}}}+iz\right)=i\ln \left({\sqrt {1-z^{2}}}-iz\right)&{}=\operatorname {arccsc} \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\arccos(z)&{}=-i\ln \left(i{\sqrt {1-z^{2}}}+z\right)={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(z)&{}=\operatorname {arcsec} \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\arctan(z)&{}=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {i-z}{i+z}}\right)=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {1+iz}{1-iz}}\right)&{}=\operatorname {arccot} \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\operatorname {arccot}(z)&{}=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {z+i}{z-i}}\right)=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {iz-1}{iz+1}}\right)&{}=\arctan \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\operatorname {arcsec}(z)&{}=-i\ln \left(i{\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}+{\frac {1}{z}}\right)={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccsc}(z)&{}=\arccos \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\operatorname {arccsc}(z)&{}=-i\ln \left({\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}+{\frac {i}{z}}\right)=i\ln \left({\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}-{\frac {i}{z}}\right)&{}=\arcsin \left({\frac {1}{z}}\right)\end{aligned}}}$

Обобщение

Поскольку все обратные тригонометрические функции выводят угол прямоугольного треугольника, их можно обобщить, используя формулу Эйлера , чтобы сформировать прямоугольный треугольник в комплексной плоскости. Алгебраически это дает нам:

${\displaystyle ce^{i\theta }=c\cos(\theta )+ic\sin(\theta )}$

или

${\displaystyle ce^{i\theta }=a+ib}$

где — прилежащая сторона, — противолежащая сторона, — гипотенуза. Отсюда можно решить для . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\ln(c)+i\theta }&=a+ib\\\ln c+i\theta &=\ln(a+ib)\\\theta &=\operatorname {Im} \left(\ln(a+ib)\right)\end{aligned}}}$

или

${\displaystyle \theta =-i\ln \left({\frac {a+ib}{c}}\right)}$

Простое взятие мнимой части работает для любых действительных и , но если или является комплексным, мы должны использовать конечное уравнение, чтобы действительная часть результата не исключалась. Поскольку длина гипотенузы не изменяет угол, игнорирование действительной части также удаляет из уравнения. В конечном уравнении мы видим, что угол треугольника в комплексной плоскости можно найти, введя длины каждой стороны. Приравняв одну из трех сторон к 1, а одну из оставшихся сторон к нашему вводу , мы получаем формулу для одной из обратных тригонометрических функций, всего шесть уравнений. Поскольку обратные тригонометрические функции требуют только одного ввода, мы должны выразить конечную сторону треугольника через две другие, используя соотношение теоремы Пифагора ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \ln(a+bi)}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$

