Участок Боде

График частотной характеристики системы управления

Рисунок 1A: Фильтр верхних частот (1-го порядка, однополюсный) График амплитуды Боде (вверху) и график фазы Боде (внизу). Красная кривая данных аппроксимирована прямой черной линией.

Рисунок 1B: Фильтр нижних частот (1-го порядка, однополюсный) График амплитуды Боде (вверху) и график фазы Боде (внизу). Красная кривая данных аппроксимирована прямой черной линией.

В электротехнике и теории управления , график Боде ( / ˈ b oʊ d i / BOH -dee ) представляет собой график частотной характеристики системы. Обычно это комбинация графика Боде амплитуды , выражающего величину (обычно в децибелах ) частотной характеристики, и графика Боде фазы , выражающего сдвиг фазы .

Первоначально задуманный Хендриком Уэйдом Боде в 1930-х годах, график представляет собой асимптотическую аппроксимацию частотной характеристики с использованием прямолинейных сегментов . ^[1]

Обзор

Среди его нескольких важных вкладов в теорию цепей и теорию управления , инженер Хендрик Уэйд Боде , работая в Bell Labs в 1930-х годах, разработал простой, но точный метод построения графиков усиления и фазового сдвига. Они носят его имя, Bode gain plot и Bode phase plot . «Bode» часто произносится как / ˈ b oʊ d i / BOH -dee , хотя голландское произношение — [ˈboːdə] , что ближе к английскому / ˈ b oʊ d ə / BOH -də . ^{[2] [3]}

Боде столкнулся с проблемой проектирования стабильных усилителей с обратной связью для использования в телефонных сетях. Он разработал графический метод проектирования диаграмм Боде, чтобы показать запас по усилению и запас по фазе, необходимые для поддержания стабильности при изменениях характеристик схемы, вызванных в процессе производства или эксплуатации. ^[4] Разработанные принципы были применены к задачам проектирования сервомеханизмов и других систем управления с обратной связью. Диаграмма Боде является примером анализа в частотной области .

Определение

График Боде для линейной, постоянной во времени системы с передаточной функцией ( комплексной частотой в области Лапласа ) состоит из графика амплитуды и графика фазы. ${\displaystyle H(s)}$ ${\displaystyle s}$

График амплитуды Боде представляет собой график функции частоты ( где мнимая единица ). Ось амплитуды графика является логарифмической, а амплитуда дается в децибелах , т. е. значение амплитуды откладывается на оси при . ${\displaystyle |H(s=j\omega )|}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle |H|}$ ${\displaystyle 20\log _{10}|H|}$

Фазовый график Боде — это график фазы , обычно выражаемой в градусах, передаточной функции как функции . Фаза отображается на той же логарифмической оси, что и график амплитуды, но значение фазы отображается на линейной вертикальной оси. ${\displaystyle \arg \left(H(s=j\omega )\right)}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$

Частотная характеристика

В этом разделе показано, что график Боде представляет собой визуализацию частотной характеристики системы.

Рассмотрим линейную, не зависящую от времени систему с передаточной функцией . Предположим, что система подвергается синусоидальному входному сигналу с частотой , ${\displaystyle H(s)}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle u(t)=\sin(\omega t),}$

который применяется постоянно, т.е. время от времени . Ответ будет иметь вид ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle y(t)=y_{0}\sin(\omega t+\varphi ),}$

т. е. также синусоидальный сигнал с амплитудой, сдвинутой по фазе относительно входного. ${\displaystyle y_{0}}$ ${\displaystyle \varphi }$

Можно показать ^[5] , что величина отклика равна

и что сдвиг фаз равен

Подводя итог, можно сказать, что при воздействии на вход с частотой система реагирует на той же частоте выходным сигналом, который усиливается на коэффициент и сдвинут по фазе на . Таким образом, эти величины характеризуют частотную характеристику и показаны на графике Боде. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle |H(\mathrm {j} \omega )|}$ ${\displaystyle \arg H(\mathrm {j} \omega )}$

