Поведенческое моделирование

Поведенческий подход к теории систем и теории управления был инициирован в конце 1970-х годов Дж. К. Виллемсом в результате разрешения противоречий, присутствующих в классических подходах, основанных на пространстве состояний, передаточной функции и представлениях свертки. Этот подход также мотивирован целью получения общей структуры для системного анализа и управления, которая уважает базовую физику .

Главным объектом в поведенческой установке является поведение – набор всех сигналов, совместимых с системой. Важной особенностью поведенческого подхода является то, что он не различает приоритет между входными и выходными переменными. Помимо того, что он поместил теорию систем и управление на строгую основу, поведенческий подход объединил существующие подходы и принес новые результаты по управляемости для nD систем , управлению через взаимосвязь ^[1] и идентификации системы. ^[2]

Динамическая система как совокупность сигналов

В поведенческой обстановке динамическая система представляет собой тройку

${\displaystyle \Sigma =(\mathbb {T} ,\mathbb {W} ,{\mathcal {B}})}$

где

• ${\displaystyle \mathbb {T} \subseteq \mathbb {R} }$это «набор времени» – моменты времени, в течение которых система развивается,
• ${\displaystyle \mathbb {W} }$это «пространство сигналов» – множество, в котором переменные, чья временная эволюция моделируется, принимают свои значения, и
• ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \mathbb {W} ^{\mathbb {T} }}$«поведение» – набор сигналов, совместимых с законами системы

( обозначает множество всех сигналов, т.е. функций из в ). ${\displaystyle \mathbb {W} ^{\mathbb {T} }}$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle \mathbb {W} }$

${\displaystyle w\in {\mathcal {B}}}$означает, что является траекторией системы, в то время как означает, что законы системы запрещают траекторию . До моделирования явления каждый сигнал в считается возможным, в то время как после моделирования только результаты в остаются в качестве возможностей. ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle w\notin {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \mathbb {W} ^{\mathbb {T} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

Особые случаи:

• ${\displaystyle \mathbb {T} =\mathbb {R} }$– системы непрерывного времени
• ${\displaystyle \mathbb {T} =\mathbb {Z} }$– системы с дискретным временем
• ${\displaystyle \mathbb {W} =\mathbb {R} ^{q}}$– большинство физических систем
• ${\displaystyle \mathbb {W} }$конечное множество – дискретные системы событий

Линейные стационарные дифференциальные системы

Свойства системы определяются в терминах поведения. Система называется ${\displaystyle \Sigma =(\mathbb {T} ,\mathbb {W} ,{\mathcal {B}})}$

• «линейный», если — векторное пространство, а — линейное подпространство , ${\displaystyle \mathbb {W} }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \mathbb {W} ^{\mathbb {T} }}$
• «неизменный во времени», если набор времени состоит из действительных или натуральных чисел и

${\displaystyle \sigma ^{t}{\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {B}}}$для всех , ${\displaystyle t\in \mathbb {T} }$

где обозначает -сдвиг, определяемый как ${\displaystyle \sigma ^{t}}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle \sigma ^{t}(f)(t'):=f(t'+t)}$.

В этих определениях линейность выражает закон суперпозиции , в то время как инвариантность во времени выражает, что сдвиг во времени допустимой траектории в свою очередь является допустимой траекторией.

«Линейная стационарная дифференциальная система» — это динамическая система , поведение которой является множеством решений системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами , где — матрица полиномов с действительными коэффициентами. Коэффициенты являются параметрами модели. Чтобы определить соответствующее поведение, нам нужно указать, когда мы считаем сигнал решением . Для простоты изложения часто рассматриваются бесконечно дифференцируемые решения. Существуют и другие возможности, такие как принятие распределительных решений или решений в , и с обыкновенными дифференциальными уравнениями, интерпретируемыми в смысле распределений. Поведение определяется как ${\displaystyle \Sigma =(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{q},{\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle R(d/dt)w=0}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle w:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{q}}$ ${\displaystyle R(d/dt)w=0}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\rm {local}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{q})}$

${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{w\in {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{q})~|~R(d/dt)w(t)=0{\text{ for all }}t\in \mathbb {R} \}.}$

Этот конкретный способ представления системы называется «ядерным представлением» соответствующей динамической системы. Существует много других полезных представлений того же поведения, включая передаточную функцию, пространство состояний и свертку.

Для доступных источников относительно поведенческого подхода см . ^[3] . ^[4]

Наблюдаемость скрытых переменных

Ключевым вопросом поведенческого подхода является вопрос о том, можно ли вывести величину w1, имея наблюдаемую величину w2 и модель . Если w1 можно вывести, имея w2 и модель, то w2 называется наблюдаемой . В терминах математического моделирования выводимая величина или переменная часто называется скрытой переменной , а наблюдаемая переменная — явной переменной. Такая система тогда называется наблюдаемой (скрытой переменной) системой.

Ссылки

1. JC Willems О взаимосвязях, управлении и обратной связи IEEE Transactions on Automatic Control Volume 42, pages 326-339, 1997 Доступно онлайн http://homes.esat.kuleuven.be/~jwillems/Articles/JournalArticles/1997.4.pdf
2. I. Markovsky, JC Willems, B. De Moor и S. Van Huffel . Точное и приближенное моделирование линейных систем: поведенческий подход. Монография 13 в «Математическое моделирование и вычисления», SIAM, 2006. Доступно онлайн http://homepages.vub.ac.be/~imarkovs/siam-book.pdf Архивировано 2022-07-06 на Wayback Machine
3. J. Polderman и JC Willems. «Введение в математическую теорию систем и управления». Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1998, xxii + 434 стр. Доступно онлайн http://wwwhome.math.utwente.nl/~poldermanjw/onderwijs/DISC/mathmod/book.pdf.
4. JC Willems. Поведенческий подход к открытым и взаимосвязанным системам: моделирование путем разрыва, масштабирования и связывания. «Control Systems Magazine», 27:46–99, 2007. Доступно онлайн http://homes.esat.kuleuven.be/~jwillems/Articles/JournalArticles/2007.1.pdf.

Дополнительные источники

• Паоло Раписарда и Ян К. Виллемс, 2006. Последние разработки в теории поведенческих систем, 24–28 июля 2006 г., MTNS 2006, Киото, Япония
• JC Willems. Терминалы и порты. Журнал IEEE Circuits and Systems, том 10, выпуск 4, страницы 8–16, декабрь 2010 г.
• JC Willems и HL Trentelman. О квадратичных дифференциальных формах. Журнал SIAM по управлению и оптимизации, том 36, страницы 1702-1749, 1998
• JC Willems. Парадигмы и головоломки в теории динамических систем. IEEE Transactions on Automatic Control Volume 36, pages 259-294, 1991
• JC Willems. Модели динамики. Dynamics Reported Volume 2, pages 171-269, 1989