Арифметическая топология — область математики , которая представляет собой комбинацию алгебраической теории чисел и топологии . Она устанавливает аналогию между числовыми полями и замкнутыми ориентируемыми 3-многообразиями .
Аналогии
Ниже приведены некоторые аналогии, используемые математиками между числовыми полями и 3-многообразиями: [1]
- Числовое поле соответствует замкнутому, ориентируемому 3-многообразию
- Идеалы в кольце целых чисел соответствуют связям , а простые идеалы соответствуют узлам.
- Поле Q рациональных чисел соответствует 3-сфере .
Расширяя два последних примера, можно провести аналогию между узлами и простыми числами , в которой рассматриваются «связи» между простыми числами. Тройка простых чисел (13, 61, 937) «связана» по модулю 2 (символ Редеи равен −1), но «попарно не связана» по модулю 2 ( все символы Лежандра равны 1). Поэтому эти простые числа были названы «собственной тройкой Борромео по модулю 2» [2] или «простыми числами Борромео по модулю 2». [3]
История
В 1960-х топологические интерпретации теории полей классов были даны Джоном Тейтом [4] на основе когомологий Галуа , а также Майклом Артином и Жаном-Луи Вердье [5] на основе этальных когомологий . Затем Дэвид Мамфорд (и независимо Юрий Манин ) придумали аналогию между простыми идеалами и узлами [6] , которая была далее исследована Барри Мазуром . [7] [8] В 1990-х Резников [9] и Капранов [10] начали изучать эти аналогии, введя термин арифметическая топология для этой области исследований.
Смотрите также
Примечания
- ^ Сикора, Адам С. «Аналогии между действиями групп на 3-многообразиях и числовыми полями». Commentarii Mathematici Helvetici 78.4 (2003): 832-844.
- ^ Фогель, Денис (13 февраля 2004 г.), Произведения Мэсси в когомологиях Галуа числовых полей, doi : 10.11588/heidok.00004418, urn : nbn:de:bsz:16-opus-44188
- ^ Морисита, Масанори (22 апреля 2009 г.), Аналогии между узлами и простыми числами, 3-многообразиями и числовыми кольцами , arXiv : 0904.3399 , Bibcode : 2009arXiv0904.3399M
- ^ Дж. Тейт, Теоремы двойственности в когомологиях Галуа над числовыми полями, (Proc. Intern. Cong. Stockholm, 1962, стр. 288-295).
- ↑ М. Артин и Ж.-Л. Вердье, Семинар по этальным когомологиям числовых полей, Вудс-Хол. Архивировано 26 мая 2011 г. в Wayback Machine , 1964.
- ^ Кто придумал аналогию простых чисел=узлов? Архивировано 18 июля 2011 г., Wayback Machine , neverendingbooks, блог ливена ле брюйна, 16 мая 2011 г.,
- ↑ Замечания о многочлене Александера, Барри Мазур, ок. 1964 г.
- ^ Б. Мазур, Заметки о ´этальных когомологиях числовых полей, Ann. scient. ´Ec. Norm. Sup. 6 (1973), 521-552.
- ^ А. Резников, Теория полей классов трехмерных многообразий (Гомологии покрытий для невиртуально b1-положительного многообразия), Изв. матем. Новая серия 3, (1997), 361–399.
- ^ М. Капранов, Аналогии между соответствием Ленглендса и топологической квантовой теорией поля, Progress in Math., 131, Birkhäuser, (1995), 119–151.
Дальнейшее чтение
- Масанори Морисита (2011), Узлы и простые числа, Springer, ISBN 978-1-4471-2157-2
- Масанори Морисита (2009), Аналогии между узлами и простыми числами, 3-многообразиями и числовыми кольцами
- Кристофер Денингер (2002), Заметка об арифметической топологии и динамических системах
- Адам С. Сикора (2001), Аналогии между действиями групп на 3-многообразиях и числовыми полями
- Кертис Т. МакМаллен (2003), От динамики на поверхностях к рациональным точкам на кривых
- Чао Ли и Шармейн Сиа (2012), Узлы и простые числа
Внешние ссылки
- Запутанный словарь Мазура
