Исчисление

Раздел математики

Исчисление — это математическое изучение непрерывных изменений, так же как геометрия изучает форму, а алгебра изучает обобщения арифметических операций .

Первоначально названное исчислением бесконечно малых или «исчислением бесконечно малых », оно имеет две основные ветви: дифференциальное исчисление и интегральное исчисление . Первое касается мгновенных скоростей изменения и наклонов кривых , в то время как последнее касается накопления количеств и площадей под или между кривыми. Эти две ветви связаны друг с другом фундаментальной теоремой исчисления . Они используют фундаментальные понятия сходимости бесконечных последовательностей и бесконечных рядов к четко определенному пределу . [ ^1]

Исчисление бесконечно малых величин было разработано независимо в конце 17 века Исааком Ньютоном и Готфридом Вильгельмом Лейбницем . ^{[2] [3]} Более поздние работы, включая кодификацию идеи пределов , поставили эти разработки на более прочную концептуальную основу. Сегодня исчисление широко используется в науке , технике и социальных науках . ^[4]

Этимология

В математическом образовании исчисление — это сокращение от «исчисления бесконечно малых» и «исчисления интегральных величин» , обозначающее курсы элементарного математического анализа .

В латинском языке слово calculus означает «маленький камешек» ( уменьшительное от calx, что означает «камень»), значение, которое все еще сохраняется в медицине . Поскольку такие камешки использовались для подсчета расстояний, ^[5] подсчета голосов и выполнения арифметических действий на счетах , это слово стало латинским словом для вычисления . В этом смысле оно использовалось в английском языке по крайней мере еще в 1672 году, за несколько лет до публикаций Лейбница и Ньютона, которые писали свои математические тексты на латыни. ^[6]

В дополнение к дифференциальному исчислению и интегральному исчислению, этот термин также используется для обозначения конкретных методов вычисления или теорий, которые подразумевают какой-либо вид вычисления. Примерами такого использования являются пропозициональное исчисление , исчисление Риччи , исчисление вариаций , лямбда-исчисление , секвенциальное исчисление и исчисление процессов . Кроме того, термин «исчисление» по-разному применялся в этике и философии, для таких систем, как исчисление счастья Бентама и этическое исчисление .

История

Современное исчисление было разработано в Европе XVII века Исааком Ньютоном и Готфридом Вильгельмом Лейбницем (независимо друг от друга, первые публикации были опубликованы примерно в одно и то же время), но его элементы впервые появились в Древнем Египте, а позднее в Греции, затем в Китае и на Ближнем Востоке, а еще позже — в средневековой Европе и Индии.

Древние предшественники

Египет

Расчеты объема и площади , одна из целей интегрального исчисления, можно найти в египетском папирусе «Московский» ( ок.  1820  г. до н. э. ), но формулы представляют собой простые инструкции, без указания того, как они были получены. ^{[7] [8]}

Греция

Архимед использовал метод исчерпывания для вычисления площади под параболой в своей работе «Квадратура параболы» .

Заложив основы интегрального исчисления и предвосхитив концепцию предела, древнегреческий математик Евдокс Книдский ( ок.  390–337  до н. э. ) разработал метод исчерпывания для доказательства формул объемов конуса и пирамиды.

В эллинистический период этот метод был дополнительно развит Архимедом ( ок.  287  – ок.  212  до н. э.), который объединил его с концепцией неделимых — предшественника бесконечно малых — что позволило ему решить несколько задач, которые сейчас решаются с помощью интегрального исчисления. В «Методе механических теорем» он описывает, например, вычисление центра тяжести сплошной полусферы , центра тяжести усеченного конуса кругового параболоида и площади области, ограниченной параболой и одной из ее секущих . ^[9]

Китай

Метод исчерпания был позже независимо открыт в Китае Лю Хуэем в 3 веке н. э. для нахождения площади круга. ^{[10] [11]} В 5 веке н. э. Цзу Гэнчжи , сын Цзу Чунчжи , разработал метод ^{[12] [13]} , который позже назовут принципом Кавальери, для нахождения объема сферы .

Средневековый

Средний Восток

На Ближнем Востоке Хасан ибн аль-Хайтам , латинизированный как Альхазен ( ок.  965  – ок.  1040  н. э.) вывел формулу для суммы четвертых степеней . Он использовал результаты для выполнения того, что сейчас называется интегрированием этой функции, где формулы для сумм целых квадратов и четвертых степеней позволили ему вычислить объем параболоида . ^[14]

Индия

Бхаскара II ( ок.  1114–1185 ) был знаком с некоторыми идеями дифференциального исчисления и предположил, что «дифференциальный коэффициент» исчезает при экстремальном значении функции. ^[15] В своей астрономической работе он дал процедуру, которая выглядела как предшественник бесконечно малых методов. А именно, если то Это можно интерпретировать как открытие того, что косинус является производной синуса . ^[16] В 14 веке индийские математики дали нестрогий метод, напоминающий дифференциацию, применимый к некоторым тригонометрическим функциям. Мадхава из Сангамаграма и Керальская школа астрономии и математики сформулировали компоненты исчисления, но, по словам Виктора Дж. Каца, они не смогли «объединить множество различных идей под двумя объединяющими темами производной и интеграла , показать связь между ними и превратить исчисление в великий инструмент решения проблем, который мы имеем сегодня». ^[14] ${\displaystyle x\approx y}$ ${\displaystyle \sin(y)-\sin(x)\approx (y-x)\cos(y).}$

Современный

Труд Иоганна Кеплера Stereometria Doliorum (1615) лег в основу интегрального исчисления. ^[17] Кеплер разработал метод вычисления площади эллипса путем сложения длин многих радиусов, проведенных из фокуса эллипса. ^[18]

Значительной работой был трактат, источником которого были методы Кеплера ^[18], написанный Бонавентурой Кавальери , который утверждал, что объемы и площади должны вычисляться как суммы объемов и площадей бесконечно тонких поперечных сечений. Идеи были похожи на идеи Архимеда в « Методе » , но этот трактат, как полагают, был утерян в 13 веке и был заново открыт только в начале 20 века, и поэтому был неизвестен Кавальери. Работа Кавальери не пользовалась большим уважением, поскольку его методы могли приводить к ошибочным результатам, а введенные им бесконечно малые величины поначалу были непопулярны.

