Автомедианный треугольник

Автомедианный треугольник (черный) с длинами сторон в пропорции 13:17:7, его три медианы (коричневые) и треугольник, подобный исходному, стороны которого являются перенесенными копиями медиан.

В планарной геометрии автомедианный треугольник — это треугольник , в котором длины трех медиан (отрезков прямой, соединяющих каждую вершину с серединой противоположной стороны) пропорциональны длинам трех сторон, в другом порядке. Три медианы автомедианного треугольника можно перенести, чтобы сформировать стороны второго треугольника, подобного первому.

Характеристика

Длины сторон автомедианного треугольника удовлетворяют формуле или ее перестановке, аналогичной теореме Пифагора, характеризующей прямоугольные треугольники как треугольники, удовлетворяющие формуле . ${\displaystyle 2a^{2}=b^{2}+c^{2}}$ ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$

Эквивалентно, для того чтобы три числа , , и были сторонами автомедианного треугольника, последовательность трех квадратов длин сторон , , и должна образовывать арифметическую прогрессию . ^[1] То есть, , и (например, если , , и , то : , и ). ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle b^{2}}$ ${\displaystyle a^{2}}$ ${\displaystyle c^{2}}$ ${\displaystyle b^{2}-k=a^{2}}$ ${\displaystyle a^{2}-k=c^{2}}$ ${\displaystyle b=17}$ ${\displaystyle a=13}$ ${\displaystyle c=7}$ ${\displaystyle k=120}$ ${\displaystyle 17^{2}-120=13^{2}=169}$ ${\displaystyle 13^{2}-120=7^{2}=49}$

Построение из прямоугольных треугольников

Если , , и являются тремя сторонами прямоугольного треугольника, отсортированными в порядке возрастания размера, и если , то , , и являются тремя сторонами автомедианного треугольника. Например, прямоугольный треугольник с длинами сторон 5, 12 и 13 может быть использован для формирования таким образом автомедианного треугольника с длинами сторон 13, 17 и 7. ^[2] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle 2x<z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x+y}$ ${\displaystyle y-x}$

Необходимое условие : если бы оно не выполнялось, то три числа , , и все равно удовлетворяли бы уравнению, характеризующему автомедианные треугольники, но они не удовлетворяли бы неравенству треугольника и не могли бы быть использованы для образования сторон треугольника. ${\displaystyle 2x<z}$ ${\displaystyle a=z}$ ${\displaystyle b=x+y}$ ${\displaystyle c=y-x}$ ${\displaystyle 2a^{2}=b^{2}+c^{2}}$

Следовательно, используя формулу Эйлера , которая генерирует примитивные пифагоровы треугольники , можно генерировать примитивные целочисленные автомедианные треугольники (т.е. со сторонами, не имеющими общего множителя) как с и взаимно простыми, нечетными, и удовлетворять неравенству треугольника (если величина внутри знаков абсолютной величины отрицательна) или (если эта величина положительна). Затем медианы этого треугольника находятся с использованием приведенных выше выражений для его сторон в общей формуле для медиан : где второе уравнение в каждом случае отражает функцию автомедианы $${\displaystyle {\begin{aligned}a&=m^{2}+n^{2}\\b&=m^{2}+2mn-n^{2}\\c&=|m^{2}-2mn-n^{2}|\\\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m+n}$ ${\displaystyle n<m<n{\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle m>(2+{\sqrt {3}})n}$ ${\displaystyle t_{a},t_{b},t_{c}}$ $${\displaystyle t_{a}={\sqrt {\frac {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}}}={\frac {a{\sqrt {3}}}{2}},\qquad t_{b}={\sqrt {\frac {2a^{2}+2c^{2}-b^{2}}{4}}}={\frac {c{\sqrt {3}}}{2}},\qquad t_{c}={\sqrt {\frac {2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}{4}}}={\frac {b{\sqrt {3}}}{2}},}$$ ${\displaystyle 2a^{2}=b^{2}+c^{2}.}$

Из этого можно увидеть сходство отношений $${\displaystyle {\frac {t_{a}}{t_{b}}}={\frac {a}{c}},\qquad {\frac {t_{b}}{t_{c}}}={\frac {c}{b}},\qquad {\frac {t_{c}}{t_{a}}}={\frac {b}{a}}\qquad {\text{and hence}}\qquad t_{a}:t_{b}:t_{c}\quad =\quad a:c:b.}$$

Существует примитивный автомедианный треугольник с целочисленными сторонами, который не получается из прямоугольного треугольника, а именно, равносторонний треугольник со сторонами единичной длины.

Примеры

Существует 18 примитивных целочисленных автомедианных треугольников, показанных здесь в виде троек сторон , при этом : ${\displaystyle (a,b,c)}$ ${\displaystyle b\leq 200}$

Например, (26, 34, 14) не является примитивной автомедианной тройкой, так как она кратна (13, 17, 7) и не встречается выше.

