Карандаш (геометрия)

В геометрии карандаш — это семейство геометрических объектов с общим свойством, например набор прямых , проходящих через данную точку плоскости , или набор окружностей , проходящих через две заданные точки плоскости.

Хотя определение карандаша довольно расплывчато, общей характеристикой является то, что карандаш полностью определяется любыми двумя его членами. Аналогично набор геометрических объектов, определяемых любыми тремя его членами, называется пучком . ^[1] Таким образом, множество всех прямых, проходящих через точку в трехмерном пространстве, представляет собой пучок прямых, любые две из которых определяют пучок прямых. Чтобы подчеркнуть двумерность такого карандаша, его иногда называют плоским карандашом . ^[2]

Любой геометрический объект можно нарисовать карандашом. Обычными являются линии, плоскости, круги, коники, сферы и общие кривые. Можно использовать даже баллы. Карандаш точек – это совокупность всех точек данной прямой. ^[1] Более распространенный термин для этого набора — диапазон точек.

Карандаш линий

Пусть на плоскости $u$ и $v$ — две различные пересекающиеся прямые. Для конкретности предположим, что $u$ имеет уравнение $aX + bY + c = 0$ , а $v$ имеет уравнение $a'X + b'Y + c' = 0$ . Затем

λ ты + μ v знак равно 0

представляет для подходящих скаляров $λ$ и $µ$ любую прямую, проходящую через пересечение $u$ = 0 и $v$ = 0. Этот набор прямых, проходящих через общую точку, называется пучком прямых . ^[3] Общая точка пучка прямых называется вершиной пучка.

В аффинной плоскости с рефлексивным вариантом параллелизма множество параллельных прямых образует класс эквивалентности , называемый пучком параллельных прямых . ^[4] Эта терминология согласуется с приведенным выше определением, поскольку в уникальном проективном расширении аффинной плоскости до проективной плоскости к каждой прямой в пучке параллельных прямых добавляется одна точка ( точка на бесконечности ), что делает ее пучком. в указанном выше смысле в проективной плоскости.

Карандаш самолетов

Пучок плоскостей — это множество плоскостей, проходящих через заданную прямую в трехмерном пространстве, называемую осью карандаша. Карандаш иногда называют осевым карандашом ^[5] или веером плоскостей или пучком плоскостей . ^[6] Например, меридианы земного шара определяются карандашом плоскостей на оси вращения Земли.

Две пересекающиеся плоскости встречаются на линии в трехмерном пространстве и, таким образом, определяют ось и, следовательно, все плоскости карандаша.

Четырехпространство кватернионов можно рассматривать как осевой пучок комплексных плоскостей , имеющих одну и ту же действительную линию. Фактически кватернионы содержат сферу из мнимых единиц , и пара противоположных точек на этой сфере вместе с вещественной осью порождают комплексную плоскость. Объединение всех этих комплексных плоскостей образует 4-алгебру кватернионов.

Карандаш кругов

Любые две окружности на плоскости имеют общую радикальную ось , которая представляет собой линию, состоящую из всех точек, имеющих одинаковую мощность по отношению к двум окружностям. Пучок окружностей (или коаксиальная система ) — это совокупность всех окружностей на плоскости с одной радикальной осью. ^[7] Чтобы быть инклюзивным, говорят, что концентрические круги имеют бесконечную линию в качестве радикальной оси.

Существует пять типов карандашей окружностей, ^[8] два семейства аполлоновых кругов на иллюстрации выше представляют два из них. Каждый тип определяется двумя окружностями, называемыми образующими карандаша. При алгебраическом описании уравнения могут иметь мнимые решения. Типы:

Эллиптический карандаш (красное семейство кругов на рисунке) определяется двумя образующими, которые проходят друг через друга ровно в двух точках. Каждая окружность эллиптического карандаша проходит через одни и те же две точки. Эллиптический карандаш не содержит воображаемых кругов.
Гиперболический карандаш (синяя группа кругов на рисунке) определяется двумя образующими, которые не пересекаются друг с другом ни в одной точке. Он включает в себя реальные окружности, воображаемые окружности и две вырожденные точечные окружности, называемые точками Понселе карандаша. Каждая точка плоскости принадлежит ровно одному кругу карандаша.
Параболический пучок (как предельный случай) определяется там, где две образующие окружности касаются друг друга в одной точке. Он состоит из семейства реальных окружностей, касающихся друг друга в одной общей точке. Вырожденная окружность нулевого радиуса в этой точке также принадлежит пучку.
Семейство концентрических окружностей с общим центром (можно рассматривать как частный случай гиперболического пучка, где другой точкой является точка, находящаяся на бесконечности).
Семейство прямых, проходящих через общую точку; их следует интерпретировать как круги, которые проходят через точку, находящуюся на бесконечности (можно считать частным случаем эллиптического карандаша). ^[9]^[10]