Правила для ручного построения графика Боде

Для многих практических задач подробные графики Боде можно аппроксимировать прямолинейными сегментами, которые являются асимптотами точного отклика. Эффект каждого из членов многоэлементной передаточной функции можно аппроксимировать набором прямых линий на графике Боде. Это позволяет получить графическое решение общей функции частотного отклика. До широкого распространения цифровых компьютеров графические методы широко использовались для уменьшения необходимости в утомительных вычислениях; графическое решение можно было использовать для определения допустимых диапазонов параметров для новой конструкции.

Предпосылка графика Боде заключается в том, что можно рассматривать логарифм функции в форме

${\displaystyle f(x)=A\prod (x-c_{n})^{a_{n}}}$

как сумма логарифмов его нулей и полюсов :

${\displaystyle \log(f(x))=\log(A)+\sum a_{n}\log(x-c_{n}).}$

Эта идея явно используется в методе построения фазовых диаграмм. Метод построения амплитудных графиков неявно использует эту идею, но поскольку логарифм амплитуды каждого полюса или нуля всегда начинается с нуля и имеет только одно изменение асимптоты (прямые линии), метод можно упростить.

График амплитуды прямой линии

Амплитуда децибелов обычно делается с помощью определения децибелов. При заданной передаточной функции в виде ${\displaystyle {\text{dB}}=20\log _{10}(X)}$

${\displaystyle H(s)=A\prod {\frac {(s-x_{n})^{a_{n}}}{(s-y_{n})^{b_{n}}}},}$

где и — константы, , , а — передаточная функция: ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle y_{n}}$ ${\displaystyle s=\mathrm {j} \omega }$ ${\displaystyle a_{n},b_{n}>0}$ ${\displaystyle H}$

• При каждом значении s , где (ноль), увеличивайте наклон линии на декаду . ${\displaystyle \omega =x_{n}}$ ${\displaystyle 20a_{n}\ {\text{dB}}}$
• При каждом значении s ( полюс ) уменьшаем наклон линии на декаду. ${\displaystyle \omega =y_{n}}$ ${\displaystyle 20b_{n}\ {\text{dB}}}$
• Начальное значение графика зависит от границ. Начальная точка находится путем подстановки начальной угловой частоты в функцию и нахождения . ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle |H(\mathrm {j} \omega )|}$
• Начальный наклон функции при начальном значении зависит от количества и порядка нулей и полюсов, находящихся при значениях ниже начального значения, и находится с использованием первых двух правил.

Для обработки неприводимых полиномов 2-го порядка во многих случаях можно использовать аппроксимацию . ${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$ ${\displaystyle ({\sqrt {a}}x+{\sqrt {c}})^{2}}$

Обратите внимание, что нули и полюса возникают, когда равно определенному или . Это происходит потому, что рассматриваемая функция является величиной , и поскольку это сложная функция, . Таким образом, в любом месте, где есть ноль или полюс, включающий член , величина этого члена равна . ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle y_{n}}$ ${\displaystyle H(\mathrm {j} \omega )}$ ${\displaystyle |H(\mathrm {j} \omega )|={\sqrt {H\cdot H^{*}}}}$ ${\displaystyle (s+x_{n})}$ ${\displaystyle {\sqrt {(x_{n}+\mathrm {j} \omega )(x_{n}-\mathrm {j} \omega )}}={\sqrt {x_{n}^{2}+\omega ^{2}}}}$

График скорректированной амплитуды

Чтобы исправить прямолинейный график амплитуды:

• На каждом нуле поставьте точку над чертой. ${\displaystyle 3a_{n}\ {\text{dB}}}$
• На каждом столбе поставьте точку под линией. ${\displaystyle 3b_{n}\ {\text{dB}}}$
• Проведите плавную кривую через эти точки, используя прямые линии в качестве асимптот (линий, к которым приближается кривая).

