Эрланг (единица)

Измерение нагрузки в телекоммуникациях

Эрланг (символ E ^[1] ) — безразмерная единица , используемая в телефонии в качестве меры предлагаемой нагрузки или переносимой нагрузки на элементы, предоставляющие услуги, такие как телефонные линии или телефонное коммутационное оборудование. Цепь с одним шнуром имеет емкость, которую можно использовать в течение 60 минут в течение одного часа. Полное использование этой емкости, 60 минут трафика, составляет 1 эрланг. ^[2]

Переносимый трафик в эрлангах — это среднее число одновременных вызовов, измеренное за определенный период (часто один час), тогда как предлагаемый трафик — это трафик, который был бы передан, если бы все попытки вызова были успешными. То, сколько предлагаемого трафика передается на практике, будет зависеть от того, что происходит с неотвеченными вызовами, когда все серверы заняты.

В 1946 году CCITT назвал международную единицу телефонного трафика эрлангом в честь Агнера Крарупа Эрланга . ^{[3] [4]} В своем анализе эффективного использования телефонной линии Эрланг вывел формулы для двух важных случаев, Эрланг-B и Эрланг-C, которые стали основополагающими результатами в области проектирования телетрафика и теории очередей . Его результаты, которые используются и сегодня, связывают качество обслуживания с количеством доступных серверов. Обе формулы принимают предлагаемую нагрузку в качестве одного из основных входных данных (в эрлангах), которая часто выражается как скорость поступления вызовов, умноженная на среднюю продолжительность вызова.

Отличительным предположением формулы Эрланга B является то, что очереди нет, так что если все элементы обслуживания уже используются, то вновь поступивший вызов будет заблокирован и впоследствии потерян. Формула дает вероятность того, что это произойдет. Напротив, формула Эрланга C предусматривает возможность неограниченной очереди и дает вероятность того, что новому вызову придется ждать в очереди из-за того, что все серверы будут использоваться. Формулы Эрланга применяются довольно широко, но они могут не сработать, когда перегрузка особенно высока, заставляя неудачный трафик многократно повторять попытки. Одним из способов учета повторных попыток при отсутствии очереди является расширенный метод Эрланга B.

Измерения трафика телефонной линии

При использовании для представления передаваемого трафика значение (которое может быть нецелым числом, например 43,5), за которым следуют «эрланги», представляет собой среднее количество одновременных вызовов, передаваемых цепями (или другими элементами, предоставляющими услуги), где это среднее значение рассчитывается за некоторый разумный период времени. Период, за который рассчитывается среднее значение, часто составляет один час, но могут использоваться и более короткие периоды (например, 15 минут), когда известно, что существуют короткие всплески спроса, и желательно измерение трафика, которое не скрывает эти всплески. Один эрланг передаваемого трафика относится к одному ресурсу, находящемуся в непрерывном использовании, или двум каналам, каждый из которых используется пятьдесят процентов времени, и т. д. Например, если в офисе есть два телефонных оператора, которые оба заняты все время, это будет представлять два эрланга (2 E) трафика; или говорят, что радиоканал, который занят непрерывно в течение интересующего периода (например, одного часа), имеет нагрузку 1 эрланг.

При использовании для описания предлагаемого трафика значение, за которым следует «эрланг», представляет собой среднее количество одновременных вызовов, которые были бы переданы, если бы было неограниченное количество каналов (то есть, если бы попытки вызова, которые были сделаны, когда все каналы были в использовании, не были отклонены). Связь между предлагаемым трафиком и переданным трафиком зависит от конструкции системы и поведения пользователя. Три общие модели: (a) вызывающие абоненты, чьи попытки вызова были отклонены, уходят и никогда не возвращаются, (b) вызывающие абоненты, чьи попытки вызова были отклонены, пытаются снова в течение довольно короткого промежутка времени, и (c) система позволяет пользователям ждать в очереди, пока канал не станет доступным.

Третье измерение трафика — мгновенный трафик , выраженный в виде определенного числа эрлангов, что означает точное число вызовов, происходящих в определенный момент времени. В этом случае число является неотрицательным целым числом. Устройства регистрации уровня трафика, такие как самописцы с движущимся пером, записывают мгновенный трафик.