Формальное изучение исчисления объединило бесконечно малые числа Кавальери с исчислением конечных разностей, разработанным в Европе примерно в то же время. Пьер де Ферма , утверждая, что он заимствовал это у Диофанта , ввел понятие равенства , которое представляло равенство с точностью до бесконечно малой погрешности. ^[19] Объединение было достигнуто Джоном Уоллисом , Исааком Барроу и Джеймсом Грегори , причем последние двое доказали предшественников второй фундаментальной теоремы исчисления около 1670 года. ^{[20] [21]}

Правило произведения и цепное правило ^[22], понятия высших производных и рядов Тейлора ^[23] и аналитических функций ^[24] были использованы Исааком Ньютоном в своеобразной нотации, которую он применял для решения задач математической физики . В своих работах Ньютон перефразировал свои идеи в соответствии с математическим языком того времени, заменив вычисления с бесконечно малыми эквивалентными геометрическими аргументами, которые считались безупречными. Он использовал методы исчисления для решения проблемы движения планет, формы поверхности вращающейся жидкости, сплющенности Земли, движения груза, скользящего по циклоиде , и многих других проблем, обсуждаемых в его Principia Mathematica (1687). В других работах он разработал разложения в ряды для функций, включая дробные и иррациональные степени, и было ясно, что он понимал принципы рядов Тейлора . Он не опубликовал все эти открытия, и в то время методы бесконечно малых все еще считались сомнительными. ^[25]

Эти идеи были организованы в истинное исчисление бесконечно малых Готфридом Вильгельмом Лейбницем , которого Ньютон изначально обвинил в плагиате . ^[26] Теперь он считается независимым изобретателем и участником исчисления. Его вклад состоял в том, чтобы предоставить четкий набор правил для работы с бесконечно малыми величинами, позволяя вычислять вторые и более высокие производные, и предоставляя правило произведения и цепное правило в их дифференциальной и интегральной формах. В отличие от Ньютона, Лейбниц приложил кропотливые усилия к выбору обозначений. ^[27]

Сегодня Лейбницу и Ньютону обычно приписывают заслуги в независимом изобретении и развитии исчисления. Ньютон был первым, кто применил исчисление к общей физике . Лейбниц разработал большую часть обозначений, используемых в исчислении сегодня. ^{[28] : 51–52} Основные идеи, которые предоставили и Ньютон, и Лейбниц, включали законы дифференциации и интегрирования, подчеркивающие, что дифференциация и интегрирование являются обратными процессами, вторые и более высокие производные, а также понятие аппроксимирующего полиномиального ряда.

Когда Ньютон и Лейбниц впервые опубликовали свои результаты, возникли большие споры о том, какой математик (и, следовательно, какая страна) заслуживает признания. Ньютон первым вывел свои результаты (позже опубликованные в его Методе флюксий ), но Лейбниц первым опубликовал свой « Новый метод про Максимис и Минимис ». Ньютон утверждал, что Лейбниц украл идеи из его неопубликованных заметок, которыми Ньютон поделился с несколькими членами Королевского общества . Этот спор разделил англоязычных математиков от математиков континентальной Европы на многие годы, в ущерб английской математике. ^[29] Тщательное изучение статей Лейбница и Ньютона показывает, что они пришли к своим результатам независимо, причем Лейбниц первым начал с интегрирования, а Ньютон с дифференцирования. Однако именно Лейбниц дал название новой дисциплине. Ньютон назвал свое исчисление « наукой флюксий », термин, который сохранился в английских школах до 19 века. ^{[30] : 100} Первый полный трактат по исчислению, написанный на английском языке и использующий обозначения Лейбница, был опубликован только в 1815 году. ^[31]

Мария Гаэтана Аньези

Со времен Лейбница и Ньютона многие математики внесли свой вклад в непрерывное развитие исчисления. Одна из первых и наиболее полных работ по исчислению бесконечно малых и интегральному исчислению была написана в 1748 году Марией Гаэтаной Аньези . ^{[32] [33]}

Фонды

В исчислении основы относятся к строгому развитию предмета из аксиом и определений. В раннем исчислении использование бесконечно малых величин считалось нестрогим и подвергалось жесткой критике со стороны нескольких авторов, в частности Мишеля Ролля и епископа Беркли . Беркли в своей книге «Аналитик» в 1734 году описал бесконечно малые величины как призраки ушедших величин. Разработка строгой основы для исчисления занимала математиков большую часть столетия после Ньютона и Лейбница и до сих пор в некоторой степени является активной областью исследований. ^[34]

Несколько математиков, включая Маклорена , пытались доказать обоснованность использования бесконечно малых величин, но только спустя 150 лет, благодаря работам Коши и Вейерштрасса , был наконец найден способ избежать простых «понятий» бесконечно малых величин. ^[35] Были заложены основы дифференциального и интегрального исчисления. В «Cours d'Analyse» Коши мы находим широкий спектр основополагающих подходов, включая определение непрерывности в терминах бесконечно малых величин и (несколько неточный) прототип (ε, δ)-определения предела в определении дифференциации. [ ^36] В своей работе Вейерштрасс формализовал концепцию предела и исключил бесконечно малые величины (хотя его определение может подтвердить бесконечно малые величины, равные нулю квадрату ). После работы Вейерштрасса в конечном итоге стало общепринятым основывать исчисление на пределах, а не на бесконечно малых величинах, хотя этот предмет все еще иногда называют «исчислением бесконечно малых». Бернхард Риман использовал эти идеи, чтобы дать точное определение интеграла. ^[37] Также в этот период идеи исчисления были обобщены на комплексную плоскость с развитием комплексного анализа . ^[38]

В современной математике основы исчисления включены в область действительного анализа , которая содержит полные определения и доказательства теорем исчисления. Область применения исчисления также значительно расширилась. Анри Лебег изобрел теорию меры , основанную на более ранних разработках Эмиля Бореля , и использовал ее для определения интегралов всех функций, кроме самых патологических . ^[39] Лоран Шварц ввел распределения , которые можно использовать для взятия производной любой функции. ^[40]

Пределы — не единственный строгий подход к основанию исчисления. Другой способ — использовать нестандартный анализ Абрахама Робинсона . Подход Робинсона, разработанный в 1960-х годах, использует технические механизмы из математической логики для дополнения действительной числовой системы бесконечно малыми и бесконечными числами, как в оригинальной концепции Ньютона-Лейбница. Полученные числа называются гиперреальными числами , и их можно использовать для разработки обычных правил исчисления в духе Лейбница. ^[41] Существует также гладкий бесконечно малый анализ , который отличается от нестандартного анализа тем, что требует пренебрегать бесконечно малыми более высокой степени во время выводов. ^[34] Основываясь на идеях Ф. В. Ловера и применяя методы теории категорий , гладкий бесконечно малый анализ рассматривает все функции как непрерывные и неспособные быть выраженными в терминах дискретных сущностей. Одним из аспектов этой формулировки является то, что закон исключенного третьего не выполняется. ^[34] Закон исключенного третьего также отвергается в конструктивной математике , разделе математики, который настаивает на том, что доказательства существования числа, функции или другого математического объекта должны давать конструкцию объекта. Переформулировки исчисления в конструктивной структуре обычно являются частью предмета конструктивного анализа . ^[34]

Значение

Хотя многие идеи исчисления были разработаны ранее в Греции , Китае , Индии , Ираке, Персии и Японии , использование исчисления началось в Европе в 17 веке, когда Ньютон и Лейбниц, основываясь на работах более ранних математиков, представили его основные принципы. ^{[11] [25] [42]} Венгерский полимат Джон фон Нейман писал об этой работе:

Исчисление было первым достижением современной математики, и его важность трудно переоценить. Я думаю, что оно определяет более недвусмысленно, чем что-либо другое, начало современной математики, а система математического анализа, которая является ее логическим развитием, по-прежнему представляет собой величайшее техническое достижение в точном мышлении. ^[43]

Приложения дифференциального исчисления включают вычисления, включающие скорость и ускорение , наклон кривой и оптимизацию . ^{[44] : 341–453} Приложения интегрального исчисления включают вычисления, включающие площадь, объем , длину дуги , центр масс , работу и давление . ^{[44] : 685–700} Более продвинутые приложения включают степенные ряды и ряды Фурье .