Обратите внимание, что этот метод коррекции не учитывает, как обрабатывать комплексные значения или . В случае неприводимого полинома лучший способ исправить график — это фактически вычислить величину передаточной функции в полюсе или нуле, соответствующем неприводимому полиному, и поставить эту точку над или под линией в этом полюсе или нуле. ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle y_{n}}$

Фазовый график в виде прямой линии

Учитывая передаточную функцию в той же форме, что и выше,

${\displaystyle H(s)=A\prod {\frac {(s-x_{n})^{a_{n}}}{(s-y_{n})^{b_{n}}}},}$

Идея состоит в том, чтобы нарисовать отдельные графики для каждого полюса и нуля, а затем сложить их. Фактическая фазовая кривая задается как

${\displaystyle \varphi (s)=-\arctan {\frac {\operatorname {Im} [H(s)]}{\operatorname {Re} [H(s)]}}.}$

Чтобы нарисовать фазовый график для каждого полюса и нуля:

• Если положительно, начните линию (с нулевым наклоном) под углом 0°. ${\displaystyle A}$
• Если отрицательно, начните линию (с нулевым наклоном) при −180°. ${\displaystyle A}$
• Если сумма числа нестабильных нулей и полюсов нечетная, прибавьте к этому основанию 180°.
• В каждом (для стабильных нулей ) увеличивайте наклон на градусы за десятилетие, начиная за одно десятилетие до этого (например, ). ${\displaystyle \omega =|x_{n}|}$ ${\displaystyle -\operatorname {Re} (z)<0}$ ${\displaystyle 45a_{n}}$ ${\displaystyle \omega =|x_{n}|}$ ${\displaystyle |x_{n}|/10}$
• В каждом (для устойчивых полюсов ) уменьшайте наклон на градусы за десятилетие, начиная с одного десятилетия назад (например, ). ${\displaystyle \omega =|y_{n}|}$ ${\displaystyle -\operatorname {Re} (p)<0}$ ${\displaystyle 45b_{n}}$ ${\displaystyle \omega =|y_{n}|}$ ${\displaystyle |y_{n}|/10}$
• «Неустойчивые» (правая полуплоскость) полюса и нули ( ) имеют противоположное поведение. ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0}$
• Снова выровняйте наклон, когда фаза изменится на градусы (для нуля) или градусы (для полюса). ${\displaystyle 90a_{n}}$ ${\displaystyle 90b_{n}}$
• После построения одной линии для каждого полюса или нуля сложите линии, чтобы получить окончательный фазовый график; то есть окончательный фазовый график представляет собой суперпозицию каждого более раннего фазового графика.

Пример

Чтобы построить линейный график для фильтра нижних частот первого порядка (однополюсного), рассмотрим нормализованную форму передаточной функции по угловой частоте:

${\displaystyle H_{\text{lp}}(\mathrm {j} \omega )={\frac {1}{1+\mathrm {j} {\frac {\omega }{\omega _{\text{c}}}}}}.}$

График Боде показан на рисунке 1(б) выше, а построение аппроксимации прямой обсуждается далее.

График магнитуды

Величина (в децибелах ) передаточной функции, указанной выше (нормализованной и преобразованной в угловую частотную форму), определяется выражением усиления в децибелах : ${\displaystyle A_{\text{vdB}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{\text{vdB}}&=20\log |H_{\text{lp}}(\mathrm {j} \omega )|\\&=20\log {\frac {1}{\left|1+\mathrm {j} {\frac {\omega }{\omega _{\text{c}}}}\right|}}\\&=-20\log \left|1+\mathrm {j} {\frac {\omega }{\omega _{\text{c}}}}\right|\\&=-10\log \left(1+{\frac {\omega ^{2}}{\omega _{\text{c}}^{2}}}\right).\end{aligned}}}$

Тогда график зависимости входной частоты в логарифмическом масштабе можно аппроксимировать двумя линиями , образующими асимптотическую (приближенную) величину графика Боде передаточной функции: ${\displaystyle \omega }$

