В математике ассоциаэдр K n — это ( n – 2) -мерный выпуклый многогранник , в котором каждая вершина соответствует способу правильной вставки открывающих и закрывающих скобок в строку из n букв, а ребра соответствуют однократному применению ассоциативности . правило. Эквивалентно, вершины ассоциэдра соответствуют триангуляциям правильного многоугольника с n + 1 сторонами, а ребра соответствуют переворотам ребер, при которых одна диагональ удаляется из триангуляции и заменяется другой диагональю. Ассоциэдры также называются многогранниками Сташеффа в честь работы Джима Сташеффа , который заново открыл их в начале 1960-х годов [1] после более ранней работы над ними Дова Тамари . [2]
Одномерный ассоциэдр K 3 представляет собой две скобки (( xy ) z ) и ( x ( yz )) трех символов или две триангуляции квадрата. Это сам по себе сегмент прямой.
Двумерный ассоциаэдр К 4 представляет собой пять скобок четырех символов или пять триангуляций правильного пятиугольника. Он сам по себе является пятиугольником и связан с пятиугольной диаграммой моноидальной категории .
Трехмерный ассоциэдр К 5 представляет собой эннеаэдр с девятью гранями (три непересекающихся четырехугольника и шесть пятиугольников) и четырнадцатью вершинами, а двойственным ему является триаугментированная треугольная призма .
Первоначально Джим Сташефф рассматривал эти объекты как криволинейные многогранники. Впоследствии им были присвоены координаты в виде выпуклых многогранников несколькими разными способами; см. введение Ceballos, Santos & Ziegler (2015) для обзора. [3]
Один из способов реализации ассоциаэдра — использовать его как вторичный многогранник правильного многоугольника. [3] В этой конструкции каждой триангуляции правильного многоугольника с n +1 сторонами соответствует точка в ( n +1)-мерном евклидовом пространстве , i -я координата которой равна сумме площадей треугольников, инцидентных i - й вершине. многоугольника. Например, две триангуляции единичного квадрата таким образом порождают две четырехмерные точки с координатами (1, 1/2, 1, 1/2) и (1/2, 1, 1/2, 1). . Выпуклая оболочка этих двух точек является реализацией ассоциэдра К 3 . Хотя он живет в четырехмерном пространстве, он образует отрезок (одномерный многогранник) внутри этого пространства. Аналогично ассоциаэдр К 4 можно реализовать таким образом как правильный пятиугольник в пятимерном евклидовом пространстве, координатами вершин которого являются циклические перестановки вектора (1, 2 + φ, 1, 1 + φ, 1 + φ) где φ обозначает золотое сечение . Поскольку возможные треугольники внутри правильного шестиугольника имеют площади, кратные друг другу, эту конструкцию можно использовать для задания целочисленных координат (в шести измерениях) трехмерного ассоциэдра K 5 ; однако (как уже показывает пример К 4 ) эта конструкция вообще приводит к иррациональным числам в качестве координат.
Другая реализация, принадлежащая Жану-Луи Лоде , основана на соответствии вершин ассоциаэдра двоичным деревьям с n - листьями и непосредственно создает целочисленные координаты в ( n - 2)-мерном пространстве. i - я координата реализации Лодея — это a i b i , где a i — количество листьев-потомков левого дочернего элемента i- го внутреннего узла дерева (в порядке слева направо), а b i — число листовых потомков правого потомка. [4]
Ассоциэдр можно реализовать непосредственно в ( n - 2)-мерном пространстве как многогранник, для которого все векторы нормали грани имеют координаты 0, +1 или -1. Существует экспоненциально много комбинаторно различных способов сделать это. [3] [5]
Поскольку К 5 представляет собой многогранник только с вершинами, в которых 3 ребра сходятся вместе, возможно существование углеводорода (аналогичного платоновым углеводородам ), химическая структура которого представлена скелетом К 5 . [6] Этот «ассоциэдр» C 14 H 14 будет иметь обозначение SMILES : C12-C3-C4-C1-C5-C6-C2-C7-C3-C8-C4-C5-C6-C78. Его ребра будут примерно одинаковой длины, но вершины каждой грани не обязательно будут копланарными.
Действительно, К 5 — это почти твердое тело Джонсона : кажется, что его можно составить из квадратов и правильных пятиугольников, но это не так. Либо вершины не будут полностью копланарными, либо грани придется немного исказить в сторону от регулярности.
Число ( n − k )-мерных граней ассоциэдра порядка n (K n +1 ) задаётся числовым треугольником [7] ( n , k ), показанным справа.
Число вершин в K n +1 есть n -е число Каталана (правая диагональ треугольника).
Число граней в K n +1 (для n ≥2) равно n -му треугольному числу минус один (второй столбец в треугольнике), поскольку каждая грань соответствует 2- подмножеству из n объектов, группировки которых образуют Тамари. решетка T n , за исключением 2-подмножества, содержащего первый и последний элементы.
Количество граней всех измерений (включая сам ассоциэдр как грань, но не включая пустое множество) представляет собой число Шредера – Гиппарха (суммы строк треугольника). [8]
В конце 1980-х годов в связи с проблемой расстояния вращения Дэниел Слитор , Роберт Тарьян и Уильям Тёрстон предоставили доказательство того, что диаметр n -мерного ассоциэдра K n + 2 не превосходит 2 n − 4 для бесконечного числа n и для всех «достаточно больших» значений n . [9] Они также доказали, что эта верхняя граница является точной, когда n достаточно велико, и предположили, что «достаточно большое» означает «строго больше 9». Эту гипотезу доказал в 2012 году Лионель Пурнен. [10]
В 2017 году Мизера [11] и Аркани-Хамед и др. В работе [12] показано, что ассоциаэдр играет центральную роль в теории амплитуд рассеяния для бисопряженной кубической скалярной теории. В частности, в пространстве кинематики рассеяния существует ассоциэдр, а амплитуда рассеяния на уровне дерева представляет собой объем двойственного ассоциэдра. [12] Ассоциэдр также помогает объяснить отношения между амплитудами рассеяния открытых и закрытых струн в теории струн . [11]