Дополнительные свойства

Если - площадь автомедианного треугольника, по формуле Герона ^[3] ${\displaystyle \Delta (a,b,c)}$ ${\displaystyle \Delta (t_{a},t_{b},t_{c})=(3/4)\Delta (a,b,c).}$

Линия Эйлера автомедианного треугольника перпендикулярна медиане к стороне . ^[2] ${\displaystyle a}$

Если медианы автомедианного треугольника продолжены до описанной окружности треугольника, то три точки , в которых продолженные медианы пересекаются с описанной окружностью, образуют равнобедренный треугольник . Треугольники, для которых этот второй треугольник равнобедренный, — это в точности те треугольники, которые сами являются либо равнобедренными, либо автомедианными. Это свойство автомедианных треугольников противоречит теореме Штейнера–Лемуса , согласно которой единственные треугольники, две из биссектрис которых имеют одинаковую длину, являются равнобедренными. ^[2] ${\displaystyle LMN}$ ${\displaystyle LMN}$

Кроме того, предположим, что — автомедианный треугольник, в котором вершина находится напротив стороны . Пусть — точка пересечения трех медиан треугольника , а — одна из продолженных медиан треугольника , лежащих на описанной окружности треугольника . Тогда — параллелограмм , два треугольника и , на которые он может быть разделен, подобны , — середина треугольника , а прямая Эйлера треугольника — серединный перпендикуляр треугольника . ^[2] ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle AL}$ ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle BGCL}$ ${\displaystyle BGL}$ ${\displaystyle CLG}$ ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle AL}$ ${\displaystyle AL}$

При генерации примитивного автомедианного треугольника из примитивной пифагоровой тройки с использованием евклидовых параметров , то и следует, что . Поскольку непримитивные автомедианные треугольники являются кратными своим примитивам, неравенства сторон применяются ко всем целочисленным автомедианным треугольникам. Равенство имеет место только для тривиальных равносторонних треугольников. Кроме того, поскольку всегда нечетно, все стороны должны быть нечетными. Этот факт позволяет автомедианным тройкам иметь стороны и периметр только из простых чисел. Например, (13, 17, 7) имеет периметр 37. ${\displaystyle m,n}$ ${\displaystyle m>n}$ ${\displaystyle b\geq a\geq c}$ ${\displaystyle m+n}$ ${\displaystyle a,b,c}$

Поскольку в примитивном автомедианном треугольнике сторона является суммой двух квадратов и равна гипотенузе порождающей примитивной пифагоровой тройки, она делится только на простые числа, сравнимые с 1 (mod 4). Следовательно, должна быть сравнима с 1 (mod 4). ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$

Аналогично, поскольку стороны связаны соотношением , каждая из сторон и в примитивной автомедиане является разностью между удвоенным квадратом и квадратом. Они также являются суммой и разностью сторон примитивной пифагорейской тройки. Это ограничивает и делимостью только на простые числа, сравнимые с ±1 (mod 8). Следовательно, и должны быть сравнимы с ±1 (mod 8). ^[4] ${\displaystyle 2a^{2}=b^{2}+c^{2}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

История

Изучение целых квадратов в арифметической прогрессии имеет долгую историю, уходящую корнями к Диофанту и Фибоначчи ; оно тесно связано с congrua , которые являются числами, которые могут быть разностями квадратов в такой прогрессии. ^[1] Однако связь между этой проблемой и автомедианными треугольниками возникла гораздо позже. Проблема характеристики автомедианных треугольников была поставлена ​​в конце 19 века в Educational Times (на французском языке) Жозефом Жаном Батистом Нойбергом и решена там с помощью формулы Уильяма Джона Гринстрита . ^[5] ${\displaystyle 2a^{2}=b^{2}+c^{2}}$

Особые случаи

За исключением тривиальных случаев равносторонних треугольников, треугольник с длинами сторон 17, 13 и 7 является наименьшим (по площади или периметру) автомедианным треугольником с целыми длинами сторон. ^[2]

Существует только один автомедианный прямоугольный треугольник, треугольник с длинами сторон, пропорциональными 1, квадратному корню из 2 и квадратному корню из 3. ^[2] Этот треугольник является вторым треугольником в спирали Феодора . Это единственный прямоугольный треугольник, в котором две медианы перпендикулярны друг другу. ^[2]

Смотрите также

• срединный треугольник
• Целочисленный треугольник
• Треугольник Кеплера — прямоугольный треугольник, в котором квадраты длин сторон образуют геометрическую прогрессию вместо арифметической.

Ссылки

1. Dickson, Leonard Eugene (1919), «Три квадрата в арифметической прогрессии x2 + z2 = 2y2», История теории чисел , тома 2–3 , Американское математическое общество, стр. 435–440, ISBN 978-0-8218-1935-7.
2. Парри, CF (1991), «Штайнер–Лемус и автомедианный треугольник», The Mathematical Gazette , 75 (472): 151–154, JSTOR  3620241.
3. Беньи, Арпад, «Формула типа Герона для треугольника», Mathematical Gazette 87, июль 2003 г., 324–326.
4. Слоан, Н. Дж. А. (ред.), «Последовательность A001132», Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей , Фонд OEIS
5. «Задача 12705», Математические вопросы и решения из «Educational Times», том I, Ф. Ходжсон, 1902, стр. 77–78. Первоначально опубликовано в Educational Times 71 (1899), стр. 56

Внешние ссылки

• Автомедианные треугольники и магические квадраты Математические страницы К. С. Брауна