Исчисление также используется для получения более точного понимания природы пространства, времени и движения. На протяжении столетий математики и философы боролись с парадоксами, связанными с делением на ноль или суммами бесконечного числа чисел. Эти вопросы возникают при изучении движения и площади. Древнегреческий философ Зенон Элейский привел несколько известных примеров таких парадоксов . Исчисление предоставляет инструменты, особенно предел и бесконечный ряд , которые разрешают парадоксы. ^[45]

Принципы

Пределы и бесконечно малые величины

Исчисление обычно развивается путем работы с очень малыми величинами. Исторически первым методом для этого были бесконечно малые . Это объекты, которые можно рассматривать как действительные числа, но которые в некотором смысле «бесконечно малы». Например, бесконечно малое число может быть больше 0, но меньше любого числа в последовательности 1, 1/2, 1/3, ... и, таким образом, меньше любого положительного действительного числа . С этой точки зрения исчисление представляет собой набор методов для манипулирования бесконечно малыми величинами. Символы и считались бесконечно малыми, а производная была их отношением. ^[34] ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle dy}$ ${\displaystyle dy/dx}$

Подход бесконечно малых вышел из моды в 19 веке, потому что было трудно сделать понятие бесконечно малых точным. В конце 19 века бесконечно малые были заменены в академических кругах подходом эпсилон, дельта к пределам . Пределы описывают поведение функции при определенном входе с точки зрения ее значений при соседних входах. Они фиксируют поведение малых масштабов, используя внутреннюю структуру системы действительных чисел (как метрического пространства со свойством наименьшей верхней границы ). В этой трактовке исчисление представляет собой набор методов для манипулирования определенными пределами. Бесконечно малые заменяются последовательностями все меньших и меньших чисел, и бесконечно малое поведение функции находится путем взятия предельного поведения для этих последовательностей. Считалось, что пределы обеспечивают более строгую основу для исчисления, и по этой причине они стали стандартным подходом в 20 веке. Однако концепция бесконечно малых величин возродилась в 20 веке с введением нестандартного анализа и гладкого анализа бесконечно малых величин , что обеспечило прочную основу для манипулирования бесконечно малыми величинами. ^[34]

Дифференциальное исчисление

Касательная линия в точке ( x ₀ , f ( x ₀ )) . Производная f′ ( x ) кривой в точке — это наклон (подъем над пробегом) линии, касательной к этой кривой в этой точке.

Дифференциальное исчисление — это изучение определения, свойств и приложений производной функции . Процесс нахождения производной называется дифференциацией . При наличии функции и точки в области определения производная в этой точке является способом кодирования мелкомасштабного поведения функции вблизи этой точки. Находя производную функции в каждой точке в ее области определения, можно получить новую функцию, называемую производной функцией или просто производной исходной функции. Формально производная — это линейный оператор , который принимает функцию в качестве входных данных и производит вторую функцию в качестве выходных данных. Это более абстрактно, чем многие процессы, изучаемые в элементарной алгебре, где функции обычно вводят число и выводят другое число. Например, если функции удвоения дать входные данные три, то она выведет шесть, а если функции возведения в квадрат дать входные данные три, то она выведет девять. Однако производная может принимать функцию возведения в квадрат в качестве входных данных. Это означает, что производная берет всю информацию о функции возведения в квадрат — например, что два отправляется в четыре, три отправляется в девять, четыре отправляется в шестнадцать и т. д. — и использует эту информацию для создания другой функции. Функция, полученная путем дифференцирования функции возведения в квадрат, оказывается функцией удвоения. ^{[28] : 32}

В более явных терминах «функция удвоения» может быть обозначена как g ( x ) = 2 x , а «функция возведения в квадрат» как f ( x ) = x ² . «Производная» теперь принимает функцию f ( x ) , определенную выражением « x ² », в качестве входных данных, то есть всю информацию — например, что два отправляется в четыре, три отправляется в девять, четыре отправляется в шестнадцать и так далее — и использует эту информацию для вывода другой функции, функции g ( x ) = 2 x , как и получится.

В нотации Лагранжа символом производной является апостроф -подобный знак, называемый штрихом . Таким образом, производная функции с именем f обозначается как f′ , произносится как «f штрих» или «f тире». Например, если f ( x ) = x ² — функция возведения в квадрат, то f′ ( x ) = 2 x — ее производная (функция удвоения g из вышеприведенной).

Если вход функции представляет время, то производная представляет изменение относительно времени. Например, если f — это функция, которая принимает время в качестве входных данных и выдает положение мяча в это время в качестве выходных данных, то производная f — это то, как положение меняется во времени, то есть это скорость мяча. ^{[28] : 18–20}

Если функция линейна (то есть график функции представляет собой прямую линию), то функцию можно записать в виде y = mx + b , где x — независимая переменная, y — зависимая переменная, b — точка пересечения с осью y , и:

${\displaystyle m={\frac {\text{rise}}{\text{run}}}={\frac {{\text{change in }}y}{{\text{change in }}x}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}.}$

Это дает точное значение для наклона прямой линии. ^{[46] : 6} Однако, если график функции не является прямой линией, то изменение y, деленное на изменение x, изменяется. Производные придают точное значение понятию изменения выхода относительно изменения входа. Для конкретности, пусть f будет функцией, и зафиксируем точку a в области f . ( a , f ( a )) является точкой на графике функции. Если h является числом, близким к нулю, то a + h является числом, близким к a . Следовательно, ( a + h , f ( a + h )) близок к ( a , f ( a )) . Наклон между этими двумя точками равен

${\displaystyle m={\frac {f(a+h)-f(a)}{(a+h)-a}}={\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.}$

Это выражение называется разностным отношением . Прямая, проходящая через две точки кривой, называется секущей , поэтому m — это наклон секущей между ( a , f ( a )) и ( a + h , f ( a + h )) . Вторая линия — это лишь приближение к поведению функции в точке a, поскольку она не учитывает то, что происходит между a и a + h . Невозможно обнаружить поведение в точке a , установив h равным нулю, поскольку для этого потребуется деление на ноль , что не определено. Производная определяется взятием предела при стремлении h к нулю, что означает, что она рассматривает поведение f для всех малых значений h и извлекает согласованное значение для случая, когда h равно нулю:

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{f(a+h)-f(a) \over {h}}.}$

Геометрически производная — это наклон касательной к графику функции f в точке a . Касательная — это предел секущих, так же как производная — это предел разностных отношений. По этой причине производную иногда называют наклоном функции f . ^{[46] : 61–63}

Вот частный пример: производная функции возведения в квадрат на входе 3. Пусть f ( x ) = x ² — функция возведения в квадрат.

Производная f′ ( x ) кривой в точке — это наклон линии, касательной к этой кривой в этой точке. Этот наклон определяется с учетом предельного значения наклонов вторых линий. Здесь задействованная функция (нарисована красным) — f ( x ) = x ³ − x . Касательная линия (зеленого цвета), которая проходит через точку (−3/2, −15/8), имеет наклон 23/4. Вертикальный и горизонтальный масштабы на этом изображении различны.

