Взрывается

Тип геометрического преобразования

Раздутие аффинной плоскости.

В математике , раздувание или раздувание — это тип геометрического преобразования, который заменяет подпространство данного пространства пространством всех направлений, указывающих из этого подпространства. Например, раздувание точки на плоскости заменяет точку проективизированным касательным пространством в этой точке. Метафора заключается в увеличении масштаба фотографии для увеличения части изображения, а не в отсылке к взрыву . Обратная операция называется раздуванием .

Раздутия являются наиболее фундаментальным преобразованием в бирациональной геометрии , поскольку каждый бирациональный морфизм между проективными многообразиями является раздутием. Теорема слабой факторизации гласит, что каждое бирациональное отображение может быть факторизовано как композиция особенно простых раздутий. Группа Кремоны , группа бирациональных автоморфизмов плоскости, порождается раздутиями.

Помимо их важности в описании бирациональных преобразований, раздутия также являются важным способом построения новых пространств. Например, большинство процедур разрешения сингулярностей осуществляются путем раздутия сингулярностей до тех пор, пока они не станут гладкими. Следствием этого является то, что раздутия могут использоваться для разрешения сингулярностей бирациональных отображений.

Классически, раздутия определялись внешне, сначала определяя раздутие в пространствах, таких как проективное пространство, с помощью явной конструкции в координатах, а затем определяя раздутия в других пространствах в терминах вложения. Это отражено в некоторой терминологии, такой как классический термин моноидальное преобразование . Современная алгебраическая геометрия рассматривает раздутие как внутреннюю операцию на алгебраическом многообразии. С этой точки зрения раздутие является универсальным (в смысле теории категорий ) способом превратить подмногообразие в дивизор Картье .

Раздутие также можно назвать моноидальным преобразованием , локально квадратичным преобразованием , дилатацией , σ- процессом или отображением Хопфа .

Раздутие точки на плоскости

Простейшим случаем взрыва является взрыв точки на плоскости. Большинство общих черт взрыва можно увидеть в этом примере.

Раздутие имеет синтетическое описание как соответствие инцидентности. Напомним, что грассманиан параметризует множество всех прямых, проходящих через точку на плоскости. Раздутие проективной плоскости в точке , которую мы обозначим , есть ${\displaystyle \mathbf {Gr} (1,2)}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle X=\{(Q,\ell )\mid P,\,Q\in \ell \}\subseteq \mathbf {P} ^{2}\times \mathbf {Gr} (1,2).}$

Здесь обозначает другую точку в и является элементом грассманиана. является проективным многообразием, поскольку является замкнутым подмногообразием произведения проективных многообразий. Он поставляется с естественным морфизмом в , который переводит пару в . Этот морфизм является изоморфизмом на открытом подмножестве всех точек с , поскольку прямая определяется этими двумя точками. Однако, когда , прямой может быть любая прямая, проходящая через . Эти прямые соответствуют пространству направлений через , которое изоморфно . Это называется исключительным дивизором , и по определению это проективизированное нормальное пространство в . Поскольку является точкой, нормальное пространство совпадает с касательным пространством, поэтому исключительный дивизор изоморфен проективизированному касательному пространству в . ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$ ${\displaystyle (Q,\ell )}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle (Q,\ell )\in X}$ ${\displaystyle Q\neq P}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle Q=P}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$

Чтобы задать координаты на раздутии, мы можем записать уравнения для вышеуказанного соответствия инцидентности. Дайте однородные координаты , в которых находится точка . По проективной двойственности , изоморфно , поэтому мы можем задать ему однородные координаты . Прямая — это множество всех таких, что . Следовательно, раздутие можно описать как ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$ ${\displaystyle [X_{0}:X_{1}:X_{2}]}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle [P_{0}:P_{1}:P_{2}]}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (1,2)}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$ ${\displaystyle [L_{0}:L_{1}:L_{2}]}$ ${\displaystyle \ell _{0}=[L_{0}:L_{1}:L_{2}]}$ ${\displaystyle [X_{0}:X_{1}:X_{2}]}$ ${\displaystyle X_{0}L_{0}+X_{1}L_{1}+X_{2}L_{2}=0}$

${\displaystyle X={\bigl \{}{\bigl (}[X_{0}:X_{1}:X_{2}],[L_{0}:L_{1}:L_{2}]{\bigr )}\mid P_{0}L_{0}+P_{1}L_{1}+P_{2}L_{2}=0,\,X_{0}L_{0}+X_{1}L_{1}+X_{2}L_{2}=0{\bigr \}}\subseteq \mathbf {P} ^{2}\times \mathbf {P} ^{2}.}$