В таблице ниже показаны значения a, b и c для каждой из обратных тригонометрических функций и эквивалентные выражения для них, полученные путем подстановки значений в приведенные выше уравнения и упрощения. ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta =-i\ln \left({\tfrac {a+ib}{c}}\right)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&a&&b&&c&&-i\ln \left({\frac {a+ib}{c}}\right)&&\theta &&\theta _{a,b\in \mathbb {R} }\\\arcsin(z)\ \ &{\sqrt {1-z^{2}}}&&z&&1&&-i\ln \left({\frac {{\sqrt {1-z^{2}}}+iz}{1}}\right)&&=-i\ln \left({\sqrt {1-z^{2}}}+iz\right)&&\operatorname {Im} \left(\ln \left({\sqrt {1-z^{2}}}+iz\right)\right)\\\arccos(z)\ \ &z&&{\sqrt {1-z^{2}}}&&1&&-i\ln \left({\frac {z+i{\sqrt {1-z^{2}}}}{1}}\right)&&=-i\ln \left(z+{\sqrt {z^{2}-1}}\right)&&\operatorname {Im} \left(\ln \left(z+{\sqrt {z^{2}-1}}\right)\right)\\\arctan(z)\ \ &1&&z&&{\sqrt {1+z^{2}}}&&-i\ln \left({\frac {1+iz}{\sqrt {1+z^{2}}}}\right)&&=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {i-z}{i+z}}\right)&&\operatorname {Im} \left(\ln \left(1+iz\right)\right)\\\operatorname {arccot}(z)\ \ &z&&1&&{\sqrt {z^{2}+1}}&&-i\ln \left({\frac {z+i}{\sqrt {z^{2}+1}}}\right)&&=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {z+i}{z-i}}\right)&&\operatorname {Im} \left(\ln \left(z+i\right)\right)\\\operatorname {arcsec}(z)\ \ &1&&{\sqrt {z^{2}-1}}&&z&&-i\ln \left({\frac {1+i{\sqrt {z^{2}-1}}}{z}}\right)&&=-i\ln \left({\frac {1}{z}}+{\sqrt {{\frac {1}{z^{2}}}-1}}\right)&&\operatorname {Im} \left(\ln \left({\frac {1}{z}}+{\sqrt {{\frac {1}{z^{2}}}-1}}\right)\right)\\\operatorname {arccsc}(z)\ \ &{\sqrt {z^{2}-1}}&&1&&z&&-i\ln \left({\frac {{\sqrt {z^{2}-1}}+i}{z}}\right)&&=-i\ln \left({\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}+{\frac {i}{z}}\right)&&\operatorname {Im} \left(\ln \left({\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}+{\frac {i}{z}}\right)\right)\\\end{aligned}}}$

Конкретная форма упрощенного выражения может привести к тому, что вывод будет отличаться от обычной главной ветви каждой из обратных тригонометрических функций. Приведенные формулировки выведут обычную главную ветвь при использовании и главной ветви для каждой функции, кроме арккотангенса в столбце. Арккотангенс в столбце выведет на своей обычной главной ветви, используя соглашение и . ${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\ln z\right)\in (-\pi ,\pi ]}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} \left({\sqrt {z}}\right)\geq 0}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\ln z\right)\in [0,2\pi )}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} \left({\sqrt {z}}\right)\geq 0}$

В этом смысле все обратные тригонометрические функции можно рассматривать как частные случаи комплекснозначной логарифмической функции. Поскольку эти определения работают для любых комплекснозначных , определения допускают гиперболические углы в качестве выходных данных и могут использоваться для дальнейшего определения обратных гиперболических функций . Можно алгебраически доказать эти соотношения, начав с экспоненциальных форм тригонометрических функций и решив для обратной функции. ${\displaystyle z}$

Пример доказательства

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\phi )&=z\\\phi &=\arcsin(z)\end{aligned}}}$

Используя экспоненциальное определение синуса ^{[ сломанный якорь ]} , и позволяя ${\displaystyle \xi =e^{i\phi },}$

${\displaystyle {\begin{aligned}z&={\frac {e^{i\phi }-e^{-i\phi }}{2i}}\\[10mu]2iz&=\xi -{\frac {1}{\xi }}\\[5mu]0&=\xi ^{2}-2iz\xi -1\\[5mu]\xi &=iz\pm {\sqrt {1-z^{2}}}\\[5mu]\phi &=-i\ln \left(iz\pm {\sqrt {1-z^{2}}}\right)\end{aligned}}}$

(выбрана положительная ветвь)

${\displaystyle \phi =\arcsin(z)=-i\ln \left(iz+{\sqrt {1-z^{2}}}\right)}$

Приложения

Нахождение угла прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник со сторонами, расположенными относительно угла в точке. ${\displaystyle A}$

Обратные тригонометрические функции полезны при попытке определить оставшиеся два угла прямоугольного треугольника , когда известны длины сторон треугольника. Вспоминая определения синуса и косинуса для прямоугольного треугольника, следует, что

${\displaystyle \theta =\arcsin \left({\frac {\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}}\right)=\arccos \left({\frac {\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}}\right).}$