• Первая линия для угловых частот ниже представляет собой горизонтальную линию на уровне 0 дБ, поскольку на низких частотах этот член мал и им можно пренебречь, в результате чего приведенное выше уравнение усиления в децибелах становится равным нулю. ${\displaystyle \omega _{\text{c}}}$ ${\displaystyle \omega /\omega _{\text{c}}}$
• Вторая линия для угловых частот выше — это линия с наклоном −20 дБ на декаду, поскольку на высоких частотах доминирует член , и выражение усиления в децибелах выше упрощается до , что представляет собой прямую линию с наклоном −20 дБ на декаду. ${\displaystyle \omega _{\text{c}}}$ ${\displaystyle \omega /\omega _{\text{c}}}$ ${\displaystyle -20\log(\omega /\omega _{\text{c}})}$

Эти две линии пересекаются на угловой частоте . Из графика видно, что для частот, значительно ниже угловой частоты, схема имеет затухание 0 дБ, что соответствует единичному коэффициенту усиления полосы пропускания, т.е. амплитуда выходного сигнала фильтра равна амплитуде входного сигнала. Частоты выше угловой частоты затухают — чем выше частота, тем больше затухание . ${\displaystyle \omega _{\text{c}}}$

Фазовый график

Фазовый график Боде получается путем построения графика фазового угла передаточной функции, заданной выражением

${\displaystyle \arg H_{\text{lp}}(\mathrm {j} \omega )=-\tan ^{-1}{\frac {\omega }{\omega _{\text{c}}}}}$

против , где и — входная и угловая частоты среза соответственно. Для входных частот, намного меньших угловой частоты, отношение мало, и поэтому фазовый угол близок к нулю. По мере увеличения отношения абсолютное значение фазы увеличивается и становится равным −45° при . По мере увеличения отношения для входных частот, намного больших угловой частоты, фазовый угол асимптотически приближается к −90°. Шкала частот для фазового графика является логарифмической. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega _{\text{c}}}$ ${\displaystyle \omega /\omega _{\text{c}}}$ ${\displaystyle \omega =\omega _{\text{c}}}$

Нормализованный график

Горизонтальная ось частоты, как на графиках амплитуды, так и на графиках фазы, может быть заменена нормализованным (безразмерным) отношением частот . В таком случае график называется нормализованным, и единицы измерения частот больше не используются, поскольку все входные частоты теперь выражаются как кратные частоте среза . ${\displaystyle \omega /\omega _{\text{c}}}$ ${\displaystyle \omega _{\text{c}}}$

Пример с нулем и полюсом

Рисунки 2-5 дополнительно иллюстрируют построение диаграмм Боде. Этот пример с полюсом и нулем показывает, как использовать суперпозицию. Для начала компоненты представлены отдельно.

На рисунке 2 показан график амплитуды Боде для нулевого и низкочастотного полюса, и он сравнивает их с прямыми линиями Боде. Прямые линии горизонтальны до местоположения полюса (нуля), а затем падают (поднимаются) со скоростью 20 дБ/декаду. Второй рисунок 3 делает то же самое для фазы. Фазовые графики горизонтальны до частоты, составляющей десять ниже местоположения полюса (нуля), а затем падают (поднимаются) со скоростью 45°/декаду, пока частота не станет в десять раз выше местоположения полюса (нуля). Затем графики снова горизонтальны на более высоких частотах при окончательном общем изменении фазы на 90°.