Раздутие является изоморфизмом от , и, работая в аффинной плоскости вместо проективной, мы можем дать более простые уравнения для раздутия. После проективного преобразования мы можем предположить, что . Запишем и для координат на аффинной плоскости . Условие подразумевает, что , поэтому мы можем заменить грассманиан на . Тогда раздутие является многообразием ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P=[0:0:1]}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \{X_{2}\neq 0\}}$ ${\displaystyle P\in \ell }$ ${\displaystyle L_{2}=0}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}}$

${\displaystyle {\bigl \{}{\bigl (}(x,y),[z:w]{\bigr )}\mid xz+yw=0{\bigr \}}\subseteq \mathbf {A} ^{2}\times \mathbf {P} ^{1}.}$

Чаще всего координаты меняют так, чтобы поменять один из знаков. Тогда раздутие можно записать как

${\displaystyle \left\{{\bigl (}(x,y),[z:w]{\bigr )}\mid \det {\begin{bmatrix}x&y\\w&z\end{bmatrix}}=0\right\}.}$

Это уравнение легче обобщить, чем предыдущее.

Раздутие можно легко визуализировать, если удалить точку бесконечности грассманиана, например, установив , и получить стандартную седловую поверхность в трехмерном пространстве. ${\displaystyle w=1}$ ${\displaystyle y=xz}$

Раздутие также можно описать, напрямую используя координаты в нормальном пространстве к точке. Снова мы работаем на аффинной плоскости . Нормальное пространство к началу координат — это векторное пространство , где — максимальный идеал начала координат. Алгебраически проективизация этого векторного пространства — это Proj его симметричной алгебры, то есть, ${\displaystyle \mathbf {A} ^{2}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}=(x,y)}$

${\displaystyle X=\operatorname {Proj} \bigoplus _{r=0}^{\infty }\operatorname {Sym} _{k[x,y]}^{r}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}.}$

В этом примере это имеет конкретное описание:

${\displaystyle X=\operatorname {Proj} k[x,y][z,w]/(xz-yw),}$

где и имеют степень 0, а и имеют степень 1. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle w}$

Над действительными или комплексными числами раздутие имеет топологическое описание как связанная сумма . Предположим, что является началом координат в , и запишем для линии на бесконечности. имеет отображение инверсии , которое отправляет в . является инверсией окружности относительно единичной сферы : Оно фиксирует , сохраняет каждую линию через начало координат и меняет внутреннюю часть сферы с внешней. расширяется до непрерывного отображения , отправляя линию на бесконечности в начало координат. Это расширение, которое мы также обозначаем , можно использовать для построения раздутия. Пусть обозначает дополнение единичного шара. Раздутие является многообразием, полученным путем присоединения двух копий вдоль . поставляется с отображением, к которому является тождеством на первой копии и на второй копии . Это отображение является изоморфизмом вдали от , а волокно над является линией на бесконечности во второй копии . Каждая точка в этой линии соответствует уникальной линии, проходящей через начало координат, поэтому волокно над соответствует возможным нормальным направлениям через начало координат. ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}\#\mathbf {P} ^{2}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mathbf {A} ^{2}\subseteq \mathbf {P} ^{2}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \mathbf {A} ^{2}\backslash \{0\}}$ ${\displaystyle {t}}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle \left({\frac {x}{\vert x\vert ^{2}+\vert y\vert ^{2}}},{\frac {y}{\vert x\vert ^{2}+\vert y\vert ^{2}}}\right)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}\backslash \{0\}\to \mathbf {A} ^{2}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \pi }$

Для этого процесса должно получиться ориентированное многообразие. Чтобы это произошло, двум копиям следует придать противоположные ориентации. В символах это , где это с противоположной стандартной ориентацией. ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{2}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{2}\#{\overline {\mathbf {CP} ^{2}}}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbf {CP} ^{2}}}}$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{2}}$

Разрушение точек в сложном пространстве

Пусть Z будет началом координат в n -мерном комплексном пространстве C ⁿ . То есть, Z является точкой, в которой n координатных функций одновременно обращаются в нуль. Пусть P ^{n - 1} будет ( n - 1)-мерным комплексным проективным пространством с однородными координатами . Пусть будет подмножеством C ⁿ × P ^{n - 1} , которое одновременно удовлетворяет уравнениям для i, j = 1, ..., n . Проекция ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}}$ ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {C} ^{n}}}}$ ${\displaystyle x_{i}y_{j}=x_{j}y_{i}}$