Анализ Эрланга

Концепции и математика, введенные Агнером Крарупом Эрлангом, имеют широкую применимость за пределами телефонии. Они применяются везде, где пользователи приходят более или менее случайным образом, чтобы получить эксклюзивную услугу от любого из группы элементов, предоставляющих услуги, без предварительного бронирования, например, когда элементами, предоставляющими услуги, являются окна продажи билетов, туалеты в самолете или номера в мотеле. (Модели Эрланга не применяются, когда элементы, предоставляющие услуги, совместно используются несколькими одновременными пользователями или разные объемы услуг потребляются разными пользователями, например, в цепях, передающих трафик данных.)

Цель теории трафика Эрланга — точно определить, сколько элементов, предоставляющих услуги, должно быть предоставлено для удовлетворения пользователей, без расточительного избыточного предоставления. Для этого устанавливается целевой показатель для уровня обслуживания (GoS) или качества обслуживания (QoS). Например, в системе, где нет очередей, GoS может быть таким, что не более 1 вызова из 100 блокируется (т. е. отклоняется) из-за того, что все каналы используются (GoS 0,01), что становится целевой вероятностью блокировки вызова, P _b , при использовании формулы Эрланга B.

Существует несколько результирующих формул, включая Erlang B, Erlang C и связанную с ней формулу Engset , основанные на различных моделях поведения пользователя и работы системы. Каждая из них может быть получена с помощью особого случая непрерывных марковских процессов, известных как процесс рождения–смерти . Более поздний метод Extended Erlang B обеспечивает дополнительное решение для трафика, которое опирается на результаты Erlang.

Расчет предлагаемого трафика

Предлагаемый трафик (в эрлангах) связан со скоростью поступления вызовов , λ , и средним временем удержания вызова (средним временем телефонного звонка), ч , следующим образом:

${\displaystyle E=\lambda h}$

при условии, что h и λ выражены с использованием одних и тех же единиц времени (секунд и вызовов в секунду или минут и вызовов в минуту).

Практическое измерение трафика обычно основано на непрерывных наблюдениях в течение нескольких дней или недель, в течение которых мгновенный трафик регистрируется через регулярные короткие интервалы (например, каждые несколько секунд). Затем эти измерения используются для расчета одного результата, чаще всего трафика в час пик (в эрлангах). Это среднее количество одновременных вызовов в течение заданного одночасового периода дня, где этот период выбирается для получения наивысшего результата. (Этот результат называется постоянным по времени трафиком в час пик). Альтернативой является расчет значения трафика в час пик отдельно для каждого дня (что может соответствовать немного разному времени каждый день) и взятие среднего значения этих значений. Это обычно дает немного более высокое значение, чем постоянное по времени значение в час пик.

Если существующий трафик в час пик, E _c , измеряется в уже перегруженной системе со значительным уровнем блокировки, необходимо учитывать заблокированные вызовы при оценке предлагаемого трафика в час пик E _o (который является значением трафика, которое будет использоваться в формулах Эрланга). Предлагаемый трафик можно оценить по формуле E _o = E _c /(1 −  P _b ). Для этой цели, когда система включает средства подсчета заблокированных вызовов и успешных вызовов, P _b можно оценить непосредственно из доли заблокированных вызовов. В противном случае P _b можно оценить, используя E _c вместо E _o в формуле Эрланга, и полученную оценку P _b затем можно использовать в E _o = E _c /(1 −  P _b ), чтобы предоставить первую оценку E _o .

Другой метод оценки E _o в перегруженной системе заключается в измерении скорости поступления вызовов в час пик, λ (с учетом успешных вызовов и заблокированных вызовов), а также среднего времени удержания вызова (для успешных вызовов), h , а затем в оценке E _o с использованием формулы E = λh .

Для ситуации, когда трафик, который нужно обработать, является совершенно новым трафиком, единственный выбор — попытаться смоделировать ожидаемое поведение пользователя. Например, можно оценить активную популяцию пользователей, N , ожидаемый уровень использования, U (количество звонков/транзакций на пользователя в день), фактор концентрации в час пик, C (доля ежедневной активности, которая приходится на час пик), и среднее время удержания/время обслуживания, h (выраженное в минутах). Прогноз предлагаемого трафика в час пик будет тогда E _o = ⁠НУЦ/60⁠ h  erlangs. (Деление на 60 переводит скорость поступления вызовов/транзакций в час пик в поминутное значение, чтобы соответствовать единицам, в которых выражается h .)

