для всех в . [1] Функция, которая не ограничена, называется неограниченной . [ нужна цитата ]
Если действительное значение и для всех в , то говорят, что функция ограничена (из) сверху величиной . Если для всех в , то говорят, что функция ограничена (от) снизу величиной . Действительная функция ограничена тогда и только тогда, когда она ограничена сверху и снизу. [1] [ необходимы дополнительные ссылки ]
Важным частным случаем является ограниченная последовательность , где в качестве множества натуральных чисел принимается множество . Таким образом, последовательность ограничена, если существует такое действительное число, что
Определение ограниченности можно обобщить на функции, принимающие значения в более общем пространстве, потребовав, чтобы изображение было ограниченным множеством в . [ нужна цитата ]
Ограниченный оператор не является ограниченной функцией в смысле определения на этой странице (если только ), но обладает более слабым свойством сохранения ограниченности ; ограниченные множества отображаются в ограниченные множества . Это определение можно распространить на любую функцию, если и допустить концепцию ограниченного множества. Ограниченность также можно определить, посмотрев на график. [ нужна цитата ]
Примеры
Функция синуса ограничена, поскольку для всех . [1] [2]
Функция , определенная для всех вещественных чисел, кроме −1 и 1, является неограниченной. По мере приближения к −1 или 1 значения этой функции увеличиваются по величине. Эту функцию можно сделать ограниченной, если ограничить ее область определения, например, или . [ нужна цитата ]
Функция , определенная для всех действительных , ограничена , так как для всех . [ нужна цитата ]
Все комплекснозначные функции , которые являются целыми , либо неограничены, либо постоянны, как следствие теоремы Лиувилля . [5] В частности, комплекс должен быть неограниченным, поскольку он целый. [ нужна цитата ]
Функция , принимающая значение 0 для рационального числа и 1 для иррационального числа (см. функцию Дирихле ) , ограничена . Таким образом, функция не обязательно должна быть «хорошей», чтобы быть ограниченной. Набор всех ограниченных функций, определенных на этом интервале , намного больше, чем набор непрерывных функций на этом интервале. [ нужна цитата ] Более того, непрерывные функции не обязательно должны быть ограничены; например, функции и , определенные как и , обе непрерывны, но ни одна из них не ограничена. [6] (Однако непрерывная функция должна быть ограниченной, если ее область определения одновременно замкнута и ограничена. [6] )
^ abc Джеффри, Алан (13 июня 1996 г.). Математика для инженеров и ученых, 5-е издание. ЦРК Пресс. ISBN 978-0-412-62150-5.
^ «Функции синуса и косинуса» (PDF) . math.dartmouth.edu . Архивировано (PDF) из оригинала 2 февраля 2013 года . Проверено 1 сентября 2021 г.
^ Полянин, Андрей Д.; Черноуцан, Алексей (18 октября 2010 г.). Краткий справочник по математике, физике и инженерным наукам. ЦРК Пресс. ISBN978-1-4398-0640-1.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Теорема о экстремальном значении». mathworld.wolfram.com . Проверено 1 сентября 2021 г.
^ "Теоремы Лиувилля - Математическая энциклопедия" . энциклопедияofmath.org . Проверено 1 сентября 2021 г.
^ аб Горпаде, Судхир Р.; Лимайе, Балмохан В. (20 марта 2010 г.). Курс многомерного исчисления и анализа. Springer Science & Business Media. п. 56. ИСБН978-1-4419-1621-1.