Часто гипотенуза неизвестна и должна быть рассчитана перед использованием арксинуса или арккосинуса с использованием теоремы Пифагора : где — длина гипотенузы. Арктангенс оказывается полезным в этой ситуации, поскольку длина гипотенузы не нужна. ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=h^{2}}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle \theta =\arctan \left({\frac {\text{opposite}}{\text{adjacent}}}\right)\,.}$

Например, предположим, что крыша опускается на 8 футов, а выступает на 20 футов. Крыша образует угол θ с горизонталью, где θ можно вычислить следующим образом:

${\displaystyle \theta =\arctan \left({\frac {\text{opposite}}{\text{adjacent}}}\right)=\arctan \left({\frac {\text{rise}}{\text{run}}}\right)=\arctan \left({\frac {8}{20}}\right)\approx 21.8^{\circ }\,.}$

В области компьютерных наук и техники

Двухаргументный вариант арктангенса

Функция atan2 с двумя аргументами вычисляет арктангенс y / x по заданным y и x , но в диапазоне (− π ,  π ]. Другими словами, atan2( y ,  x ) — это угол между положительной осью x плоскости и точкой ( x ,  y ) на ней, с положительным знаком для углов против часовой стрелки (верхняя полуплоскость, y  > 0) и отрицательным знаком для углов по часовой стрелке (нижняя полуплоскость, y  < 0). Впервые она была введена во многих языках программирования, но теперь она также распространена в других областях науки и техники.

В терминах стандартной функции arctan , которая имеет диапазон (− ⁠π/2⁠ , ⁠π/2⁠ ), это можно выразить следующим образом:

${\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)={\begin{cases}\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&\quad x>0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)+\pi &\quad y\geq 0,\;x<0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-\pi &\quad y<0,\;x<0\\{\frac {\pi }{2}}&\quad y>0,\;x=0\\-{\frac {\pi }{2}}&\quad y<0,\;x=0\\{\text{undefined}}&\quad y=0,\;x=0\end{cases}}}$

Он также равен главному значению аргумента комплексного числа x  +  i y .

Эту ограниченную версию функции выше можно также определить с помощью формул тангенса половинного угла следующим образом:

${\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)=2\arctan \left({\frac {y}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+x}}\right)}$

при условии, что либо x  > 0, либо y  ≠ 0. Однако это утверждение неверно, если x ≤ 0 и y = 0, поэтому выражение непригодно для вычислительного использования.

Вышеуказанный порядок аргументов ( y , x ) кажется наиболее распространенным и, в частности, используется в стандартах ISO , таких как язык программирования C , но некоторые авторы могут использовать противоположное соглашение ( x , y ), поэтому необходима некоторая осторожность. Эти вариации подробно описаны на atan2 .

Функция арктангенса с параметром местоположения

Во многих приложениях ^[16] решение уравнения должно быть максимально приближено к заданному значению . Адекватное решение получается с помощью функции арктангенса, модифицированной параметром ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x=\tan(y)}$ ${\displaystyle -\infty <\eta <\infty }$

${\displaystyle y=\arctan _{\eta }(x):=\arctan(x)+\pi \,\operatorname {rni} \left({\frac {\eta -\arctan(x)}{\pi }}\right)\,.}$

Функция округляет до ближайшего целого числа. ${\displaystyle \operatorname {rni} }$

Точность вычислений

Для углов около 0 и π арккосинус плохо обусловлен , и аналогично с арксинусом для углов около − π /2 и π /2. Таким образом, компьютерные приложения должны учитывать стабильность входных данных для этих функций и чувствительность их вычислений или использовать альтернативные методы. ^[17]

Смотрите также

• Арксинусное распределение
• Обратный эксеканс
• Обратный версин
• Обратные гиперболические функции
• Список интегралов обратных тригонометрических функций
• Список тригонометрических тождеств
• Тригонометрическая функция
• Тригонометрические функции матриц