${\displaystyle {\begin{aligned}f'(3)&=\lim _{h\to 0}{(3+h)^{2}-3^{2} \over {h}}\\&=\lim _{h\to 0}{9+6h+h^{2}-9 \over {h}}\\&=\lim _{h\to 0}{6h+h^{2} \over {h}}\\&=\lim _{h\to 0}(6+h)\\&=6\end{aligned}}}$

Наклон касательной к функции возведения в квадрат в точке (3, 9) равен 6, то есть она идет вверх в шесть раз быстрее, чем идет вправо. Описанный выше предельный процесс может быть выполнен для любой точки в области функции возведения в квадрат. Это определяет производную функцию функции возведения в квадрат или просто производную функции возведения в квадрат для краткости. Вычисление, подобное приведенному выше, показывает, что производная функции возведения в квадрат является функцией удвоения. ^{[46] : 63}

Обозначение Лейбница

Общее обозначение, введенное Лейбницем для производной в приведенном выше примере, следующее:

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=x^{2}\\{\frac {dy}{dx}}&=2x.\end{aligned}}}$

В подходе, основанном на ограничениях, символ ⁠dy/дх⁠ следует интерпретировать не как частное двух чисел, а как сокращение для предела, вычисленного выше. ^{[46] : 74} Лейбниц, однако, намеревался представить его как частное двух бесконечно малых чисел, причем dy представляет собой бесконечно малое изменение y, вызванное бесконечно малым изменением dx, примененным к x . Мы также можем думать о ⁠г/дх⁠ как оператор дифференциации, который принимает функцию в качестве входных данных и дает другую функцию, производную, в качестве выходных данных. Например:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(x^{2})=2x.}$

В этом случае dx в знаменателе читается как «относительно x ». ^{[46] : 79} Другим примером правильной записи может быть:

${\displaystyle {\begin{aligned}g(t)&=t^{2}+2t+4\\{d \over dt}g(t)&=2t+2\end{aligned}}}$

Даже когда исчисление развивается с использованием пределов, а не бесконечно малых величин, общепринято манипулировать такими символами, как dx и dy, как если бы они были действительными числами; хотя можно избежать таких манипуляций, иногда они удобны с точки зрения обозначений при выражении таких операций, как полная производная .

Интегральное исчисление

Интегральное исчисление — это изучение определений, свойств и приложений двух связанных понятий: неопределенного интеграла и определенного интеграла . Процесс нахождения значения интеграла называется интегрированием . ^{[44] : 508} Неопределенный интеграл, также известный как первообразная , является обратной операцией к производной. ^{[46] : 163–165} F — неопределенный интеграл от f , когда f — производная от F. (Такое использование строчных и заглавных букв для функции и ее неопределенного интеграла распространено в исчислении.) Определенный интеграл вводит функцию и выводит число, которое дает алгебраическую сумму площадей между графиком ввода и осью x . Техническое определение определенного интеграла включает предел суммы площадей прямоугольников, называемый суммой Римана . ^{[47] : 282}

Мотивирующим примером является расстояние, пройденное за определенное время. ^{[46] : 153} Если скорость постоянна, необходимо только умножение:

${\displaystyle \mathrm {Distance} =\mathrm {Speed} \cdot \mathrm {Time} }$

Но если скорость меняется, необходим более мощный метод нахождения расстояния. Один из таких методов — приблизительное определение пройденного расстояния путем разбиения времени на множество коротких интервалов времени, затем умножения времени, прошедшего в каждом интервале, на одну из скоростей в этом интервале, а затем взятия суммы ( суммы Римана ) приблизительного расстояния, пройденного в каждом интервале. Основная идея заключается в том, что если прошло только короткое время, то скорость останется более или менее той же. Однако сумма Римана дает лишь приблизительное значение пройденного расстояния. Мы должны взять предел всех таких сумм Римана, чтобы найти точное пройденное расстояние.

Когда скорость постоянна, общее расстояние, пройденное за данный интервал времени, можно вычислить, умножив скорость на время. Например, движение со скоростью 50 миль в час в течение 3 часов дает общее расстояние в 150 миль. График скорости как функции времени дает прямоугольник с высотой, равной скорости, и шириной, равной прошедшему времени. Таким образом, произведение скорости на время также вычисляет прямоугольную площадь под кривой (постоянной) скорости. ^{[44] : 535} Эту связь между площадью под кривой и пройденным расстоянием можно распространить на любую область неправильной формы, демонстрирующую флуктуирующую скорость за данный период. Если f ( x ) представляет скорость, изменяющуюся со временем, то расстояние, пройденное между временами, представленными a и b, является площадью области между f ( x ) и осью x , между x = a и x = b .

Чтобы аппроксимировать эту площадь, интуитивный метод будет заключаться в том, чтобы разделить расстояние между a и b на несколько равных сегментов, длина каждого сегмента представлена ​​символом Δ x . Для каждого малого сегмента мы можем выбрать одно значение функции f ( x ) . Назовем это значение h . Тогда площадь прямоугольника с основанием Δ x и высотой h дает расстояние (время Δ x, умноженное на скорость h ), пройденное в этом сегменте. С каждым сегментом связано среднее значение функции над ним, f ( x ) = h . Сумма всех таких прямоугольников дает приближение площади между осью и кривой, что является приближением общего пройденного расстояния. Меньшее значение для Δ x даст больше прямоугольников и в большинстве случаев лучшее приближение, но для точного ответа нам нужно взять предел, когда Δ x приближается к нулю. ^{[44] : 512–522}

Символ интегрирования — удлиненная буква S , выбранная для обозначения суммирования. ^{[44] : 529} Определенный интеграл записывается как: ${\displaystyle \int }$

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$

и читается как «интеграл от a до b функции f -от- x относительно x ». Обозначение Лейбница dx призвано предложить разделить область под кривой на бесконечное число прямоугольников так, чтобы их ширина Δ x стала бесконечно малой dx . ^{[28] : 44}

Неопределенный интеграл, или первообразная, записывается:

${\displaystyle \int f(x)\,dx.}$

Функции, отличающиеся только константой, имеют одну и ту же производную, и можно показать, что первообразная данной функции представляет собой семейство функций, отличающихся только константой. ^{[47] : 326} Поскольку производная функции y = x ² + C , где C — любая константа, равна y′ = 2 x , первообразная последней определяется как:

${\displaystyle \int 2x\,dx=x^{2}+C.}$

Неопределенная константа C, присутствующая в неопределенном интеграле или первообразной, известна как константа интегрирования . ^{[48] : 135}

Основная теорема

Основная теорема исчисления утверждает, что дифференциация и интегрирование являются обратными операциями. ^{[47] : 290} Точнее, она связывает значения первообразных с определенными интегралами. Поскольку обычно легче вычислить первообразную, чем применить определение определенного интеграла, основная теорема исчисления предоставляет практический способ вычисления определенных интегралов. Ее также можно интерпретировать как точное утверждение того факта, что дифференциация является обратной интегрированию.