${\displaystyle \pi :\mathbf {C} ^{n}\times \mathbf {P} ^{n-1}\to \mathbf {C} ^{n}}$

естественно индуцирует голоморфное отображение

${\displaystyle \pi :{\tilde {\mathbf {C} ^{n}}}\to \mathbf {C} ^{n}.}$

Это отображение π (или, часто, пространство ) называется раздутием (по-разному пишется как «раздутие» или «раздутие ») пространства C ⁿ . ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {C} ^{n}}}}$

Исключительный дивизор E определяется как обратный образ раздутого локуса Z под π. Легко видеть, что

${\displaystyle E=Z\times \mathbf {P} ^{n-1}\subseteq \mathbf {C} ^{n}\times \mathbf {P} ^{n-1}}$

является копией проективного пространства. Это эффективный дивизор . Вдали от E , π является изоморфизмом между и C ⁿ \ Z ; это бирациональное отображение между и C ⁿ . ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {C} ^{n}}}\setminus E}$ ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {C} ^{n}}}}$

Если вместо этого мы рассмотрим голоморфную проекцию

${\displaystyle q\colon {\tilde {\mathbf {C} ^{n}}}\to \mathbf {P} ^{n-1}}$

мы получаем тавтологическое линейное расслоение и можем отождествить исключительный дивизор с его нулевым сечением, а именно , которое присваивает каждой точке нулевой элемент в слое над . ${\displaystyle \mathbf {P} ^{n-1}}$ ${\displaystyle \lbrace Z\rbrace \times \mathbf {P} ^{n-1}}$ ${\displaystyle \mathbf {0} \colon \mathbf {P} ^{n-1}\to {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{n-1}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbf {0} _{p}}$ ${\displaystyle p}$

Раздутие подмногообразий в комплексных многообразиях

В более общем случае можно взорвать любое комплексное подмногообразие Z коразмерности k в C ⁿ . Предположим, что Z — геометрическое место уравнений , и пусть — однородные координаты на P ^{k - 1} . Тогда раздутие — это геометрическое место уравнений для всех i и j в пространстве C ⁿ × P ^{k - 1} . ${\displaystyle x_{1}=\cdots =x_{k}=0}$ ${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{k}}$ ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {C} }}^{n}}$ ${\displaystyle x_{i}y_{j}=x_{j}y_{i}}$

В более общем случае можно взорвать любое подмногообразие любого комплексного многообразия X, применив эту конструкцию локально. Эффект, как и прежде, заключается в замене локуса раздутия Z исключительным дивизором E . Другими словами, отображение раздутия

${\displaystyle \pi :{\tilde {X}}\to X}$

является бирациональным отображением, которое вдали от E индуцирует изоморфизм, а на E — локально тривиальное расслоение со слоем P ^{k - 1} . Действительно, ограничение естественным образом рассматривается как проективизация нормального расслоения Z в X . ${\displaystyle \pi |_{E}:E\to Z}$

Так как E — гладкий дивизор, его нормальное расслоение является линейным расслоением . Нетрудно показать, что E пересекает себя отрицательно. Это означает, что его нормальное расслоение не имеет голоморфных сечений; E — единственный гладкий комплексный представитель своего класса гомологии в . (Предположим, что E можно было бы возмутить с себя до другого комплексного подмногообразия в том же классе. Тогда два подмногообразия пересеклись бы положительно — как это всегда делают комплексные подмногообразия — что противоречит отрицательному самопересечению E .) Вот почему дивизор называется исключительным. ${\displaystyle {\tilde {X}}}$

Пусть V — некоторое подмногообразие X , отличное от Z . Если V не пересекается с Z , то оно по существу не затрагивается раздутием вдоль Z . Однако, если оно пересекает Z , то в раздутии есть два различных аналога V . Один — это собственное (или строгое ) преобразование , которое является замыканием ; его нормальное расслоение в обычно отличается от такового у V в X . Другой — это полное преобразование , которое включает в себя часть или все E ; по сути это обратный путь V в когомологиях . ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(V\setminus Z)}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}}$

Взрывая схемы

Чтобы рассмотреть раздутие в наибольшей общности, пусть X будет схемой , и пусть будет когерентным пучком идеалов на X. Раздутие X относительно является схемой вместе с морфизмом ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}}$

${\displaystyle \pi \colon {\tilde {X}}\rightarrow X}$

такой, что является обратимым пучком , характеризующимся следующим универсальным свойством : для любого морфизма f : Y → X такого, что является обратимым пучком, f однозначно пропускается через π. ${\displaystyle \pi ^{-1}{\mathcal {I}}\cdot {\mathcal {O}}_{\tilde {X}}}$ ${\displaystyle f^{-1}{\mathcal {I}}\cdot {\mathcal {O}}_{Y}}$

Обратите внимание, что

${\displaystyle {\tilde {X}}=\mathbf {Proj} \bigoplus _{n=0}^{\infty }{\mathcal {I}}^{n}}$

обладает этим свойством; так строится раздутие. Здесь Proj — это конструкция Proj на градуированных пучках коммутативных колец .