На рисунках 4 и 5 показано, как выполняется суперпозиция (простое сложение) графика полюса и нуля. Графики прямой линии Боде снова сравниваются с точными графиками. Ноль был перемещен на более высокую частоту, чем полюс, чтобы сделать пример более интересным. Обратите внимание на рисунке 4, что падение полюса на 20 дБ/декаду останавливается ростом нуля на 20 дБ/декаду, что приводит к горизонтальному графику амплитуды для частот выше нулевого положения. Обратите внимание на рисунке 5 на фазовом графике, что прямолинейное приближение довольно приблизительно в области, где и полюс, и ноль влияют на фазу. Обратите также внимание на рисунке 5, что диапазон частот, где фаза изменяется на прямолинейном графике, ограничен частотами в десять раз выше и ниже полюса (нуля). Если присутствуют как фаза полюса, так и ноль, то прямолинейный фазовый график является горизонтальным, поскольку падение полюса на 45°/декаду сдерживается перекрывающимся подъемом нуля на 45°/декаду в ограниченном диапазоне частот, где оба они вносят активный вклад в фазу.

• Пример с полюсом и нулем
• Рисунок 2: График амплитуды Боде для нулевого и низкочастотного полюсов; кривые с надписью «Боде» представляют собой прямолинейные графики Боде.
• Рисунок 3: Фазовый график Боде для нулевого и низкочастотного полюсов; кривые с надписью «Боде» представляют собой прямолинейные графики Боде.
• Рисунок 4: График амплитуды Боде для комбинации полюс-ноль; положение нуля в десять раз выше, чем на рисунках 2 и 3; кривые, обозначенные «Боде», представляют собой прямолинейные графики Боде.
• Рисунок 5: Фазовый график Боде для комбинации полюс-ноль; положение нуля в десять раз выше, чем на рисунках 2 и 3; кривые, обозначенные «Боде», представляют собой прямолинейные графики Боде.

Запас по усилению и запас по фазе

Диаграммы Боде используются для оценки стабильности усилителей с отрицательной обратной связью путем нахождения запасов усиления и фазы усилителя. Понятие запаса усиления и фазы основано на выражении усиления для усилителя с отрицательной обратной связью, заданном как

${\displaystyle A_{\text{FB}}={\frac {A_{\text{OL}}}{1+\beta A_{\text{OL}}}},}$

где A _FB — коэффициент усиления усилителя с обратной связью ( усиление с замкнутой петлей ), β — коэффициент обратной связи , а A _OL — коэффициент усиления без обратной связи ( усиление с разомкнутой петлей ). Коэффициент усиления A _OL является сложной функцией частоты, имеющей как величину, так и фазу. ^{[примечание 1]} Изучение этого соотношения показывает возможность бесконечного усиления (интерпретируемого как нестабильность), если произведение β A _OL = −1 (то есть величина β A _OL равна единице, а ее фаза равна −180°, так называемый критерий устойчивости Баркгаузена ). Диаграммы Боде используются для определения того, насколько близко усилитель подходит к удовлетворению этого условия.

Ключом к этому определению являются две частоты. Первая, обозначенная здесь как f ₁₈₀ , является частотой, на которой коэффициент усиления разомкнутой петли меняет знак. Вторая, обозначенная здесь как f _{0 dB} , является частотой, на которой величина произведения |β A _OL | = 1 = 0 dB. То есть частота f ₁₈₀ определяется условием

${\displaystyle \beta A_{\text{OL}}(f_{180})=-|\beta A_{\text{OL}}(f_{180})|=-|\beta A_{\text{OL}}|_{180},}$

где вертикальные черты обозначают величину комплексного числа , а частота f _{0 дБ} определяется условием

${\displaystyle |\beta A_{\text{OL}}(f_{\text{0 dB}})|=1.}$

Одной из мер близости к нестабильности является запас по усилению . Фазовый график Боде определяет частоту, на которой фаза β A _OL достигает −180°, обозначенную здесь как частота f ₁₈₀ . Используя эту частоту, график амплитуды Боде находит величину β A _OL . Если |β A _OL | ₁₈₀ ≥ 1, усилитель нестабилен, как уже упоминалось. Если |β A _OL | ₁₈₀ < 1, нестабильности не возникает, и разделение в дБ величины |β A _OL | ₁₈₀ от |β A _OL | = 1 называется запасом по усилению . Поскольку величина 1 равна 0 дБ, запас по усилению — это просто одна из эквивалентных форм: . ${\displaystyle 20\log _{10}|\beta A_{\text{OL}}|_{180}=20\log _{10}|A_{\text{OL}}|-20\log _{10}\beta ^{-1}}$