Основная теорема исчисления гласит: если функция f непрерывна на интервале [ a , b ] и если F — функция, производная которой равна f на интервале ( a , b ) , то

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).}$

Более того, для каждого x в интервале ( a , b ) ,

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int _{a}^{x}f(t)\,dt=f(x).}$

Это понимание, сделанное как Ньютоном, так и Лейбницем , было ключом к распространению аналитических результатов после того, как их работа стала известна. (Степень, в которой Ньютон и Лейбниц находились под влиянием непосредственных предшественников, и в частности то, что Лейбниц мог узнать из работы Исаака Барроу , трудно определить из-за спора о приоритете между ними. ^[49] ) Основная теорема предоставляет алгебраический метод вычисления многих определенных интегралов — без выполнения предельных процессов — путем нахождения формул для первообразных . Это также прототип решения дифференциального уравнения . Дифференциальные уравнения связывают неизвестную функцию с ее производными и повсеместно распространены в науках. ^{[50] : 351–352}

Приложения

Логарифмическая спираль раковины наутилуса — классический образ, используемый для изображения роста и изменений, связанных с исчислением.

Исчисление используется в каждой отрасли физических наук, ^{[51] : 1} актуарная наука , компьютерные науки , статистика , инженерия , экономика , бизнес , медицина , демография и в других областях, где проблема может быть математически смоделирована и требуется оптимальное решение. ^[52] Оно позволяет перейти от (непостоянных) скоростей изменения к общему изменению или наоборот, и много раз при изучении проблемы мы знаем одно и пытаемся найти другое. ^[53] Исчисление можно использовать в сочетании с другими математическими дисциплинами. Например, его можно использовать с линейной алгеброй , чтобы найти «наилучшее соответствие» линейного приближения для набора точек в области. Или его можно использовать в теории вероятностей для определения ожидаемого значения непрерывной случайной величины, заданной функцией плотности вероятности . ^{[54] : 37} В аналитической геометрии , изучении графиков функций, исчисление используется для нахождения высоких и низких точек (максимумов и минимумов), наклонов, вогнутостей и точек перегиба . Исчисление также используется для нахождения приближенных решений уравнений; на практике это стандартный способ решения дифференциальных уравнений и поиска корней в большинстве приложений. Примерами являются такие методы, как метод Ньютона , итерация неподвижной точки и линейная аппроксимация . Например, космические аппараты используют вариацию метода Эйлера для аппроксимации криволинейных курсов в условиях невесомости.

Физика особенно использует исчисление; все концепции классической механики и электромагнетизма связаны через исчисление. Масса объекта известной плотности , момент инерции объектов и потенциальная энергия, обусловленная гравитационными и электромагнитными силами, могут быть найдены с помощью исчисления. Примером использования исчисления в механике является второй закон движения Ньютона , который гласит, что производная импульса объекта относительно времени равна чистой силе, действующей на него. В качестве альтернативы второй закон Ньютона можно выразить, сказав, что чистая сила равна массе объекта, умноженной на его ускорение , которое является производной по времени скорости и, таким образом, второй производной по времени пространственного положения. Начиная со знания того, как объект ускоряется, мы используем исчисление, чтобы вывести его траекторию. ^[55]

Теория электромагнетизма Максвелла и общая теория относительности Эйнштейна также выражены на языке дифференциального исчисления. ^{[56] [57] : 52–55} Химия также использует исчисление для определения скоростей реакций ^{[58] : 599} и при изучении радиоактивного распада. ^{[58] : 814} В биологии динамика популяций начинается с показателей воспроизводства и смертности для моделирования изменений популяции. ^{[59] [60] : 631}

Теорема Грина , которая устанавливает связь между линейным интегралом по простой замкнутой кривой C и двойным интегралом по плоской области D, ограниченной кривой C, применяется в приборе, известном как планиметр , который используется для вычисления площади плоской поверхности на чертеже. ^[61] Например, ее можно использовать для вычисления площади, занимаемой цветочной клумбой неправильной формы или бассейном при проектировании планировки участка недвижимости.

В области медицины исчисление можно использовать для нахождения оптимального угла разветвления кровеносного сосуда , чтобы максимизировать поток. ^[62] Исчисление можно применять для понимания того, как быстро лекарство выводится из организма или как быстро растет раковая опухоль. ^[63]

В экономике исчисление позволяет определить максимальную прибыль, предоставляя способ легкого расчета как предельных издержек , так и предельного дохода . ^{[64] : 387}

Смотрите также

• Глоссарий исчисления
• Список тем по исчислению
• Список производных и интегралов в альтернативных исчислениях
• Список дифференцирующих идентичностей
• Публикации по исчислению
• Таблица интегралов