Исключительные делители

Исключительный дивизор раздутия — это подсхема, определяемая обратным образом пучка идеалов , который иногда обозначается . Из определения раздутия в терминах Proj следует, что эта подсхема E определяется пучком идеалов . Этот пучок идеалов также является относительным для π. ${\displaystyle \pi :\operatorname {Bl} _{\mathcal {I}}X\to X}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}{\mathcal {I}}\cdot {\mathcal {O}}_{\operatorname {Bl} _{\mathcal {I}}X}}$ ${\displaystyle \textstyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }{\mathcal {I}}^{n+1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$

π является изоморфизмом вне исключительного дивизора, но исключительный дивизор не обязательно должен находиться в исключительном локусе π. То есть π может быть изоморфизмом на E . Это происходит, например, в тривиальной ситуации, когда уже является обратимым пучком. В частности, в таких случаях морфизм π не определяет исключительный дивизор. Другая ситуация, когда исключительное локус может быть строго меньше исключительного дивизора, — это когда X имеет особенности. Например, пусть X — аффинный конус над P ¹ × P ¹ . X можно задать как исчезающее локус xw − yz в A ⁴ . Идеалы ( x , y ) и ( x , z ) определяют две плоскости, каждая из которых проходит через вершину X . Вне вершины эти плоскости являются гиперповерхностями в X , поэтому раздутие является там изоморфизмом. Исключительное геометрическое место раздутия любой из этих плоскостей, таким образом, центрировано над вершиной конуса и, следовательно, оно строго меньше исключительного делителя. ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$

Дополнительные примеры

Раздутия линейных подпространств

Пусть будет n -мерным проективным пространством. Зафиксируем линейное подпространство L коразмерности d . Существует несколько явных способов описания взрыва вдоль L . Предположим, что имеет координаты . После изменения координат можно предположить, что . Взрыв может быть вложен в . Пусть будет координатами на втором множителе. Поскольку L определяется регулярной последовательностью, взрыв определяется обращением в нуль миноров два на два матрицы Эта система уравнений эквивалентна утверждению, что две строки линейно зависимы. Точка находится в L тогда и только тогда, когда при подстановке ее координат в первую строку матрицы выше эта строка равна нулю. В этом случае на Q нет никаких условий . Однако если эта строка ненулевая, то линейная зависимость подразумевает, что вторая строка является скалярным кратным первой и, следовательно, что существует единственная точка, такая что находится в взрыве. ${\displaystyle \mathbf {P} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{n}}$ ${\displaystyle X_{0},\dots ,X_{n}}$ ${\displaystyle L=\{X_{n-d+1}=\dots =X_{n}=0\}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{n}\times \mathbf {P} ^{n-d}}$ ${\displaystyle Y_{0},\dots ,Y_{n-d}}$ $${\displaystyle {\begin{pmatrix}X_{0}&\cdots &X_{n-d}\\Y_{0}&\cdots &Y_{n-d}\end{pmatrix}}.}$$ ${\displaystyle P\in \mathbf {P} ^{n}}$ ${\displaystyle Q\in \mathbf {P} ^{n-d}}$ ${\displaystyle (P,Q)}$

Этому раздутию также можно дать синтетическое описание как соответствие инцидентности , где обозначает грассманиан -мерных подпространств в . Чтобы увидеть связь с предыдущей координатизацией, заметим, что множество всех , содержащих L , изоморфно проективному пространству . Это происходит потому, что каждое подпространство M является линейным соединением L и точки Q , не лежащей в L , и две точки Q и Q' определяют одно и то же M тогда и только тогда, когда они имеют один и тот же образ при проекции от L . Следовательно, грассманиан можно заменить копией . Когда , существует только одно подпространство M , содержащее P , линейное соединение P и L . В координатах выше это тот случай, когда не является нулевым вектором. Случай соответствует тому, что является нулевым вектором, и в этом случае допускается любой Q , то есть возможен любой M, содержащий L . $${\displaystyle \{(P,M)\colon P\in M,\,L\subseteq M\}\subseteq \mathbf {P} ^{n}\times \operatorname {Gr} (n,n-d+1),}$$ ${\displaystyle \operatorname {Gr} }$ ${\displaystyle (n-d+1)}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{n}}$ ${\displaystyle M\in \operatorname {Gr} (n,n-d+1)}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{n-d}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{n-d}}$ ${\displaystyle P\not \in L}$ ${\displaystyle (X_{0},\dots ,X_{n-d})}$ ${\displaystyle P\in L}$ ${\displaystyle (X_{0},\dots ,X_{n-d})}$

