Главное отделение

В математике главная ветвь — это функция, которая выбирает одну ветвь («срез») многозначной функции . Чаще всего это относится к функциям, определенным на комплексной плоскости .

Примеры

Основная ветвь arg(z)

Тригонометрические обратные величины

Главные ветви используются при определении многих обратных тригонометрических функций , таких как выбор либо для определения того, что

${\displaystyle \arcsin :[-1,+1]\rightarrow \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}$

или что

${\displaystyle \arccos :[-1,+1]\rightarrow [0,\pi ]}$.

Возведение в дробную степень

Более знакомая функция главной ветви, ограниченная действительными числами, — это функция положительного действительного числа, возведенного в степень 1/2 .

Например, возьмем соотношение y = x ^1/2 , где x — любое положительное действительное число.

Это отношение может быть удовлетворено любым значением y, равным квадратному корню из x (как положительному, так и отрицательному). По соглашению, √ x используется для обозначения положительного квадратного корня из x .

В этом случае положительная функция квадратного корня берется в качестве главной ветви многозначного отношения x ^1/2 .

Комплексные логарифмы

Один из способов рассмотреть главную ветвь — это рассмотреть конкретно показательную функцию и логарифм , как он определяется в комплексном анализе .

Экспоненциальная функция является однозначной, где e ^z определяется как:

${\displaystyle e^{z}=e^{a}\cos b+ie^{a}\sin b}$

где . ${\displaystyle z=a+ib}$

Однако периодическая природа тригонометрических функций, участвующих в этом, ясно показывает, что логарифм не так однозначно определен. Один из способов увидеть это — взглянуть на следующее:

${\displaystyle \operatorname {Re} (\log z)=\log {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

и

${\displaystyle \operatorname {Im} (\log z)=\operatorname {atan2} (b,a)+2\pi k}$

где k — любое целое число, а atan2 продолжает значения функции arctan(b/a) из их главного диапазона значений , соответствующего главному диапазону значений функции arg (z) , охватывая все четыре квадранта в комплексной плоскости. ${\displaystyle (-\pi /2,\;\pi /2]}$ ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle (-\pi ,\;\pi ]}$

Любое число log z, определенное такими критериями, обладает свойством e ^{log z} = z .

Таким образом, логарифмическая функция является многозначной функцией (часто называемой «многофункцией» в контексте комплексного анализа). Разрез ветви, обычно вдоль отрицательной действительной оси, может ограничить мнимую часть так, чтобы она лежала между −π и π . Это выбранные главные значения .

Это главная ветвь функции логарифма. Часто она обозначается заглавной буквой Log z .

Смотрите также

• Точка разветвления
• Срезанная ветвь
• Комплексный логарифм
• Риманова поверхность
• Квадратный корень#Главный квадратный корень комплексного числа

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Основной филиал». Математический мир .
• Модуль «Ветви сложных функций» Джона Х. Мэтьюза