Вспомогательная функция

Построение в теории трансцендентных чисел

В математике вспомогательные функции являются важной конструкцией в теории трансцендентных чисел . Это функции , которые появляются в большинстве доказательств в этой области математики и которые обладают определенными, желательными свойствами, такими как принятие значения ноль для многих аргументов или наличие нуля высокого порядка в некоторой точке. ^[1]

Определение

Вспомогательные функции не являются строго определенным видом функций, скорее, это функции, которые либо явно построены, либо, по крайней мере, показаны существующими и которые противоречат некоторой предполагаемой гипотезе или иным образом доказывают спорный результат. Создание функции в ходе доказательства с целью доказательства результата не является методом, присущим исключительно теории трансцендентности, но термин «вспомогательная функция» обычно относится к функциям, созданным в этой области.

Явные функции

Критерий трансцендентности Лиувилля

Из-за упомянутого выше соглашения об именовании вспомогательные функции можно датировать до их источника, просто взглянув на самые ранние результаты в теории трансцендентности. Одним из этих первых результатов было доказательство Лиувилля того, что трансцендентные числа существуют, когда он показал, что так называемые числа Лиувилля были трансцендентными. ^[2] Он сделал это, открыв критерий трансцендентности, которому эти числа удовлетворяли. Чтобы вывести этот критерий, он начал с общего алгебраического числа α и нашел некоторое свойство, которому это число обязательно удовлетворяло. Вспомогательная функция, которую он использовал в ходе доказательства этого критерия, была просто минимальным многочленом α, который является неприводимым многочленом f с целыми коэффициентами, такими что f (α) = 0. Эту функцию можно использовать для оценки того, насколько хорошо алгебраическое число α может быть оценено рациональными числами p / q . В частности, если α имеет степень d не менее двух, то он показал, что

${\displaystyle \left|f\left({\frac {p}{q}}\right)\right|\geq {\frac {1}{q^{d}}},}$

и также, используя теорему о среднем значении , что существует некоторая константа, зависящая от α, скажем, c (α), такая, что

${\displaystyle \left|f\left({\frac {p}{q}}\right)\right|\leq c(\alpha )\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|.}$

Объединение этих результатов дает свойство, которому должно удовлетворять алгебраическое число; следовательно, любое число, не удовлетворяющее этому критерию, должно быть трансцендентным.

Вспомогательная функция в работе Лиувилля очень проста, это просто многочлен, который исчезает при заданном алгебраическом числе. Такого рода свойство обычно удовлетворяют вспомогательные функции. Они либо исчезают, либо становятся очень малыми в определенных точках, что обычно сочетается с предположением, что они не исчезают или не могут быть слишком малыми, чтобы получить результат.

Доказательство Фурье иррациональностие

Другое простое, раннее появление - доказательство Фурье иррациональности e , ^[3] хотя используемые обозначения обычно скрывают этот факт. Доказательство Фурье использовало степенной ряд показательной функции :

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.}$

Усекая этот степенной ряд после, скажем, N  + 1 членов, мы получаем многочлен с рациональными коэффициентами степени N, который в некотором смысле «близок» к функции e ^x . В частности, если мы посмотрим на вспомогательную функцию, определяемую остатком:

${\displaystyle R(x)=e^{x}-\sum _{n=0}^{N}{\frac {x^{n}}{n!}}}$

то эта функция — экспоненциальный многочлен — должна принимать малые значения для x, близких к нулю. Если e — рациональное число, то, положив x  = 1 в приведенной выше формуле, мы видим, что R (1) также является рациональным числом. Однако Фурье доказал, что R (1) не может быть рациональным, исключив все возможные знаменатели. Таким образом, e не может быть рациональным.

Доказательство Эрмита иррациональностиег

Эрмит расширил работу Фурье, приблизив функцию e ^x не полиномом, а рациональной функцией , которая является частным двух полиномов. В частности, он выбрал полиномы A ( x ) и B ( x ) таким образом, что вспомогательная функция R, определяемая как

${\displaystyle R(x)=B(x)e^{x}-A(x)}$

можно было сделать сколь угодно малым около x  = 0. Но если бы er было рациональным, то ^R ( r ) должно было бы быть рациональным с определенным знаменателем, однако Эрмит мог сделать R ( r ) слишком малым, чтобы иметь такой знаменатель, отсюда и противоречие.

Доказательство Эрмита трансцендентностие

Чтобы доказать, что e на самом деле трансцендентно, Эрмит продвинул свою работу на один шаг дальше, аппроксимируя не только функцию e ^x , но и функции e ^kx для целых чисел k  = 1,..., m , где он предполагал, что e является алгебраической со степенью m . Аппроксимируя e ^kx рациональными функциями с целыми коэффициентами и с тем же знаменателем, скажем, A _k ( x ) /  B ( x ), он мог определить вспомогательные функции R _k ( x ) как

${\displaystyle R_{k}(x)=B(x)e^{kx}-A_{k}(x).}$

Для своего противоречия Эрмит предположил, что e удовлетворяет полиномиальному уравнению с целыми коэффициентами a ₀  +  a ₁ e  + ... +  a _m e ^m  = 0. Умножая это выражение на B (1), он заметил, что оно подразумевает

${\displaystyle R=a_{0}+a_{1}R_{1}(1)+\cdots +a_{m}R_{m}(1)=a_{1}A_{1}(1)+\cdots +a_{m}A_{m}(1).}$

Правая часть представляет собой целое число, поэтому, оценив вспомогательные функции и доказав, что 0 < | R | < 1, он вывел необходимое противоречие.