Характеристики

Окружность, ортогональная двум фиксированным окружностям, ортогональна каждой окружности в определяемом ими карандаше. ^[11]

Окружности, ортогональные двум неподвижным окружностям, образуют пучок окружностей. ^[11]

Две окружности определяют два пучка: единственный пучок, который их содержит, и пучок ортогональных им окружностей. Коренная ось одного карандаша состоит из центров окружностей другого карандаша. Если один карандаш эллиптического типа, то другой — гиперболического типа и наоборот. ^[11]

Радикальная ось любого пучка окружностей, интерпретируемая как окружность бесконечного радиуса, принадлежит пучку. Любые три окружности принадлежат одному пучку, если все три пары имеют одну и ту же радикальную ось и их центры лежат на одной прямой .

Проективное пространство кругов

Существует естественное соответствие между кругами на плоскости и точками в трехмерном проективном пространстве ; линия в этом пространстве соответствует одномерному непрерывному семейству окружностей, следовательно, пучок точек в этом пространстве является пучком окружностей на плоскости.

В частности, уравнение окружности радиуса $r$ с центром в точке ( $p, q$ ),

(xp)^{2}+(yq)^{2}=r^{2},

можно переписать как

\alpha (x^{2}+y^{2})-2\beta x-2\gamma y+\delta =0,

где $α знак равно 1, β знак равно п, γ = q и δ знак равно п 2 + q 2 - р 2$ . В этой форме умножение четверки ( $α,β,γ,δ$ ) на скаляр дает другую четверку, которая представляет тот же круг; таким образом, эти четверки можно считать однородными координатами пространства окружностей. ^[12] Прямые линии также могут быть представлены уравнением этого типа, в котором $α = 0$ , и их следует рассматривать как вырожденную форму круга. Когда $α \neq 0$ , мы можем найти $p = β/α, q = γ/α$ и $r = \sqrt(p 2 + q 2 - δ/α)$ ; последняя формула может давать $r = 0$ (в этом случае круг вырождается в точку) или $r,$ равный мнимому числу (в этом случае говорят, что четверка ( $α,β,γ,δ$ ) представляет воображаемый круг ).

Множество аффинных комбинаций двух окружностей ( $α 1,β 1,γ 1,δ 1$ ), ( $α 2,β 2,γ 2,δ 2$ ), то есть множество окружностей, представленных четверкой

z(\alpha _{1},\beta _{1},\gamma _{1},\delta _{1})+(1-z)(\alpha _{2},\beta _ {2},\гамма _{2},\дельта _{2})

при некотором значении параметра $z$ образует карандаш; два круга являются образующими карандаша.

Кардиоида как огибающая карандаша кругов

кардиоида в виде огибающей карандаша из кругов

Другой вид карандаша из кругов можно получить следующим образом. Рассмотрим данную окружность (называемую образующей окружностью ) и выделенную точку $P$ на образующей окружности. Набор всех окружностей, проходящих через $P$ и имеющих центры на образующей окружности, образует пучок окружностей. Огибающая этого карандаша – кардиоида .

Карандаш сфер

Сфера однозначно определяется четырьмя некомпланарными точками . В более общем смысле, сфера однозначно определяется четырьмя условиями, такими как прохождение через точку, касание плоскости и т. д. ^[13] Это свойство аналогично свойству, согласно которому три неколлинеарные точки определяют уникальный круг на плоскости.

Следовательно, сфера однозначно определяется (то есть проходит через) окружностью и точкой, не лежащей в плоскости этой окружности.

Рассмотрев общие решения уравнений двух сфер , можно увидеть, что две сферы пересекаются по окружности, а плоскость, содержащая эту окружность, называется радикальной плоскостью пересекающихся сфер. ^[14] Хотя радикальная плоскость является реальной плоскостью, круг может быть воображаемым (сферы не имеют общей реальной точки) или состоять из одной точки (сферы касаются в этой точке). ^[15]

Если $f (x, y, z) = 0$ и $g (x, y, z) = 0$ являются уравнениями двух различных сфер, то

\lambda f(x,y,z)+\mu g(x,y,z)=0

также является уравнением сферы для произвольных значений параметров $λ$ и $µ$ . Набор всех сфер, удовлетворяющих этому уравнению, называется пучком сфер , определяемым двумя исходными сферами. В этом определении сфера может быть плоскостью (бесконечный радиус, центр в бесконечности), и если обе исходные сферы являются плоскостями, то все сферы карандаша являются плоскостями, в противном случае в сфере есть только одна плоскость (радикальная плоскость). карандаш. ^[16]

Если пучок сфер не состоит из всех плоскостей, то существует три типа пучков: ^[15]