Ссылки

1. ДеБаггис, Генри Ф.; Миллер, Кеннет С. (1966). Основы исчисления . Филадельфия: Saunders. OCLC  527896.
2. Бойер, Карл Б. (1959). История исчисления и его концептуальное развитие . Нью-Йорк: Довер. OCLC  643872.
3. Барди, Джейсон Сократ (2006). Войны исчислений: Ньютон, Лейбниц и величайшее математическое столкновение всех времен . Нью-Йорк: Thunder's Mouth Press. ISBN 1-56025-706-7.
4. Хоффманн, Лоуренс Д.; Брэдли, Джеральд Л. (2004). Исчисление для бизнеса, экономики, социальных и биологических наук (8-е изд.). Бостон: McGraw Hill. ISBN 0-07-242432-X.
5. См., например:
   • «История – Были ли такси со счетчиками заняты ездой по Риму империи?». Skeptics Stack Exchange . 17 июня 2020 г. Архивировано из оригинала 25 мая 2012 г. Получено 13 февраля 2022 г.
   • Кузино, Фил (2010). Wordcatcher: Одиссея в мир странных и замечательных слов. Simon and Schuster. стр. 58. ISBN 978-1-57344-550-4. OCLC  811492876. Архивировано из оригинала 1 марта 2023 г. . Получено 15 февраля 2022 г. .
6. "calculus" . Оксфордский словарь английского языка (Электронная правка). Oxford University Press . (Требуется подписка или членство в участвующем учреждении.)
7. Клайн, Моррис (1990). Математическая мысль от древних времен до наших дней: Том 1. Oxford University Press. С. 15–21. ISBN 978-0-19-506135-2. Архивировано из оригинала 1 марта 2023 г. . Получено 20 февраля 2022 г. .
8. Имхаузен, Аннет (2016). Математика в Древнем Египте: Контекстуальная история . Princeton University Press. стр. 112. ISBN 978-1-4008-7430-9. OCLC  934433864.
9. См., например:
   • Powers, J. (2020). ""Архимед занимался исчислением?"" (PDF) . Математическая ассоциация Америки . Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 г.
   • Jullien, Vincent (2015). «Архимед и неделимые». Seventeenth-Century Indivisibles Revisited . Научные сети. Исторические исследования. Том 49. Cham: Springer International Publishing. С. 451–457. doi :10.1007/978-3-319-00131-9_18. ISBN 978-3-319-00130-2. ISSN  1421-6329.
   • Пламмер, Брэд (9 августа 2006 г.). «Современная рентгеновская технология раскрывает математическую теорию Архимеда под поддельной картиной». Стэнфордский университет . Архивировано из оригинала 20 января 2022 г. . Получено 28 февраля 2022 г. .
   • Архимед (2004). Труды Архимеда, том 1: Две книги о сфере и цилиндре . Перевод Netz, Reviel. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-66160-7.
   • Грей, Ширли; Уолдман, Сай Х. (20 октября 2018 г.). «Archimedes Redux: Center of Mass Applications from The Method». The College Mathematics Journal . 49 (5): 346–352. doi : 10.1080/07468342.2018.1524647. ISSN  0746-8342. S2CID  125411353.
10. Дун, Лю; Фань, Дайнянь; Коэн, Роберт Сонне (1966). Сравнение исследований кругов Архимеда и Лю Хуэя. Китайские исследования по истории и философии науки и техники. Т. 130. Springer. С. 279. ISBN 978-0-7923-3463-7. Архивировано из оригинала 1 марта 2023 . Получено 15 ноября 2015 ., стр. 279 и далее Архивировано 1 марта 2023 г. на Wayback Machine
11. Dainian Fan; RS Cohen (1996). Китайские исследования в истории и философии науки и техники . Дордрехт: Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-3463-9. OCLC  32272485.
12. Кац, Виктор Дж. (2008). История математики (3-е изд.). Бостон, Массачусетс: Addison-Wesley. стр. 203. ISBN 978-0-321-38700-4.
13. Зилл, Деннис Г.; Райт, Скотт; Райт, Уоррен С. (2009). Исчисление: Ранние трансцендентали (3-е изд.). Jones & Bartlett Learning. стр. xxvii. ISBN 978-0-7637-5995-7. Архивировано из оригинала 1 марта 2023 . Получено 15 ноября 2015 .Выдержка из страницы 27 Архивировано 1 марта 2023 г. на Wayback Machine
14. Katz, Victor J. (июнь 1995 г.). «Идеи исчисления в исламе и Индии». Mathematics Magazine . 68 (3): 163–174. doi :10.1080/0025570X.1995.11996307. ISSN  0025-570X. JSTOR  2691411.
15. Шукла, Крипа Шанкар (1984). «Использование исчисления в индуистской математике». Индийский журнал истории науки . 19 : 95–104.
16. Кук, Роджер (1997). «Математика индусов». История математики: краткий курс . Wiley-Interscience. стр. 213–215. ISBN 0-471-18082-3.
17. «Иоганн Кеплер: его жизнь, его законы и времена». NASA. 24 сентября 2016 г. Архивировано из оригинала 24 июня 2021 г. Получено 10 июня 2021 г.
18. Chisholm, Hugh , ed. (1911). "Исчисление бесконечно малых величин § История"  . Encyclopaedia Britannica . Vol. 14 (11th ed.). Cambridge University Press. p. 537.
19. Вайль, Андре (1984). Теория чисел: подход через историю от Хаммурапи до Лежандра . Бостон: Birkhauser Boston. стр. 28. ISBN 0-8176-4565-9.
20. Холлингдейл, Стюарт (1991). «Обзор книги «До Ньютона: жизнь и времена Исаака Барроу»». Заметки и записи Лондонского королевского общества . 45 (2): 277–279. doi :10.1098/rsnr.1991.0027. ISSN  0035-9149. JSTOR  531707. S2CID  165043307. Наиболее интересными для нас являются Лекции X–XII, в которых Барроу приближается к предоставлению геометрической демонстрации фундаментальной теоремы исчисления... Однако он не осознавал всей значимости своих результатов, и его отказ от алгебры означает, что его работа должна оставаться частью геометрического анализа середины XVII века, представляющей в основном исторический интерес.
21. Брессо, Дэвид М. (2011). «Исторические размышления о преподавании основной теоремы интегрального исчисления». The American Mathematical Monthly . 118 (2): 99. doi :10.4169/amer.math.monthly.118.02.099. S2CID  21473035.
22. Бланк, Брайан Э.; Кранц, Стивен Джордж (2006). Исчисление: одна переменная, том 1 (иллюстрированное издание). Springer Science & Business Media. стр. 248. ISBN 978-1-931914-59-8. Архивировано из оригинала 1 марта 2023 г. . Получено 31 августа 2017 г. .
23. Ферраро, Джованни (2007). Расцвет и развитие теории рядов до начала 1820-х годов (иллюстрированное издание). Springer Science & Business Media. стр. 87. ISBN 978-0-387-73468-2. Архивировано из оригинала 1 марта 2023 г. . Получено 31 августа 2017 г. .
24. Гвиччардини, Никколо (2005). «Исаак Ньютон, Philosophiae naturalis principia mathematica, первое издание (1687 г.)». Знаковые сочинения по западной математике 1640–1940 гг . Эльзевир. стр. 59–87. дои : 10.1016/b978-044450871-3/50086-3. ISBN 978-0-444-50871-3. [Ньютон] сразу понял, что квадратурные задачи (обратные задачи) можно решать с помощью бесконечных рядов: как мы бы сказали сейчас, разлагая подынтегральное выражение в степенной ряд и интегрируя почленно.
25. Grattan-Guinness, I. , ред. (2005). Знаковые труды в западной математике 1640–1940 . Амстердам: Elsevier. ISBN 0-444-50871-6. OCLC  60416766.
26. Лейбниц, Готфрид Вильгельм (2008). Ранние математические рукописи Лейбница. Cosimo, Inc. стр. 228. ISBN 978-1-605-20533-5. Архивировано из оригинала 1 марта 2023 г. . Получено 5 июня 2022 г. .
27. Мазур, Джозеф (2014). Просветляющие символы / Краткая история математической нотации и ее скрытых сил . Princeton University Press. стр. 166. ISBN 978-0-691-17337-5. Лейбниц понимал символы, их концептуальные возможности, а также их ограничения. Он провел годы, экспериментируя с некоторыми из них — корректируя, отвергая и переписываясь со всеми, кого знал, консультируясь с как можно большим количеством ведущих математиков того времени, которые симпатизировали его привередливости.
28. Фраучи, Стивен К .; Оленик, Ричард П.; Апостол, Том М.; Гудштейн , Дэвид Л. (2007). Механическая вселенная: механика и тепло (расширенное издание). Кембридж [Кембриджшир]: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-71590-4. OCLC  227002144.
29. Шрадер, Дороти В. (1962). «Спор Ньютона-Лейбница относительно открытия исчисления». Учитель математики . 55 (5): 385–396. doi :10.5951/MT.55.5.0385. ISSN  0025-5769. JSTOR  27956626.
30. Стедалл, Жаклин (2012). История математики: очень краткое введение . Oxford University Press. ISBN 978-0-191-63396-6.
31. Стенхаус, Бригитта (май 2020 г.). «Ранний вклад Мэри Сомервилл в распространение дифференциального исчисления» (PDF) . Historia Mathematica . 51 : 1–25. doi :10.1016/j.hm.2019.12.001. S2CID  214472568.
