Ассоциативный биалгеброид

В математике , если — ассоциативная алгебра над некоторым основным полем k , то левый ассоциативный -биалгеброид — это другая ассоциативная k -алгебра вместе со следующими дополнительными отображениями: ^[1] отображение алгебры , называемое исходным отображением, отображение алгебры, называемое целевым отображением, так что элементы образов и коммутируют в , тем самым индуцируя структуру -бимодуля на с помощью правила для ; морфизм -бимодуля , который должен быть коединичным коассоциативным коумножением на в моноидальной категории -бимодулей с моноидальным произведением . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \alpha :L\to H}$ ${\displaystyle \beta :L^{\mathrm {op} }\to H}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle a.h.b=\alpha (a)\beta (b)h}$ ${\displaystyle a,b\in L,h\in H}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \Delta :H\to H\otimes _{L}H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \otimes _{L}}$

Соответствующая единица должна быть левым символом (эквивалентно, отображение должно быть левым действием, расширяющим умножение вдоль ). ${\displaystyle \varepsilon :H\to L}$ ${\displaystyle H\otimes L\ni h\otimes \ell \mapsto \varepsilon (h\alpha (\ell ))\in L}$ ${\displaystyle L\otimes L\to L}$ ${\displaystyle \alpha \otimes \mathrm {id} _{L}}$

Кроме того, требуется совместимость между коумножением и умножениями и далее . Для некоммутативного тензорный квадрат не является алгеброй, поэтому запрос на совместимость, подобную биалгебре, которая является морфизмом k -алгебр, не имеет смысла. Вместо этого требуется, чтобы имелось k -подпространство , содержащее образ и имеющее хорошо определенное умножение, индуцированное из его прообраза при проекции из обычной тензорной квадратной алгебры . Затем требуется, чтобы корестрикция была гомоморфизмом унитальных алгебр. Если это гомоморфизм для одного из таких , можно сделать канонический выбор для , а именно так называемое произведение Такеучи , ^[2] которое всегда наследует ассоциативное умножение через проекцию из . Таким образом, достаточно проверить, содержится ли образ в произведении Такеучи , а не искать другие . Как показали Бжезинский и Милитару, понятие биалгеброида эквивалентно понятию -алгебры, введенному Такеучи ранее, в 1977 году ^{. [3]} ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H\otimes H}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle H\otimes _{L}H}$ ${\displaystyle \Delta :H\to H\otimes _{L}H}$ ${\displaystyle H\otimes _{L}H}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle H\otimes H}$ ${\displaystyle \Delta |^{T}:H\to T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle H\times _{L}H\subset H\otimes _{L}H}$ ${\displaystyle H\otimes H}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \times _{L}}$

Ассоциативный биалгеброид — это обобщение понятия k - биалгебры , в котором коммутативное основное кольцо k заменяется возможно некоммутативной k -алгеброй . Алгеброиды Хопфа — это ассоциативные биалгеброиды с дополнительным отображением антиподов, которое является антиавтоморфизмом удовлетворения дополнительных аксиом. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle H}$

Термин биалгеброид для этого понятия был впервые предложен Дж. Х. Лу. ^[4] Модификатор ассоциативный часто опускается из названия и сохраняется в основном только тогда, когда мы хотим отличить его от понятия биалгеброида Ли , часто также называемого просто биалгеброидом. Ассоциативные биалгеброиды бывают двух хиральных версий, левой и правой. Двойственным понятием является понятие бикоалгеброида. ^[5]

Существует обобщение — внутренний биалгеброид , который абстрагирует структуру ассоциативного биалгеброида до установки, в которой категория векторных пространств заменяется абстрактной симметричной моноидальной категорией, допускающей коуравнители, коммутирующие с тензорным произведением.

Ссылки

1. Бём, Габриэлла (2008), Алгеброиды Хопфа , arXiv : 0805.3806
2. Бжезинский, Томаш; Милитару, Гигель (2000), Биалгеброиды, -биалгебры и двойственность , arXiv : math.QA/0012164 ${\displaystyle \times _{A}}$
3. М. Такеучи, Группы алгебр над , J. Math. Soc. Jpn. 29, 459–492, 1977 ${\displaystyle A\times {\bar {A}}}$
4. Лу, Цзян-Хуа (1996), «Алгеброиды Хопфа и квантовые группоиды», Международный журнал математики , 07 : 47–70, arXiv : q-alg/9505024 , doi : 10.1142/S0129167X96000050, S2CID  9861060
5. Имре Балинт, Скалярное расширение бикоалгеброидов, Appl. Categor. Struct. 16, 29–55 (2008)

Внешние ссылки

• nLab, Ассоциативный биальгеброид, https://ncatlab.org/nlab/show/bialgebroid
• Степан Мельянац, Зоран Шкода, Мартина Стойич, Некоммутативные фазовые пространства типа алгебры Ли являются алгеброидами Хопфа, Lett. Математика. Физ. 107:3, 475–503 (2017) http://dx.doi.org/10.1007/s11005-016-0908-9 http://arxiv.org/abs/1409.8188