Вспомогательные функции из принципа ящика

Все вспомогательные функции, описанные выше, можно явно вычислить и с ними работать. Прорывом Акселя Туэ и Карла Людвига Зигеля в двадцатом веке стало осознание того, что эти функции не обязательно должны быть явно известны — может быть достаточно знать, что они существуют и обладают определенными свойствами. Используя принцип Пиджеонхола , Туэ, а позже Зигель, сумели доказать существование вспомогательных функций, которые, например, принимали нулевое значение во многих различных точках или принимали нули высокого порядка в меньшем наборе точек. Более того, они доказали, что можно построить такие функции, не делая функции слишком большими. ^[4] Тогда их вспомогательные функции не были явными функциями, но, зная, что определенная функция с определенными свойствами существует, они использовали ее свойства, чтобы упростить доказательства трансцендентности девятнадцатого века и получить несколько новых результатов. ^[5]

Этот метод был подхвачен и использован несколькими другими математиками, включая Александра Гельфонда и Теодора Шнайдера , которые независимо друг от друга использовали его для доказательства теоремы Гельфонда–Шнайдера . ^[6] Алан Бейкер также использовал этот метод в 1960-х годах для своей работы над линейными формами в логарифмах и, в конечном итоге, для теоремы Бейкера . ^[7] Другой пример использования этого метода из 1960-х годов приведен ниже.

Вспомогательная полиномиальная теорема

Пусть β равно кубическому корню из b/a в уравнении ax ³ + bx ³ = c и предположим, что m — целое число, удовлетворяющее условию m + 1 > 2 n /3 ≥ m ≥ 3, где n — положительное целое число.

Тогда существует

${\displaystyle F(X,Y)=P(X)+Y*Q(X)}$

такой что

${\displaystyle \sum _{i=0}^{m+n}u_{i}X^{i}=P(X),}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{m+n}v_{i}X^{i}=Q(X).}$

Вспомогательная полиномиальная теорема гласит:

${\displaystyle \max _{0\leq i\leq m+n}{(|u_{i}|,|v_{i}|)}\leq 2b^{9(m+n)}.}$

Теорема Ланга

В 1960-х годах Серж Ланг доказал результат, используя эту неявную форму вспомогательных функций. Теорема влечет как теоремы Эрмита–Линдемана, так и теоремы Гельфонда–Шнайдера . ^[8] Теорема касается числового поля K и мероморфных функций f ₁ ,..., f _N порядка не выше ρ , по крайней мере две из которых алгебраически независимы, и таких, что если мы дифференцируем любую из этих функций, то результатом будет полином по всем функциям. При этих предположениях теорема утверждает, что если существует m различных комплексных чисел ω ₁ ,...,ω _m таких, что f _i  (ω _j  ) принадлежит K для всех комбинаций i и j , то m ограничено

${\displaystyle m\leq 20\rho [K:\mathbb {Q} ].}$

Чтобы доказать результат, Лэнг взял две алгебраически независимые функции из f ₁ ,..., f _N , скажем, f и g , а затем создал вспомогательную функцию, которая была просто многочленом F от f и g . Эта вспомогательная функция не могла быть явно указана, поскольку f и g явно не известны. Но, используя лемму Зигеля, Лэнг показал, как сделать F таким образом, чтобы она обращалась в нуль до высокого порядка при m комплексных числах ω ₁ ,...,ω _m . Из-за этого обращения в нуль высокого порядка можно показать, что производная высокого порядка от F принимает значение малого размера, одного из ω _i s, «размер» здесь относится к алгебраическому свойству числа. Используя принцип максимального модуля, Лэнг также нашел отдельный способ оценки абсолютных значений производных от F , и, используя стандартные результаты сравнения размера числа и его абсолютного значения, он показал, что эти оценки противоречат друг другу, если только заявленная граница для m не выполняется.

Интерполяционные определители

После множества успехов, достигнутых с помощью использования существующих, но не явных вспомогательных функций, в 1990-х годах Мишель Лоран представил идею интерполяционных определителей. ^[9] Это альтернанты – определители матриц вида

${\displaystyle {\mathcal {M}}=\left(\varphi _{i}(\zeta _{j})\right)_{1\leq i,j\leq N}}$

где φ _i — это набор функций, интерполированных в наборе точек ζ _j . Поскольку определитель — это просто полином в записях матрицы, эти вспомогательные функции поддаются изучению аналитическими средствами. Проблема с методом заключалась в необходимости выбора базиса до того, как можно было бы работать с матрицей. Разработка Жана-Бенуа Боста устранила эту проблему с использованием теории Аракелова ^[10] , и исследования в этой области продолжаются. Приведенный ниже пример дает представление об особенностях этого подхода.