Другой эквивалентной мерой близости к нестабильности является запас по фазе . График амплитуды Боде определяет частоту, на которой амплитуда |β A _OL | достигает единицы, обозначенную здесь как частота f _{0 дБ} . Используя эту частоту, график фаз Боде определяет фазу β A _OL . Если фаза β A _OL ( f _{0 дБ} ) > −180°, условие нестабильности не может быть выполнено ни на какой частоте (потому что ее амплитуда будет < 1 при f = f ₁₈₀ ), а расстояние фазы при f _{0 дБ} в градусах выше −180° называется запасом по фазе .

Если простое «да» или «нет» по вопросу стабильности — это все, что нужно, то усилитель стабилен, если f _{0 дБ} < f ₁₈₀ . Этот критерий достаточен для прогнозирования стабильности только для усилителей, удовлетворяющих некоторым ограничениям по их полюсным и нулевым положениям ( минимально-фазовые системы). Хотя эти ограничения обычно соблюдаются, если они не соблюдаются, то необходимо использовать другой метод, например, график Найквиста . ^{[6] [7]} Оптимальные запасы усиления и фазы можно вычислить с помощью теории интерполяции Неванлинны–Пика . ^[8]

Примеры использования диаграмм Боде

Рисунки 6 и 7 иллюстрируют поведение усиления и терминологию. Для трехполюсного усилителя рисунок 6 сравнивает график Боде для усиления без обратной связи ( усиление с разомкнутой петлей ) A _OL с усилением с обратной связью A _FB ( усиление с замкнутой петлей ). Подробнее см. усилитель с отрицательной обратной связью .

В этом примере A _OL = 100 дБ на низких частотах, а 1 / β = 58 дБ. На низких частотах A _FB ≈ 58 дБ.

Поскольку на графике изображен коэффициент усиления разомкнутой цепи A _OL , а не произведение β A _OL , условие A _OL = 1 / β определяет f _{0 дБ} . Коэффициент усиления обратной связи на низких частотах и ​​для больших A _OL равен A _FB ≈ 1 / β (см. формулу для коэффициента усиления обратной связи в начале этого раздела для случая большого коэффициента усиления A _OL ), поэтому эквивалентный способ найти f _{0 дБ} — посмотреть, где коэффициент усиления обратной связи пересекает коэффициент усиления разомкнутой цепи. (Частота f _{0 дБ} понадобится позже для нахождения запаса по фазе.)

Вблизи этого пересечения двух коэффициентов усиления при f _{0 дБ} критерии Баркгаузена в этом примере почти удовлетворяются, и усилитель с обратной связью демонстрирует массивный пик усиления (он был бы бесконечным, если бы β A _OL = −1). За пределами частоты единичного усиления f _{0 дБ} коэффициент усиления разомкнутой цепи достаточно мал, так что A _FB ≈ A _OL (рассмотрите формулу в начале этого раздела для случая малого A _OL ).

На рисунке 7 показано соответствующее сравнение фаз: фаза усилителя обратной связи почти равна нулю до частоты f ₁₈₀ , где усиление разомкнутой цепи имеет фазу −180°. В этой близости фаза усилителя обратной связи резко падает вниз, становясь почти такой же, как фаза усилителя разомкнутой цепи. (Напомним, A _FB ≈ A _OL для малых A _OL .)

Сравнивая отмеченные точки на Рисунке 6 и Рисунке 7, видно, что частота единичного усиления f _{0 дБ} и частота переворота фазы f ₁₈₀ в этом усилителе почти равны, f ₁₈₀ ≈ f _{0 дБ} ≈ 3,332 кГц, что означает, что запас по усилению и запас по фазе близки к нулю. Усилитель погранично стабилен.