Формула Эрланга Б

Формула Эрланга B (или Эрланг-B с дефисом), также известная как формула потерь Эрланга , представляет собой формулу для вероятности блокировки , которая описывает вероятность потерь вызовов для группы идентичных параллельных ресурсов (телефонных линий, цепей, каналов трафика или эквивалента), иногда называемых очередью M/M/c/c . ^[5] Она, например, используется для измерения связей телефонной сети. Формула была выведена Агнером Крарупом Эрлангом и не ограничивается телефонными сетями, поскольку она описывает вероятность в системе очередей (хотя и в особом случае с несколькими серверами, но без места в очереди для входящих вызовов, ожидающих свободного сервера). Следовательно, формула также используется в некоторых системах инвентаризации с потерянными продажами.

Формула применяется при условии, что неуспешный вызов, вызванный занятостью линии, не ставится в очередь или не повторяется, а вместо этого действительно исчезает навсегда. Предполагается, что попытки вызова следуют процессу Пуассона , поэтому моменты поступления вызова независимы. Кроме того, предполагается, что длины сообщений (время удержания) распределены экспоненциально (марковская система), хотя формула оказывается применимой при общих распределениях времени удержания.

Формула Эрланга B предполагает бесконечную популяцию источников (например, телефонных абонентов), которые совместно предлагают трафик N серверам (например, телефонным линиям). Скорость, выражающая частоту поступления новых вызовов, λ (скорость рождения, интенсивность трафика и т. д.), постоянна и не зависит от количества активных источников. Общее количество источников предполагается бесконечным. Формула Эрланга B вычисляет вероятность блокировки системы с потерями без буфера, где запрос, который не обслуживается немедленно, отменяется, в результате чего ни один запрос не становится в очередь. Блокировка происходит, когда новый запрос поступает в то время, когда все доступные серверы в данный момент заняты. Формула также предполагает, что заблокированный трафик очищается и не возвращается.

Формула дает GoS ( уровень обслуживания ), который представляет собой вероятность P _b того, что новый вызов, поступающий в группу ресурсов, будет отклонен, поскольку все ресурсы (серверы, линии, каналы) заняты: B ( E , m ), где E — общий предлагаемый трафик в эрланге, предлагаемый m идентичным параллельным ресурсам (серверам, каналам связи, полосам движения).

${\displaystyle P_{b}=B(E,m)={\frac {\frac {E^{m}}{m!}}{\sum _{i=0}^{m}{\frac {E^{i}}{i!}}}}}$

где:

• ${\displaystyle P_{b}}$вероятность блокировки
• m — количество идентичных параллельных ресурсов, таких как серверы, телефонные линии и т. д.
• E = λh — нормализованная входная нагрузка (предлагаемый трафик, выраженный в эрлангах).

Примечание: Эрланг — это безразмерная единица нагрузки, рассчитываемая как средняя скорость поступления, λ, умноженная на среднее время удержания вызова, h . См. закон Литтла , чтобы доказать, что единица эрланга должна быть безразмерной, чтобы закон Литтла был разумным с размерной точки зрения.

Это можно выразить рекурсивно ^[6] следующим образом, в форме, которая используется для упрощения расчета таблиц формулы Эрланга B:

${\displaystyle B(E,0)=1.\,}$

${\displaystyle B(E,j)={\frac {EB(E,j-1)}{EB(E,j-1)+j}}\ \forall {j}=1,2,\ldots ,m.}$

Обычно вместо B ( E , m ) в численных вычислениях вычисляется обратная величина 1/ B ( E , m ) для обеспечения численной устойчивости :

${\displaystyle {\frac {1}{B(E,0)}}=1}$

${\displaystyle {\frac {1}{B(E,j)}}=1+{\frac {j}{E}}{\frac {1}{B(E,j-1)}}\ \forall {j}=1,2,\ldots ,m.}$

Функция ErlangB ( E как Double , m как Integer ) как Double Dim InvB как Double Dim j как Integer                  InvB = 1.0 Для j = 1 Для m InvB = 1.0 + InvB * j / E Следующий j ErlangB = 1.0 / InvB Конец функции                         

или версия Python

def  erlang_b ( E ,  m :  int )  ->  float : """Рассчитать вероятность потерь вызовов.""" inv_b = 1.0 для j в диапазоне ( 1 , m + 1 ): inv_b = 1.0 + inv_b * j / E return 1.0 / inv_b                        

Формула Эрланга B убывает и выпукла по m . ^[7] Она требует, чтобы входящие вызовы можно было смоделировать с помощью процесса Пуассона , что не всегда является хорошим соответствием, но справедливо для любого статистического распределения времени удержания вызова с конечным средним значением. Она применяется к системам передачи трафика, которые не буферизуют трафик. Более современными примерами по сравнению с POTS , где Эрланг B все еще применим, являются оптическая пакетная коммутация (OBS) и несколько современных подходов к оптической пакетной коммутации (OPS). Эрланг B был разработан как инструмент для определения размера канала для телефонных сетей со временем удержания в диапазоне минут, но, будучи математическим уравнением, он применим в любой временной шкале.