Примечания

1. Выражение "LHS RHS" указывает, что либо (a) левая сторона (т. е. LHS) и правая сторона (т. е. RHS) обе истинны, либо (b) левая сторона и правая сторона обе ложны; варианта (c) нет ( например, невозможно, чтобы утверждение LHS было истинным, а утверждение RHS одновременно было ложным), потому что в противном случае "LHS RHS" не было бы написано. Для ясности предположим, что оно написано "LHS RHS", где LHS (что является сокращением от left hand side ) и RHS являются утверждениями, которые по отдельности могут быть либо истинными, либо ложными. Например, если и являются некоторыми заданными и фиксированными числами, и если написано следующее: то LHS является утверждением " ". В зависимости от того, какие конкретные значения и имеют, это утверждение LHS может быть либо истинным, либо ложным. Например, LHS является истинным, если и (потому что в этом случае ), но LHS является ложным, если и (потому что в этом случае которое не равно ); в более общем смысле, LHS ложно, если и Аналогично, RHS является утверждением « для некоторых ». Утверждение RHS также может быть истинным или ложным (как и прежде, истинность или ложность утверждения RHS зависит от конкретных значений и ). Символ логического равенства означает, что (a) если утверждение LHS истинно, то утверждение RHS также обязательно истинно, и, более того, (b) если утверждение LHS ложно, то утверждение RHS также обязательно ложно. Аналогично, также означает, что (c) если утверждение RHS истинно, то утверждение LHS также обязательно истинно, и, более того, (d) если утверждение RHS ложно, то утверждение LHS также обязательно ложно. ${\displaystyle \,\iff \,}$ ${\displaystyle \,\iff \,}$
   ${\displaystyle \,\iff \,}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \tan \theta =s\,\iff \,\theta =\arctan(s)+\pi k\quad {\text{ for some }}k\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \tan \theta =s}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \theta =0}$ ${\displaystyle s=0}$ ${\displaystyle \tan \theta =\tan 0=s}$ ${\displaystyle \theta =0}$ ${\displaystyle s=2}$ ${\displaystyle \tan \theta =\tan 0=s}$ ${\displaystyle s=2}$ ${\displaystyle \theta =0}$ ${\displaystyle s\neq 0.}$ ${\displaystyle \theta =\arctan(s)+\pi k}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \,\iff \,}$ ${\displaystyle \,\iff \,}$

Ссылки

• Абрамовиц, Милтон ; Стиган, Ирен А. , ред. (1972). Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Нью-Йорк: Dover Publications . ISBN 978-0-486-61272-0.