Если сферы пересекаются по действительной окружности $C$ , то пучок состоит из всех сфер, содержащих $C$ , включая радикальную плоскость. Центры всех обычных сфер на карандаше лежат на прямой, проходящей через центр $C$ и перпендикулярной радикальной плоскости.
Если сферы пересекаются по воображаемому кругу, то все сферы карандаша также проходят через этот воображаемый круг, но как обычные сферы они не пересекаются (не имеют общих реальных точек). Линия центров перпендикулярна радикальной плоскости, которая является реальной плоскостью в карандаше, содержащем воображаемую окружность.
Если сферы пересекаются в точке $А$ , то все сферы в карандаше касаются в точке $А$ , а радикальная плоскость является общей касательной плоскостью всех этих сфер. Линия центров перпендикулярна радикальной плоскости в точке $А.$

Все касательные линии от неподвижной точки радикальной плоскости к сферам карандаша имеют одинаковую длину. ^[15]

Радикальная плоскость — это место центров всех сфер, ортогональных всем сферам карандаша. Более того, сфера, ортогональная любым двум сферам пучка сфер, ортогональна всем им и ее центр лежит в радикальной плоскости пучка. ^[15]

Карандаш конических

(Невырожденная) коника полностью определяется пятью точками , находящимися в общем положении (не три коллинеарных) на плоскости, а система коник, проходящих через фиксированный набор из четырех точек (опять же в плоскости и не три коллинеарных), называется карандаш конических . ^[17] Четыре общие точки называются базовыми точками карандаша. Через любую точку, кроме базовой, проходит одна коника карандаша. Это понятие обобщает карандаш кругов.

В проективной плоскости , определенной над алгебраически замкнутым полем, любые две коники встречаются в четырех точках (считая с кратностью) и, таким образом, определяют пучок коник по этим четырем точкам. Более того, четыре базовые точки определяют три пары прямых ( вырожденные коники через базовые точки, каждая линия пары содержит ровно две базовые точки), и поэтому каждый пучок коник будет содержать не более трех вырожденных коник. ^[18]

Алгебраически пучок коник можно представить следующим образом. Пусть $C 1$ и $C 2$ — две различные коники в проективной плоскости, определенной над алгебраически замкнутым полем $K$ . Для каждой пары $λ, µ$ элементов $K$ , не являющихся одновременно нулевыми, выражение:

\lambda C_{1}+\mu C_{2}

представляет собой конику на пучке, определяемую $C 1$ и $C 2$ . Это символическое представление можно сделать конкретным, слегка злоупотребляя обозначениями (используя одни и те же обозначения для обозначения объекта, а также уравнения, определяющего объект). Если рассматривать $C 1$ , скажем, как троичную квадратичную форму , то $C 1 = 0$ есть уравнение «коники $C 1$ ». Другая конкретная реализация может быть получена, если рассматривать $C 1$ как симметричную матрицу 3×3, которая его представляет. Если $C1$ и $C2 имеют такие конкретные реализации$ $,$ то и каждый член вышеуказанного пучка будет иметь такую же реализацию $.$ Поскольку в настройке используются однородные координаты на проективной плоскости, два конкретных представления (уравнения или матрицы) дают одну и ту же конику, если они отличаются ненулевой мультипликативной константой.

Карандаш плоских кривых

В более общем смысле, карандаш — это частный случай линейной системы делителей , в которой пространство параметров представляет собой проективную прямую . Например, типичные пучки кривых на проективной плоскости записываются как

\lambda C+\mu C'=0\,

где $C = 0$ , $C' = 0$ — плоские кривые.

История

Дезаргу приписывают изобретение термина «карандаш линий» ( ordonnance de lignes ). ^[19]

Один из первых авторов современной проективной геометрии Г.Б. Холстед ввел термины «копунктальный» и «плоский карандаш» для определения угла : «Прямые с одинаковым крестом являются копунктальными». Также «Совокупность всех копланарных, копунктальных прямых называется плоским карандашом » и «Часть плоского карандаша, ограниченная двумя прямыми как сторонами , называется углом ». ^[20]

Смотрите также

Примечания

^ аб Янг 1971, с. 40
^ Холстед 1906, с. 9
^ Педо 1988, с. 106
^ Артин 1957, с. 53
^ Холстед 1906, с. 9
^ Вудс 1961, с. 12
^ Джонсон 2007, с. 34
^ Некоторые авторы объединяют типы и сокращают список до трех. Швердтфегер (1979, стр. 8–10)
^ Джонсон 2007, с. 36
^ Швердтфегер 1979, стр. 8–10.
^ abc Johnson 2007, с. 37
^ Пфайфер и Ван Хук 1993.
^ Альберт 2016, с. 55.
^ Альберт 2016, с. 57.
^ abcd Вудс 1961, с. 267.
^ Вудс 1961, с. 266
^ Фолкнер 1952, стр. 64.
^ Сэмюэл 1988, стр. 50.
↑ Самые ранние известные варианты использования некоторых математических слов , получено 14 июля 2020 г.
^ Холстед 1906, с. 9

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. , «Карандаш», MathWorld