Расширенный Эрланг Б

Расширенный Erlang B отличается от классических предположений Erlang-B тем, что позволяет части заблокированных абонентов повторить попытку, что приводит к увеличению предлагаемого трафика по сравнению с исходным базовым уровнем. Это итеративный расчет, а не формула, и добавляет дополнительный параметр, фактор отзыва , который определяет попытки отзыва. ^[8] ${\displaystyle R_{f}}$

Этапы процесса следующие. ^[9] Он начинается с итерации с известным начальным базовым уровнем трафика , который последовательно корректируется для расчета последовательности новых предлагаемых значений трафика , каждое из которых учитывает отзывы, возникающие из ранее рассчитанного предлагаемого трафика . ${\displaystyle k=0}$ ${\displaystyle E_{0}}$ ${\displaystyle E_{k+1}}$ ${\displaystyle E_{k}}$

1. Рассчитайте вероятность блокировки звонящего при первой попытке.

${\displaystyle P_{b}=B(E_{k},m)\,}$

как указано выше для Эрланга B.

2. Рассчитайте вероятное количество заблокированных звонков.

${\displaystyle B_{e}=E_{k}P_{b}\,}$

3. Рассчитайте количество отзывов , предполагая фиксированный фактор отзыва, , ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R_{f}}$

${\displaystyle R=B_{e}R_{f}\,}$

4. Рассчитайте новый предлагаемый трафик

${\displaystyle E_{k+1}=E_{0}+R\,}$

где — начальный (базовый) уровень трафика. ${\displaystyle E_{0}}$

5. Вернитесь к шагу 1, заменив на , и повторяйте до тех пор, пока не будет получено стабильное значение . ${\displaystyle E_{k+1}}$ ${\displaystyle E_{k}}$ ${\displaystyle E}$

После того, как найдено удовлетворительное значение , вероятность блокировки и фактор отзыва можно использовать для расчета вероятности того, что все попытки звонящего будут потеряны, не только первый звонок, но и все последующие повторные попытки. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle P_{b}}$

Формула Эрланга С

Формула Erlang C выражает вероятность того, что прибывающему клиенту нужно будет встать в очередь (в отличие от немедленного обслуживания). ^[10] Так же, как и формула Erlang B, Erlang C предполагает бесконечную популяцию источников, которые совместно предлагают трафик эрлангов серверам . Однако, если все серверы заняты, когда запрос поступает от источника, запрос ставится в очередь. Таким образом, в очереди может одновременно находиться неограниченное количество запросов. Эта формула вычисляет вероятность постановки в очередь предлагаемого трафика, предполагая, что заблокированные вызовы остаются в системе до тех пор, пока их не удастся обработать. Эта формула используется для определения количества агентов или представителей службы поддержки клиентов, необходимых для укомплектования колл-центра , для указанной желаемой вероятности постановки в очередь. Однако формула Erlang C предполагает, что вызывающие абоненты никогда не вешают трубку, находясь в очереди, что позволяет формуле предсказывать, что следует использовать больше агентов, чем действительно необходимо для поддержания желаемого уровня обслуживания. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle P_{w}={{{\frac {E^{m}}{m!}}{\frac {m}{m-E}}} \over \left(\sum \limits _{i=0}^{m-1}{\frac {E^{i}}{i!}}\right)+{\frac {E^{m}}{m!}}{\frac {m}{m-E}}}\,}$

где:

• ${\displaystyle E}$общий объем трафика, предлагаемый в единицах эрлангов
• ${\displaystyle m}$это количество серверов
• ${\displaystyle P_{w}}$вероятность того, что клиенту придется ждать обслуживания.