32. Аллер, Патрисия Р. (2007). Предисловие. Биография Марии Гаэтаны Аньези, женщины-математика восемнадцатого века . Купильяри , Антонелла . Льюистон, Нью-Йорк : Эдвин Меллен Пресс . п. iii. ISBN 978-0-7734-5226-8.
33. Unlu, Elif (апрель 1995). "Maria Gaetana Agnesi". Agnes Scott College . Архивировано из оригинала 3 декабря 1998 года . Получено 7 декабря 2010 года .
34. Белл, Джон Л. (6 сентября 2013 г.). «Непрерывность и бесконечно малые». Стэнфордская энциклопедия философии . Архивировано из оригинала 16 марта 2022 г. Получено 20 февраля 2022 г.
35. Рассел, Бертран (1946). История западной философии . Лондон: George Allen & Unwin Ltd. стр. 857. Великие математики семнадцатого века были оптимистичны и стремились к быстрым результатам; следовательно, они оставили основы аналитической геометрии и исчисления бесконечно малых ненадежными. Лейбниц верил в реальные бесконечно малые, но хотя эта вера соответствовала его метафизике, она не имела прочной основы в математике. Вейерштрасс вскоре после середины девятнадцатого века показал, как установить исчисление без бесконечно малых, и таким образом, наконец, сделал его логически надежным. Затем появился Георг Кантор, который разработал теорию непрерывности и бесконечного числа. «Непрерывность», пока он не определил ее, была неопределенным словом, удобным для философов, таких как Гегель, которые хотели ввести метафизическую путаницу в математику. Кантор придал точное значение этому слову и показал, что непрерывность, как он ее определил, была концепцией, необходимой математикам и физикам. Таким образом, значительная часть мистицизма, например, бергсоновского, была сделана устаревшей.
36. Грабинер, Джудит В. (1981). Истоки строгого исчисления Коши . Кембридж: MIT Press. ISBN 978-0-387-90527-3.
37. Арчибальд, Том (2008). «Развитие строгости в математическом анализе». В Gowers, Тимоти ; Barrow-Green, Джун ; Leader, Имре (ред.). The Princeton Companion to Mathematics . Princeton University Press. стр. 117–129. ISBN 978-0-691-11880-2. OCLC  682200048.
38. Райс, Адриан (2008). «Хронология математических событий». В Gowers, Тимоти ; Барроу-Грин, Джун ; Лидер, Имре (ред.). The Princeton Companion to Mathematics . Princeton University Press. стр. 1010–1014. ISBN 978-0-691-11880-2. OCLC  682200048.
39. Зигмунд-Шульце, Рейнхард (2008). «Анри Лебег». В Gowers, Тимоти ; Барроу-Грин, Джун ; Лидер, Имре (ред.). The Princeton Companion to Mathematics . Princeton University Press. стр. 796–797. ISBN 978-0-691-11880-2. OCLC  682200048.
40. Барани, Майкл Дж.; Помье, Энн-Сандрин; Лютцен, Йеспер (ноябрь 2017 г.). «От Нанси до Копенгагена и всего мира: интернационализация Лорана Шварца и его теории распределений». Historia Mathematica . 44 (4): 367–394. doi : 10.1016/j.hm.2017.04.002 .
41. Добин, Джозеф В. (2008). «Авраам Робинсон». В Gowers, Тимоти ; Барроу-Грин, Джун ; Лидер, Имре (ред.). The Princeton Companion to Mathematics . Princeton University Press. стр. 822–823. ISBN 978-0-691-11880-2. OCLC  682200048.
42. Клайн, Моррис (1990). Математическая мысль от древних времен до наших дней . Том 3. Нью-Йорк: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-977048-9. OCLC  726764443.
43. фон Нейман, Дж. (1947). «Математик». В Хейвуде, Р. Б. (ред.). Работы разума . Издательство Чикагского университета. С. 180–196. Перепечатано в Bródy, F.; Vámos, T., ред. (1995). The Neumann Compendium . World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. стр. 618–626. ISBN 981-02-2201-7.
44. Герман, Эдвин; Стрэнг, Гилберт ; и др. (2017). Исчисление. Том 1. Хьюстон, Техас: OpenStax. ISBN 978-1-938168-02-4. OCLC  1022848630. Архивировано из оригинала 23 сентября 2022 г. . Получено 26 июля 2022 г. .
45. Ченг, Евгения (2017). Beyond Infinity: An Expedition to the Outer Limits of Mathematics . Basic Books. стр. 206–210. ISBN 978-1-541-64413-7. OCLC  1003309980.
46. Салас, Сатурнино Л.; Хилле, Эйнар (1971). Исчисление; одна и несколько переменных . Уолтем, Массачусетс: Паб Xerox College. ОСЛК  135567.
47. Хьюз-Халлетт, Дебора ; МакКаллум, Уильям Г .; Глисон, Эндрю М .; и др. (2013). Исчисление: одно- и многомерное (6-е изд.). Хобокен, Нью-Джерси: Уайли. ISBN 978-0-470-88861-2. OCLC  794034942.
48. Моебс, Уильям; Линг, Сэмюэл Дж.; Санни, Джефф; и др. (2022). Университетская физика, Том 1 . ОпенСтакс. ISBN 978-1-947172-20-3. OCLC  961352944.
49. См., например:
    • Махони, Майкл С. (1990). «Математика Барроу: между древними и современными». В Feingold, M. (ред.). До Ньютона . Cambridge University Press. стр. 179–249. ISBN 978-0-521-06385-2.
    • Feingold, M. (июнь 1993 г.). «Ньютон, Лейбниц и Барроу: попытка переосмысления». Isis . 84 (2): 310–338. Bibcode :1993Isis...84..310F. doi :10.1086/356464. ISSN  0021-1753. S2CID  144019197.
    • Пробст, Зигмунд (2015). «Лейбниц как читатель и второй изобретатель: случаи Барроу и Менголи». В Гете, Норма Б.; Били, Филипп; Рабуин, Дэвид (ред.). Г. В. Лейбниц, Взаимосвязи между математикой и философией . Архимед: Новые исследования в истории и философии науки и техники. Том 41. Springer. С. 111–134. ISBN 978-9-401-79663-7.
50. Герман, Эдвин; Стрэнг, Гилберт; и др. (2017). Исчисление. Том 2. Хьюстон: OpenStax. ISBN 978-1-5066-9807-6. OCLC  1127050110. Архивировано из оригинала 26 июля 2022 г. . Получено 26 июля 2022 г. .
51. Барон, Маргарет Э. (1969). Истоки исчисления бесконечно малых . Оксфорд: Pergamon Press. ISBN 978-1-483-28092-9. OCLC  892067655.
52. Каяспор, Али (28 августа 2022 г.). «Прекрасные применения исчисления в реальной жизни». Medium . Архивировано из оригинала 26 сентября 2022 г. . Получено 26 сентября 2022 г. .
53. Ху, Чжиин (14 апреля 2021 г.). «Применение и ценность исчисления в повседневной жизни». 2-я Азиатско-Тихоокеанская конференция по обработке изображений, электронике и компьютерам 2021 г. Ipec2021. Далянь, Китай: ACM. стр. 562–564. doi :10.1145/3452446.3452583. ISBN 978-1-4503-8981-5. S2CID  233384462.
54. Кардар, Мехран (2007). Статистическая физика частиц . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-87342-0. OCLC  860391091.
55. Гарбер, Элизабет (2001). Язык физики: исчисление и развитие теоретической физики в Европе, 1750–1914 . Springer Science+Business Media. ISBN 978-1-4612-7272-4. OCLC  921230825.
56. Холл, Грэм (2008). «Электромагнитная теория Максвелла и специальная теория относительности». Philosophical Transactions: Mathematical, Physical and Engineering Sciences . 366 (1871): 1849–1860. Bibcode : 2008RSPTA.366.1849H. doi : 10.1098/rsta.2007.2192. ISSN  1364-503X. JSTOR  25190792. PMID  18218598. S2CID  502776.
57. Gbur, Greg (2011). Математические методы для оптической физики и техники . Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 978-0-511-91510-9. OCLC  704518582.
58. Atkins, Peter W.; Jones, Loretta (2010). Химические принципы: поиски понимания (5-е изд.). Нью-Йорк: WH Freeman. ISBN 978-1-4292-1955-6. OCLC  501943698.
59. Мюррей, Дж. Д. (2002). Математическая биология. I, Введение (3-е изд.). Нью-Йорк: Springer. ISBN 0-387-22437-8. OCLC  53165394.
60. Нойхаузер, Клаудия (2011). Исчисление для биологии и медицины (3-е изд.). Бостон: Prentice Hall. ISBN 978-0-321-64468-8. OCLC  426065941.
61. Гаттердам, РВ (1981). «Планиметр как пример теоремы Грина». The American Mathematical Monthly . 88 (9): 701–704. doi :10.2307/2320679. JSTOR  2320679.
62. Адам, Джон А. (июнь 2011 г.). «Ветвление кровеносных сосудов: за пределами стандартной проблемы исчисления». Mathematics Magazine . 84 (3): 196–207. doi :10.4169/math.mag.84.3.196. ISSN  0025-570X. S2CID  8259705.
63. Маккензи, Дана (2004). «Математическое моделирование и рак» (PDF) . SIAM News . 37 (1). Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 г.
64. Перлофф, Джеффри М. (2018). Микроэкономика: теория и приложения с исчислением (4-е глобальное издание). Harlow: Pearson. ISBN 978-1-292-15446-6. OCLC  1064041906.

