Парадокс парикмахерской был предложен Льюисом Кэрроллом в трехстраничном эссе под названием «Логический парадокс», которое появилось в июльском выпуске журнала Mind за 1894 год . Название происходит от «декоративного» рассказа, который Кэрролл использует в статье для иллюстрации парадокса. Ранее он существовал в нескольких альтернативных формах в его работах и переписке, не всегда связанных с парикмахерской. Кэрролл описал его как иллюстрацию «весьма реальной трудности в теории гипотетических». [1] С точки зрения современной логики он рассматривается не столько как парадокс , сколько как простая логическая ошибка . Сейчас он представляет интерес в основном как эпизод в развитии алгебраических логических методов , когда они не были столь широко поняты (даже среди логиков), хотя проблема продолжает обсуждаться в связи с теориями импликации и модальной логики . [2]
В рассказе дядя Джо и дядя Джим идут в парикмахерскую. Они объясняют, что в парикмахерской живут и работают три парикмахера — Аллен, Браун и Карр — и некоторые из них или все могут быть там. Нам дают две информации, из которых можно сделать выводы. Во-первых, парикмахерская определенно открыта, поэтому по крайней мере один из парикмахеров должен быть там. Во-вторых, говорят, что Аллен очень нервный, поэтому он всегда берет с собой Брауна, куда бы он ни пошел.
Теперь, по словам дяди Джима, Карр очень хороший парикмахер, и он хочет знать, будет ли Карр там, чтобы побрить его. Дядя Джо настаивает, что Карр обязательно будет там, и утверждает, что может доказать это логически. Дядя Джим требует этого доказательства.
Дядя Джо приводит следующие аргументы:
Предположим, что Карр отсутствует. Мы покажем, что это предположение приводит к противоречию . Если Карр отсутствует, то мы знаем следующее: «Если Аллен отсутствует, то Браун присутствует», потому что должен быть кто-то «чтобы присматривать за магазином». Но мы также знаем, что всякий раз, когда Аллен выходит, он берет с собой Брауна, поэтому, как правило, «Если Аллен отсутствует, то Браун отсутствует». Два утверждения, к которым мы пришли, несовместимы, потому что если Аллен отсутствует, то Браун не может быть одновременно In (согласно одному) и Out (согласно другому). Возникает противоречие. Поэтому мы должны отказаться от нашей гипотезы, что Карр отсутствует, и заключить, что Карр должен быть in.
Дядя Джим отвечает, что этот вывод необоснован. Правильный вывод из несовместимости двух «гипотетических» утверждений заключается в том, что то, что в них выдвинуто (что Аллен отсутствует), должно быть ложным при нашем предположении, что Карр отсутствует. Тогда наша логика просто позволяет нам прийти к выводу «Если Карр отсутствует, то Аллен должен обязательно присутствовать».
Парадокс возник из-за разногласий между Кэрроллом и его коллегой из Оксфорда, профессором логики Уайкхэма Джоном Куком Уилсоном , у которых был давний антагонизм. Проблема также обсуждалась другими, с кем Кэрролл переписывался, и была рассмотрена в более поздних статьях, опубликованных Джоном Венном , Альфредом Сиджвиком и Бертраном Расселом среди прочих. Точка зрения Кука Уилсона представлена в рассказе персонажем Дядей Джо, который пытается доказать, что Карр всегда должен оставаться в магазине. Другие придерживались той же точки зрения, когда Кэрролл распространял свои частные печатные версии проблемы. Как заметил Кэрролл, «Я веду переписку примерно с дюжиной логиков по этому любопытному вопросу; и до сих пор мнения, по-видимому, разделились поровну относительно свободы С». [2] : 445-448
При чтении оригинала может быть полезно иметь в виду следующее:
Символы можно использовать для значительного упрощения логических утверждений, подобных тем, что присутствуют в этой истории:
Примечание: X ⇒ Y (также известное как «Импликация») может быть прочитано в английском языке по-разному , от «X достаточно для Y» до «Y следует из X» .
Чтобы помочь нам пересказать историю Кэрролла более просто, мы возьмем следующие элементарные утверждения :
Так, например, (¬A ∧ B) означает «Аллен выбыл, а Браун остался».
Дядя Джим дает нам две аксиомы:
Дядя Джо представляет доказательство:
Дядя Джо по сути утверждает, что (¬A ⇒ B) и (¬A ⇒ ¬B) противоречат друг другу, утверждая, что один и тот же антецедент не может привести к двум разным консеквентам.
Это предполагаемое противоречие является сутью «доказательства» Джо. Кэрролл представляет этот бросающий вызов интуиции результат как парадокс, надеясь, что современная двусмысленность будет разрешена.
В современной логической теории этот сценарий не является парадоксом. Закон импликации примиряет то, что Дядя Джо называет несовместимыми гипотезами. Этот закон гласит, что «если X, то Y» логически идентично «X ложно или Y истинно» (¬X ∨ Y). Например, если дано утверждение «если вы нажмете кнопку, то загорится свет», то в любой момент времени должно быть истинным, что либо вы не нажали кнопку, либо свет горит.
Короче говоря, получается не то, что ¬C приводит к противоречию, а то, что оно требует A, потому что ¬A — это то, что на самом деле приводит к противоречию.
В этом сценарии это означает, что Карру не обязательно быть в деле, но если его нет, то должен быть Аллен.
Применение закона импликации к нарушающим условным предложениям показывает, что вместо того, чтобы противоречить друг другу, одно из них просто повторяет тот факт, что, поскольку магазин открыт, один или несколько из Аллена, Брауна или Карра находятся внутри, а другое накладывает очень мало ограничений на то, кто может или не может находиться в магазине.
Чтобы увидеть это, давайте нападем на большой "противоречивый" результат Джима, в основном, применяя закон импликации повторно. Сначала давайте разберем одно из двух нарушающих условных предложений:
Подставляя это в
Что дает, при постоянном применении закона импликации,
И наконец, (справа мы распределяем по скобкам)
Итак, два утверждения, которые становятся истинными одновременно: «Один или более из Аллена, Брауна или Карра находятся внутри», что является просто Аксиомой 1, и «Карр находится внутри, или Аллен находится внутри, или Браун отсутствует». Очевидно, что один из способов, которым оба этих утверждения могут стать истинными одновременно, — это случай, когда Аллен находится внутри (потому что дом Аллена — парикмахерская, и в какой-то момент Браун покинул парикмахерскую).
Другой способ описать, как (X ⇒ Y) ⇔ (¬X ∨ Y) преобразует это в допустимый набор утверждений, — перефразировать утверждение Джима «Если Аллен также выбывает...» в «Если Карр выбывает и Аллен выбывает, то Браун остается» ((¬C ∧ ¬A) ⇒ B).
Эти два условных предложения не являются логическими противоположностями: чтобы доказать от противного, Джиму нужно было показать ¬C ⇒ (Z ∧ ¬Z), где Z является условным предложением.
Противоположностью (A ⇒ B) является ¬(A ⇒ B), что, используя закон Де Моргана , разрешается в (A ∧ ¬B), что совсем не то же самое, что (¬A ∨ ¬B), к которому сводится A ⇒ ¬B.
Эта путаница относительно «совместимости» этих двух условных предложений была предвидена Кэрроллом, который упоминает об этом в конце рассказа. Он пытается прояснить этот вопрос, утверждая, что протазис и аподозис импликации «Если Карр находится в ...» «неправильно разделены». Однако применение закона импликации полностью устраняет «Если ...» (сводя к дизъюнкциям), поэтому протазис и аподозис не существуют, и контраргумент не нужен.