Разрыв пересечений кривых схема-теоретически

Пусть будут общими однородными многочленами степени (имея в виду, что их связанные проективные многообразия пересекаются в точках по теореме Безу ). Следующий проективный морфизм схем дает модель взрыва в точках: Рассмотрение волокон объясняет, почему это верно: если мы возьмем точку , то диаграмма обратного протягивания скажет нам, что волокно является точкой всякий раз, когда или , и волокно является , если . ${\displaystyle f,g\in \mathbb {C} [x,y,z]}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$ ${\displaystyle d^{2}}$ $${\displaystyle {\begin{matrix}{\textbf {Proj}}\left({\dfrac {\mathbb {C} [s,t][x,y,z]}{(sf(x,y,z)+tg(x,y,z))}}\right)\\\downarrow \\{\textbf {Proj}}(\mathbb {C} [x,y,z])\end{matrix}}}$$ ${\displaystyle p=[x_{0}:x_{1}:x_{2}]}$ $${\displaystyle {\begin{matrix}{\textbf {Proj}}\left({\dfrac {\mathbb {C} [s,t]}{sf(p)+tg(p)}}\right)&\rightarrow &{\textbf {Proj}}\left({\dfrac {\mathbb {C} [s,t][x,y,z]}{(sf(x,y,z)+tg(x,y,z))}}\right)\\\downarrow &&\downarrow \\{\textbf {Spec}}(\mathbb {C} )&{\xrightarrow {[x_{0}:x_{1}:x_{2}]}}&{\textbf {Proj}}(\mathbb {C} [x,y,z])\end{matrix}}}$$ ${\displaystyle f(p)\neq 0}$ ${\displaystyle g(p)\neq 0}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle f(p)=g(p)=0}$

Связанные конструкции

В описанном выше раздутии C ⁿ не было ничего существенного в использовании комплексных чисел; раздутия могут быть выполнены над любым полем . Например, действительное раздутие R ² в начале координат приводит к ленте Мёбиуса ; соответственно, раздутие двусферы S ² приводит к действительной проективной плоскости .

Деформация к нормальному конусу — это метод раздутия, используемый для доказательства многих результатов в алгебраической геометрии. Если даны схема X и замкнутая подсхема V , раздувается

${\displaystyle V\times \{0\}\ {\text{in}}\ Y=X\times \mathbf {C} \ {\text{or}}\ X\times \mathbf {P} ^{1}}$

Затем

${\displaystyle {\tilde {Y}}\to \mathbf {C} }$

является расслоением. Общий слой естественно изоморфен X , тогда как центральный слой является объединением двух схем: одна — раздутие X вдоль V , а другая — нормальный конус V со слоями, дополненными до проективных пространств .

Раздутия также могут быть выполнены в симплектической категории, путем наделения симплектического многообразия совместимой почти комплексной структурой и выполнения комплексного раздутия. Это имеет смысл на чисто топологическом уровне; однако наделение раздутия симплектической формой требует некоторой осторожности, поскольку нельзя произвольно расширить симплектическую форму на исключительный дивизор E . Необходимо изменить симплектическую форму в окрестности E , или выполнить раздутие, вырезав окрестность Z и схлопнув границу четко определенным образом. Это лучше всего понять, используя формализм симплектического разрезания , частным случаем которого является симплектическое раздутие. Симплектическое разрезание вместе с обратной операцией симплектического суммирования является симплектическим аналогом деформации нормального конуса вдоль гладкого дивизора.

Смотрите также

• Бесконечно близкая точка
• Разрешение сингулярностей

Ссылки

• Фултон, Уильям (1998). Теория пересечений . Springer-Verlag. ISBN 0-387-98549-2.
• Гриффитс, Филлип; Харрис, Джозеф (1978). Принципы алгебраической геометрии . John Wiley & Sons. ISBN 0-471-32792-1.
• Хартшорн, Робин (1977). Алгебраическая геометрия . Springer-Verlag. ISBN 0-387-90244-9.
• Макдафф, Дуса; Саламон, Дитмар (1998). Введение в симплектическую топологию . Oxford University Press. ISBN 0-19-850451-9.