Рисунки 8 и 9 иллюстрируют запас по усилению и запас по фазе для разной величины обратной связи β. Коэффициент обратной связи выбран меньше, чем на рисунке 6 или 7, перемещая условие | β A _OL | = 1 на более низкую частоту. В этом примере 1 / β = 77 дБ, а на низких частотах A _FB ≈ 77 дБ.

Рисунок 8 показывает график усиления. Из рисунка 8 видно, что пересечение 1 / β и A _OL происходит при f _{0 дБ} = 1 кГц. Обратите внимание, что пик усиления A _FB вблизи f _{0 дБ} почти исчез. ^{[примечание 2] [9]}

Рисунок 9 - фазовый график. Используя значение f _{0 дБ} = 1 кГц, найденное выше из графика амплитуды на рисунке 8, фаза разомкнутой петли при f _{0 дБ} составляет −135°, что является запасом по фазе на 45° выше −180°.

Используя рисунок 9, для фазы −180° значение f ₁₈₀ = 3,332 кГц (тот же результат, что и найденный ранее, конечно ^{[примечание 3]} ). Коэффициент усиления без обратной связи из рисунка 8 при f ₁₈₀ составляет 58 дБ, а 1 / β = 77 дБ, поэтому запас усиления составляет 19 дБ.

Стабильность не является единственным критерием для отклика усилителя, и во многих приложениях более строгим требованием, чем стабильность, является хороший отклик на скачок . Как правило , хороший отклик на скачок требует запаса по фазе не менее 45°, и часто рекомендуется запас более 70°, особенно там, где вариация компонентов из-за производственных допусков является проблемой. ^[9] См. также обсуждение запаса по фазе в статье о отклике на скачок .

• Примеры
• Рисунок 6: Коэффициент усиления усилителя с обратной связью A _FB в дБ и соответствующий усилитель с разомкнутой петлей A _OL . Параметр 1/β = 58 дБ, а на низких частотах A _FB ≈ 58 дБ. Запас усиления в этом усилителе почти равен нулю, поскольку | β A _OL | = 1 происходит почти при f = f _180° .
• Рисунок 7: Фаза усилителя с обратной связью °A _FB в градусах и соответствующий усилитель с разомкнутой петлей °A _OL . Запас по фазе в этом усилителе близок к нулю, поскольку переворот фазы происходит почти на частоте единичного усиления f = f _{0 дБ,} где | β A _OL | = 1.
• Рисунок 8: Коэффициент усиления усилителя с обратной связью A _FB в дБ и соответствующий усилитель с разомкнутой петлей A _OL . В этом примере 1 / β = 77 дБ. Запас усиления в этом усилителе составляет 19 дБ.
• Рисунок 9: Фаза усилителя обратной связи A _FB в градусах и соответствующий усилитель с разомкнутой петлей A _OL . Запас по фазе в этом усилителе составляет 45°.

Боде-плоттер

Рисунок 10: Амплитудная диаграмма электронного фильтра 10-го порядка , построенная с помощью плоттера Боде.

Плоттер Боде — это электронный прибор, напоминающий осциллограф , который создает диаграмму Боде или график усиления напряжения или сдвига фазы цепи, построенный в зависимости от частоты в системе управления с обратной связью или фильтре. Пример этого показан на рисунке 10. Он чрезвычайно полезен для анализа и тестирования фильтров и стабильности систем управления с обратной связью посредством измерения угловых (срезовых) частот и запасов усиления и фазы.

Это идентично функции, выполняемой векторным анализатором цепей , но анализатор цепей обычно используется на гораздо более высоких частотах.

В образовательных и исследовательских целях построение диаграмм Боде для заданных передаточных функций способствует лучшему пониманию и более быстрому получению результатов (см. внешние ссылки).