Доказательство теоремы Эрмита–Линдемана

Одним из простейших применений этого метода является доказательство вещественной версии теоремы Эрмита–Линдемана . То есть, если α — ненулевое вещественное алгебраическое число, то e ^α — трансцендентное число. Сначала пусть k — некоторое натуральное число, а n — большое кратное k . Рассматриваемый определитель интерполяции — это определитель Δ матрицы n ⁴ × n ⁴

${\displaystyle \left(\{\exp(j_{2}x)x^{j_{1}-1}\}^{(i_{1}-1)}{\Big |}_{x=(i_{2}-1)\alpha }\right).}$

Строки этой матрицы индексируются 1 ≤  i ₁  ≤  n ⁴ / k и 1 ≤  i ₂  ≤  k , в то время как столбцы индексируются 1 ≤  j ₁  ≤  n ³ и 1 ≤  j ₂  ≤  n . Таким образом, функции в нашей матрице являются мономами от x и e ^x и их производными, и мы интерполируем в k точках 0,α,2α,...,( k  − 1)α. Предполагая, что e ^α является алгебраическим, мы можем образовать числовое поле Q (α, e ^α ) степени m над Q , а затем умножить Δ на подходящий знаменатель , а также все его образы при вложениях поля Q (α, e ^α ) в C . По алгебраическим причинам это произведение обязательно является целым числом, и, используя аргументы, относящиеся к вронскианам, можно показать, что оно не равно нулю, поэтому его абсолютное значение является целым числом Ω ≥ 1.

Используя версию теоремы о среднем значении для матриц, можно также получить аналитическую границу для Ω, и фактически, используя нотацию «большое О», мы имеем

${\displaystyle \Omega =O\left(\exp \left(\left({\frac {m+1}{k}}-{\frac {3}{2}}\right)n^{8}\log n\right)\right).}$

Число m фиксируется степенью поля Q (α, e ^α ), но k — это число точек, в которых мы интерполируем, и поэтому мы можем увеличивать его по своему желанию. И как только k  > 2( m  + 1)/3, мы будем иметь Ω → 0, что в конечном итоге противоречит установленному условию Ω ≥ 1. Таким образом, e ^α не может быть алгебраическим в конце концов. ^[11]

Примечания

1. Вальдшмидт (2008).
2. Лиувилль (1844).
3. Эрмит (1873).
4. Туэ (1977) и Сигел (1929).
5. Сигел (1932).
6. Гельфонд (1934) и Шнейдер (1934).
7. Бейкер и Вюстхольц (2007).
8. Лэнг (1966).
9. Лоран (1991).
10. Бост (1996).
11. Адаптировано из Pila (1993).

Ссылки

• Вальдшмидт, Мишель. «Введение в иррациональность и методы трансцендентности» (PDF) .
• Лиувилл, Жозеф (1844). «Суры трех классов не имеют ценности, не являются алгебраическими, они не сводятся к иррациональным алгебрам». Дж. Математика. Приложение Pures . 18 : 883–885 и 910–911.
• Эрмит, Чарльз (1873). «Показательная функция». ЧР акад. наук. Париж . 77 .
• Туэ, Аксель (1977). Избранные математические статьи . Осло: Universitetsforlaget.
• Сигель, Карл Людвиг (1929). «Über einige Anwendungen diophantischer Approximationen». Абхандлунген Акад. Берлин . 1:70 .
• Сигель, Карл Людвиг (1932). «Über die Perioden elliptischer Funktionen». Журнал для королевы и математики . 1932 (167): 62–69. дои : 10.1515/crll.1932.167.62. S2CID  199545608.
• Гельфонд, АО (1934). «Sur le septieme Problème de D. Hilbert». Изв. Акад. Наук СССР . 7 : 623–630.
• Шнайдер, Теодор (1934). «Transzendenzuntersuchungen periodischer Funktionen. I. Transzendend von Potenzen». Дж. Рейн Анжью. Математика . 172 : 65–69.
• Бейкер, Алан ; Вюстхольц, Г. (2007), «Логарифмические формы и диофантова геометрия», Новые математические монографии , т. 9, Cambridge University Press, стр. 198
• Ланг, Серж (1966). Введение в трансцендентные числа . Addison–Wesley Publishing Company.
• Лоран, Мишель (1991). «Sur Quelques Résultats Récents de Transcendance». Астериск . 198–200: 209–230.
• Бост, Жан-Бенуа (1996). «Периоды и изогенезы разновидностей животных на телах номеров (д'апре Д. Массер и Г. Вюстхольц)». Астериск . 237 :795.
• Пила, Джонатан (1993). «Геометрическое и арифметическое постулирование показательной функции». J. Austral. Math. Soc . A. 54 : 111–127. doi : 10.1017/s1446788700037022 .