1. Холл, Артур Грэм; Фринк, Фред Гудрич (январь 1909 г.). "Глава II. Острый угол [14] Обратные тригонометрические функции". Написано в Энн-Арбор, Мичиган, США. Тригонометрия . Том. Часть I: Плоская тригонометрия. Нью-Йорк, США: Henry Holt and Company / Norwood Press / JS Cushing Co. - Berwick & Smith Co., Норвуд, Массачусетс, США . стр. 15. Получено 12 августа 2017 г. […] α = arcsin  m : Его часто читают как " arc-sine m " или " anti-sine m ", поскольку две взаимно обратные функции считаются антифункциями друг друга. […] Аналогичное символическое соотношение справедливо и для других тригонометрических функций . […] Эта нотация повсеместно используется в Европе и быстро набирает популярность в этой стране. Менее желательный символ, α = sin ^-1 m , все еще встречается в английских и американских текстах. Обозначение α = inv sin m , возможно, еще лучше из-за его общей применимости. […]
2. Кляйн, Феликс (1924) [1902]. Elementarmathematik vom höheren Standpunkt aus: Arithmetik, Algebra, Analysis (на немецком языке). Том. 1 (3-е изд.). Берлин: Дж. Спрингер.Перевод: « Элементарная математика с продвинутой точки зрения: арифметика, алгебра, анализ». Перевод: Хедрик, Э. Р.; Нобл, К. А. Макмиллан. 1932. ISBN 978-0-486-43480-3.
3. Хазевинкель, Михиль (1994) [1987]. Энциклопедия математики (несокращенное переиздание). Kluwer Academic Publishers / Springer Science & Business Media . ISBN 978-155608010-4.
   Бронштейн, ИН; Семендяев, КА; Мусиол, Герхард; Мюлиг, Хайнер. «Циклометрические или обратные тригонометрические функции». Справочник по математике (6-е изд.). Берлин: Springer. § 2.8 , стр. 85–89. doi :10.1007/978-3-663-46221-8 (неактивен 1 ноября 2024 г.).{{cite book}}: CS1 maint: DOI inactive as of November 2024 (link)
   Однако термин «функция дуги» может также относиться к функции, дающей аргумент комплексного числа, иногда называемого дугой .
4. Weisstein, Eric W. "Обратные тригонометрические функции". mathworld.wolfram.com . Получено 29-08-2020 .
5. Бич, Фредерик Конверс; Райнс, Джордж Эдвин, ред. (1912). «Обратные тригонометрические функции». Американа: универсальная справочная библиотека . Том 21.
6. Кук, Джон Д. (11 февраля 2021 г.). «Триговые функции в разных языках программирования». johndcook.com (блог) . Получено 10.03.2021 г.
7. Каджори, Флориан (1919). История математики (2-е изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: The Macmillan Company . стр. 272.
8. Гершель, Джон Фредерик Уильям (1813). «О замечательном применении теоремы Котеса». Philosophical Transactions . 103 (1). Королевское общество, Лондон: 8. doi : 10.1098/rstl.1813.0005 .
9. "Обратные тригонометрические функции". Wiki. Brilliant Math & Science (brilliant.org) . Получено 29-08-2020 .
10. Корн, Грандино Артур; Корн, Тереза ​​М. (2000) [1961]. "21.2.-4. Обратные тригонометрические функции". Математический справочник для ученых и инженеров: Определения, теоремы и формулы для справок и обзоров (3-е изд.). Минеола, Нью-Йорк, США: Dover Publications, Inc. стр. 811. ISBN 978-0-486-41147-7.
11. Бхатти, Санаулла; Наваб-уд-Дин; Ахмед, Башир; Юсуф, SM; Тахим, Аллах Бухш (1999). «Дифференциация тригонометрических, логарифмических и показательных функций». В Ellahi, Mohammad Maqbool; Dar, Karamat Hussain; Hussain, Faheem (ред.). Исчисление и аналитическая геометрия (1-е изд.). Лахор : Punjab Textbook Board. стр. 140.
12. Абрамовиц и Стегун 1972, стр. 73, 4.3.44
13. Борвейн, Джонатан; Бейли, Дэвид; Джинджерсон, Роланд (2004). Эксперименты в математике: вычислительные пути к открытию (1-е изд.). Уэллсли, Массачусетс, США: AK Peters . стр. 51. ISBN 978-1-56881-136-9.
14. Хванг Чиен-Ли (2005), «Элементарный вывод ряда Эйлера для функции арктангенса», The Mathematical Gazette , 89 (516): 469–470, doi :10.1017/S0025557200178404, S2CID  123395287
15. SM Abrarov и BM Quine (2018), «Формула для числа π с вложенными радикалами», The Ramanujan Journal , 46 (3): 657–665, arXiv : 1610.07713 , doi : 10.1007/s11139-018-9996-8, S2CID  119150623
16. когда изменяющееся во времени пересечение углов должно быть отображено плавной линией, а не пилообразной (робототехника, астрономия, угловое движение в целом) ^{[ необходима ссылка ]} ${\displaystyle \pm \pi /2}$
17. Гейд, Кеннет (2010). «Несингулярное представление горизонтальной позиции» (PDF) . Журнал навигации . 63 (3). Cambridge University Press : 395–417. Bibcode :2010JNav...63..395G. doi :10.1017/S0373463309990415.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Обратный тангенс». Математический мир .