Похожие сюжеты

Два связанных графика, которые отображают одни и те же данные в разных системах координат , — это график Найквиста и график Николса . Это параметрические графики , в которых частота является входом, а величина и фаза частотной характеристики — выходом. График Найквиста отображает их в полярных координатах , с отображением величины на радиус, а фазы на аргумент (угол). График Николса отображает их в прямоугольных координатах в логарифмической шкале .

• 
  Рисунок 11: График Найквиста .
• 
  Рисунок 12: График Николса того же отклика, что и на рисунке 11.

Смотрите также

• Аналоговая обработка сигнала
• Запас по фазе
• Интеграл чувствительности Боде
• Зависимость Боде от амплитуды (усиления) и фазы
• Электрохимическая импедансная спектроскопия

Примечания

1. Обычно, с ростом частоты, величина усиления падает, а фаза становится более отрицательной, хотя это только тенденции и могут быть обращены вспять в определенных диапазонах частот. Необычное поведение усиления может сделать концепции усиления и запаса по фазе неприменимыми. Тогда для оценки стабильности необходимо использовать другие методы, такие как график Найквиста .
2. Критическое значение обратной связи, при котором пик усиления просто исчезает, соответствует максимально плоской конструкции или конструкции Баттерворта .
3. Частота, на которой коэффициент усиления разомкнутой цепи меняет знак f ₁₈₀ , не меняется с изменением коэффициента обратной связи; это свойство коэффициента усиления разомкнутой цепи. Значение коэффициента усиления при f ₁₈₀ также не меняется с изменением β. Поэтому мы могли бы использовать предыдущие значения из рисунков 6 и 7. Однако для ясности процедура описана с использованием только рисунков 8 и 9.

Ссылки

1. RK Rao Yarlagadda (2010). Аналоговые и цифровые сигналы и системы . Springer Science & Business Media. стр. 243. ISBN 978-1-4419-0034-0.
2. Ван Валкенбург, ME Университет Иллинойса в Урбана-Шампейн, "В память о Хендрике В. Боде (1905-1982)", IEEE Transactions on Automatic Control, Vol. AC-29, No 3., March 1984, pp. 193–194. Цитата: "Что-то следует сказать о его имени. Его коллеги в Bell Laboratories и последующие поколения инженеров говорят, что его произношение — boh-dee. Семья Боде предпочла, чтобы оригинальное голландское имя использовалось как boh-dah".
3. "Верталинг ван постбоде, Нидерланды>EN" . mijnwoordenboek.nl . Проверено 7 октября 2013 г.
4. Дэвид А. Минделл Между человеком и машиной: обратная связь, управление и вычисления до кибернетики JHU Press, 2004, ISBN 0801880572 , стр. 127–131. 
5. Skogestad, Sigurd; Postlewaite, Ian (2005). Многомерное управление с обратной связью . Чичестер, Западный Сассекс, Англия: John Wiley & Sons, Ltd. ISBN 0-470-01167-X.
6. Томас Х. Ли (2004). "§14.6. Коэффициент усиления и фазовый запас как меры стабильности". Проектирование КМОП-радиочастотных интегральных схем (2-е изд.). Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press. стр. 451–453. ISBN 0-521-83539-9.
7. Уильям С. Левин (1996). "§10.1. Характеристики системы управления". Справочник по управлению: серия справочников по электротехнике (2-е изд.). Boca Raton FL: CRC Press/IEEE Press. стр. 163. ISBN 0-8493-8570-9.
8. Аллен Танненбаум (февраль 1981). Инвариантность и теория систем: алгебраические и геометрические аспекты . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 9783540105657.
9. Вилли MC Сансен (2006). Основы аналогового проектирования. Дордрехт, Нидерланды: Springer. стр. 157–163. ISBN 0-387-25746-2.

Внешние ссылки

• Как рисовать кусочно-асимптотические диаграммы Боде
• Код Gnuplot для создания диаграммы Боде: шаблон для печати DIN-A4 (pdf)