Дополненная матрица

Матрица, образованная добавлением столбцов двух других матриц.

В линейной алгебре расширенная матрица — это матрица , полученная добавлением -мерного вектора-строки справа в качестве дополнительного столбца к -мерной матрице . Обычно это делается с целью выполнения тех же элементарных операций над строками над расширенной матрицей, что и над исходной при решении системы линейных уравнений методом исключения Гаусса . ${\displaystyle (A\vert B)}$ ${\displaystyle k\times (n+1)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle k\times n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (A\vert B)}$ ${\displaystyle A}$

Например, учитывая матрицы и вектор-столбец , где ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3&2\\2&0&1\\5&2&2\end{bmatrix}},\quad B={\begin{bmatrix}4\\3\\1\end{bmatrix}},}$$

${\displaystyle (A\vert B)}$

$${\displaystyle (A|B)=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&3&2&4\\2&0&1&3\\5&2&2&1\end{array}}\right].}$$

При заданном числе неизвестных число решений системы линейных уравнений зависит только от ранга матрицы коэффициентов , представляющей систему, и ранга соответствующей расширенной матрицы, компоненты которой состоят из правых частей последовательные линейные уравнения. Согласно теореме Руше–Капелли любая система линейных уравнений ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (A\vert B)}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle AX=B}$

где - вектор-столбец -компоненты, элементы которого являются неизвестными системы, является противоречивым (не имеет решений), если ранг расширенной матрицы больше ранга матрицы коэффициентов . Если же ранги этих двух матриц равны, система должна иметь хотя бы одно решение. Решение уникально тогда и только тогда, когда ранг равен числу переменных . В противном случае общее решение имеет свободные параметры, где — разница между количеством переменных и рангом. В таком случае существует аффинное пространство решений размерности, равной этой разности. ${\displaystyle X=(x_{1},\dots ,x_{n})^{T}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (A\vert B)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle n}$

Обратная невырожденная квадратная матрица размерности может быть найдена путем добавления единичной матрицы справа от для формирования размерной расширенной матрицы . Применяя элементарные операции над строками для преобразования левого блока в единичную матрицу , правый блок становится обратной матрицей. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathbf {I} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n\times 2n}$ ${\displaystyle (A\vert \mathbf {I} )}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathbf {I} }$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A^{-1}}$

Пример нахождения обратной матрицы

Пусть – квадратная матрица 2×2 ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3\\-5&0\end{bmatrix}}.}$$

Чтобы найти обратную величину, мы формируем расширенную матрицу где – единичная матрица . Затем мы уменьшаем часть, соответствующую единичной матрице, используя элементарные операции над строками . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (A\vert \mathbf {I} _{2})}$ ${\displaystyle \mathbf {I} _{2}}$ ${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle (A\vert \mathbf {I} _{2}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (A\vert \mathbf {I} _{2})}$

$${\displaystyle (A\vert \mathbf {I} _{2})=\left[{\begin{array}{cc|cc}1&3&1&0\\-5&0&0&1\end{array}}\right]}$$

$${\displaystyle (I|A^{-1})=\left[{\begin{array}{cc|cc}1&0&0&-{\frac {1}{5}}\\0&1&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{15}}\end{array}}\right],}$$

${\displaystyle A^{-1}}$

Существование и количество решений

Рассмотрим систему уравнений

$${\displaystyle {\begin{aligned}x+y+2z&=2\\x+y+z&=3\\2x+2y+2z&=6.\end{aligned}}}$$

Матрица коэффициентов

$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&1&2\\1&1&1\\2&2&2\\\end{bmatrix}},}$$

$${\displaystyle (A|B)=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&1&2&2\\1&1&1&3\\2&2&2&6\end{array}}\right].}$$

Поскольку оба они имеют одинаковый ранг, а именно 2, существует хотя бы одно решение; и поскольку их ранг меньше числа неизвестных (последнее равно 3), существует бесконечное число решений.

Напротив, рассмотрим систему

$${\displaystyle {\begin{aligned}x+y+2z&=3\\x+y+z&=1\\2x+2y+2z&=5.\end{aligned}}}$$

Матрица коэффициентов

$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&1&2\\1&1&1\\2&2&2\\\end{bmatrix}},}$$

$${\displaystyle (A|B)=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&1&2&3\\1&1&1&1\\2&2&2&5\end{array}}\right].}$$

В этом примере матрица коэффициентов имеет ранг 2, а расширенная матрица — ранг 3; поэтому эта система уравнений не имеет решения. Действительно, увеличение числа линейно независимых строк сделало систему уравнений несовместной .

Решение линейной системы

В линейной алгебре расширенная матрица используется для представления коэффициентов и вектора решения каждого набора уравнений. Для системы уравнений

$${\displaystyle {\begin{aligned}x+2y+3z&=0\\3x+4y+7z&=2\\6x+5y+9z&=11\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&3\\3&4&7\\6&5&9\end{bmatrix}},\quad B={\begin{bmatrix}0\\2\\11\end{bmatrix}},}$$

$${\displaystyle (A|B)=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&2&3&0\\3&4&7&2\\6&5&9&11\end{array}}\right].}$$

Обратите внимание, что ранг матрицы коэффициентов, равный 3, равен рангу расширенной матрицы, поэтому существует хотя бы одно решение; и поскольку этот ранг равен числу неизвестных, решение существует ровно одно.

Чтобы получить решение, над расширенной матрицей можно выполнить операции со строками, чтобы получить единичную матрицу в левой части, что дает

$${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|r}1&0&0&4\\0&1&0&1\\0&0&1&-2\\\end{array}}\right],}$$

( x , y , z ) = (4, 1, −2)

Рекомендации

• Марвин Маркус и Хенрик Минк, Обзор теории матриц и матричных неравенств , Dover Publications , 1992, ISBN  0-486-67102-X . Страница 31.