stringtranslate.com

Ассоциативный магический квадрат

В квадрате Ло Шу пары противоположных чисел в сумме дают 10.
Фрагмент картины «Меланхолия I», изображающий ассоциативный квадрат 4 × 4.

Ассоциативный магический квадрат — это магический квадрат , для которого каждая пара чисел, симметрично противоположных центру, в сумме дает одно и то же значение. Для квадрата n  ×  n , заполненного числами от 1 до n 2 , эта общая сумма должна равняться n 2  ​​+ 1. Эти квадраты также называются ассоциированными магическими квадратами , регулярными магическими квадратами , регмагическими квадратами или симметричными магическими квадратами . [1] [2] [3]

Примеры

Например, квадрат Ло Шу — уникальный магический квадрат 3 × 3 — ассоциативен, поскольку каждая пара противоположных точек образует линию квадрата вместе с центральной точкой, поэтому сумма двух противоположных точек равна сумме линии за вычетом значения центральной точки, независимо от того, какие две противоположные точки выбраны. [4] Магический квадрат 4 × 4 с гравюры Альбрехта Дюрера 1514 года «Меланхолия I» — также найденный в письме Бенджамина Франклина 1765 года — также ассоциативен, поскольку каждая пара противоположных чисел в сумме дает 17. [5]

Существование и перечисление

Число возможных ассоциативных магических квадратов n  ×  n для n = 3,4,5,..., считая два квадрата одинаковыми, если они отличаются только поворотом или отражением, равно:

1, 48, 48544, 0, 1125154039419854784, ... (последовательность A081262 в OEIS )

Число ноль для n = 6 является примером более общего явления: ассоциативные магические квадраты не существуют для значений n , которые являются четными по отдельности (равными 2 по модулю 4). [3] Каждый ассоциативный магический квадрат четного порядка образует сингулярную матрицу , но ассоциативные магические квадраты нечетного порядка могут быть сингулярными или несингулярными. [4]

Ссылки

  1. ↑ Фриерсон, Л.С. (1917), «Заметки о пандиагональных и связанных магических квадратах», в книге Эндрюса, В.С. (ред.), «Магические квадраты и кубы» (2-е изд.), Open Court, стр. 229–244.
  2. ^ Белл, Джордан; Стивенс, Бретт (2007), «Построение ортогональных пандиагональных латинских квадратов и панмагических квадратов из модульных -ферзевых решений», Журнал комбинаторных разработок , 15 (3): 221–234, doi :10.1002/jcd.20143, MR  2311190, S2CID  121149492
  3. ^ ab Nordgren, Ronald P. (2012), «О свойствах специальных магических квадратных матриц», Линейная алгебра и ее приложения , 437 (8): 2009–2025, doi : 10.1016/j.laa.2012.05.031 , MR  2950468
  4. ^ ab Ли, Майкл З.; Лав, Элизабет; Нараян, Сиварам К.; Уошер, Элизабет; Вебстер, Джордан Д. (2012), «О невырожденных регулярных магических квадратах нечетного порядка», Линейная алгебра и ее приложения , 437 (6): 1346–1355, doi : 10.1016/j.laa.2012.04.004 , MR  2942355
  5. ^ Pasles, Paul C. (2001), «Потерянные квадраты доктора Франклина: пропавшие квадраты Бена Франклина и секрет магического круга», American Mathematical Monthly , 108 (6): 489–511, doi :10.1080/00029890.2001.11919777, JSTOR  2695704, MR  1840656, S2CID  341378

Внешние ссылки