Предполагается, что поступление вызовов можно смоделировать с помощью процесса Пуассона , а время удержания вызовов описывается экспоненциальным распределением , поэтому формула Эрланга C следует из предположений модели очереди M/M/c .

Ограничения формулы Эрланга

Когда Эрланг разработал уравнения трафика Эрланга-B и Эрланга-C, они были разработаны на основе ряда предположений. Эти предположения точны в большинстве условий; однако в случае чрезвычайно высокой загруженности трафика уравнения Эрланга не могут точно предсказать правильное количество требуемых контуров из-за повторного входящего трафика. Это называется системой с высокими потерями , где перегрузка порождает дальнейшую перегрузку в часы пик. В таких случаях сначала необходимо сделать доступными множество дополнительных контуров, чтобы можно было уменьшить высокие потери. После того, как это действие будет выполнено, перегрузка вернется к разумному уровню, и уравнения Эрланга затем можно будет использовать для определения того, сколько контуров действительно требуется. ^[11]

Примером случая, который может привести к развитию такой Системы с высокими потерями, может быть телевизионная реклама, объявляющая определенный номер телефона, по которому следует звонить в определенное время. В этом случае большое количество людей одновременно позвонит по указанному номеру. Если бы поставщик услуг не учел этот внезапный пиковый спрос, возникли бы экстремальные заторы на дорогах, и уравнения Эрланга нельзя было бы использовать. ^[11]

Смотрите также

• Спектральная эффективность системы (обсуждение емкости сотовой сети в Эрланге/МГц/сота)
• АК Эрланг
• Колл-центр
• Дискретно-событийное моделирование
• формула Энгсета
• язык программирования Эрланг
• распределение Эрланга
• Закон Литтла
• Распределение Пуассона
• Транспортная смесь

Ссылки

1. "How Many? A Dictionary of Units of Measurement". Архивировано из оригинала 2017-06-18 . Получено 2008-04-20 .
2. Фримен, Роджер Л. (2005). Основы телекоммуникаций . John Wiley. стр. 57. ISBN 978-0471710455.
3. «Трафик, обрабатываемый на одной цепи или группе цепей», CCIF - XIV Пленарная ассамблея , Монтрё, 26–31 октября: Международный консультативный комитет по телефонии, 1946, стр. 60–62, hdl : 11.1004/020.1000/4.237.43.en.1001{{citation}}: CS1 maint: location (link)
4. Брокмейер, Э.; Хальстрем, HL; Йенсен, Арне (1948), Жизнь и творчество А. К. Эрланга (PDF) , Труды Датской академии технических наук, том. 2, Akademiet for de Tekniske Videnskaber, заархивировано из оригинала (PDF) 19 июля 2011 г.^{: 19–22}
5. Аллен, Арнольд (1978). Вероятность, статистика и теория очередей: с приложениями в области компьютерных наук . Нью-Йорк: Academic Press. С. 184. ISBN 978-0120510504.
6. Гопин Цзэн (июнь 2003 г.), «Два общих свойства функции Эрланга-B, функции Эрланга-C и блокирующей функции Энгсета», Математическое и компьютерное моделирование , 37 (12–13), Elsevier Science: 1287–1296, doi : 10.1016/S0895-7177(03)90040-9
7. Мессерли, Э. Дж., 1972. «Доказательство свойства выпуклости формулы Эрланга B». Bell System Technical Journal 51, 951–953.
8. «Проектирование оптимальных сетей голосовой связи для предприятий, правительства и телефонных компаний» Дж. Джуэтта, Дж. Шраго, Б. Йомтова, TelCo Research, Чикаго, 1980.
9. Инаятулла, М., Улла, Ф.К., Хан., А.Н., «Автоматизированная система измерения качества обслуживания», IEEE—ICET 2006, 2-я Международная конференция по новым технологиям, Пешавар, Пакистан, 13–14 ноября 2006 г., стр. 230–237
10. Клейнрок, Леонард (1975). Системы массового обслуживания Том 1: Теория . стр. 103. ISBN 978-0471491101.
11. "Кеннеди И., Школа электротехники и информационной инженерии, Университет Витватерсранда, Личное общение". Архивировано из оригинала 2003-05-01 . Получено 2017-10-01 .

Дальнейшее чтение

• «Решение некоторых задач теории вероятностей значимости в автоматических телефонных станциях» (PDF) . Elektrotkeknikeren . 13 : 5. 1917. Архивировано из оригинала (PDF) 19 июля 2011 г.