Дальнейшее чтение

• Адамс, Роберт А. (1999). Исчисление: Полный курс . Эддисон-Уэсли. ISBN 978-0-201-39607-2.
• Альберс, Дональд Дж.; Андерсон, Ричард Д.; Лофтсгаарден, Дон О., ред. (1986). Программы бакалавриата по математике и компьютерным наукам: обзор 1985–1986 гг . Математическая ассоциация Америки.
• Антон, Ховард; Бивенс, Ирл; Дэвис, Стивен (2002). Исчисление . John Wiley and Sons Pte. Ltd. ISBN 978-81-265-1259-1.
• Апостол, Том М. (1967). Исчисление, том 1, Одномерное исчисление с введением в линейную алгебру . Wiley. ISBN 978-0-471-00005-1.
• Апостол, Том М. (1969). Исчисление, том 2, Многомерное исчисление и линейная алгебра с приложениями . Wiley. ISBN 978-0-471-00007-5.
• Белл, Джон Лейн (1998). Учебник по анализу бесконечно малых . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-62401-5.Использует синтетическую дифференциальную геометрию и нильпотентные бесконечно малые величины.
• Boelkins, M. (2012). Active Calculus: a free, open text (PDF) . Архивировано из оригинала 30 мая 2013 . Получено 1 февраля 2013 .
• Бойер, Карл Бенджамин (1959) [1949]. История исчисления и его концептуальное развитие (ред. Дувра). Хафнер. ISBN 0-486-60509-4.
• Каджори, Флориан (сентябрь 1923 г.). «История обозначений исчисления». Annals of Mathematics . 2-я серия. 25 (1): 1–46. doi :10.2307/1967725. hdl : 2027/mdp.39015017345896 . JSTOR  1967725.
• Курант, Ричард (3 декабря 1998 г.). Введение в исчисление и анализ 1 . ISBN 978-3-540-65058-4.
• Гоник, Ларри (2012). Карикатурное руководство по исчислению . Уильям Морроу. ISBN 978-0-061-68909-3. OCLC  932781617.
• Keisler, HJ (2000). Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals . Получено 29 августа 2010 г. с сайта http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html Архивировано 1 мая 2011 г. на Wayback Machine
• Ландау, Эдмунд (2001). Дифференциальное и интегральное исчисление . Американское математическое общество . ISBN 0-8218-2830-4.
• Лебедев, Леонид П.; Клауд, Майкл Дж. (2004). «Инструменты исчисления». Аппроксимация совершенства: путешествие математика в мир механики . Princeton University Press. Bibcode :2004apmj.book.....L.
• Ларсон, Рон ; Эдвардс, Брюс Х. (2010). Исчисление (9-е изд.). Brooks Cole Cengage Learning. ISBN 978-0-547-16702-2.
• МакКуорри, Дональд А. (2003). Математические методы для ученых и инженеров . Университетские научные книги. ISBN 978-1-891389-24-5.
• Pickover, Cliff (2003). Исчисление и пицца: математическая кулинарная книга для голодного ума . John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-26987-8.
• Салас, Сатурнино Л.; Хилле, Эйнар ; Этген, Гаррет Дж. (2007). Исчисление: одна и несколько переменных (10-е изд.). Уайли . ISBN 978-0-471-69804-3.
• Спивак, Майкл (сентябрь 1994). Исчисление . Издательское дело «Опубликуй или погибни». ISBN 978-0-914098-89-8.
• Стин, Линн Артур , ред. (1988). Исчисление для нового века; Насос, а не фильтр . Математическая ассоциация Америки . ISBN 0-88385-058-3.
• Стюарт, Джеймс (2012). Исчисление: Ранние трансцендентали (7-е изд.). Brooks Cole Cengage Learning. ISBN 978-0-538-49790-9.
• Томас, Джордж Бринтон ; Финни, Росс Л.; Вейр, Морис Д. (1996). Исчисление и аналитическая геометрия, часть 1. Эддисон Уэсли. ISBN 978-0-201-53174-9.
• Томас, Джордж Б .; Вейр, Морис Д.; Хасс, Джоэл ; Джордано, Фрэнк Р. (2008). Исчисление (11-е изд.). Эддисон-Уэсли. ISBN 978-0-321-48987-6.
• Томпсон, Сильванус П.; Гарднер , Мартин (1998). Calculus Made Easy . ISBN 978-0-312-18548-0.

Внешние ссылки

• «Исчисление», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Исчисление». MathWorld .
• Темы по исчислению на PlanetMath .
• Calculus Made Easy (1914) Сильвануса П. Томпсона Полный текст в формате PDF
• Исчисление в программе «В наше время » на BBC
• Calculus.org: Страница Calculus в Калифорнийском университете в Дэвисе, содержащая ресурсы и ссылки на другие сайты.
• Самые ранние известные применения некоторых слов из математики: исчисление и анализ
• Роль исчисления в университетской математике. Архивировано 26 июля 2021 г. на Wayback Machine с сайта ERICDigests.org.
• OpenCourseWare Calculus от Массачусетского технологического института
• Исчисление бесконечно малых величин – статья о его историческом развитии в «Энциклопедии математики» под ред. Михиэля Хазевинкеля .
• Дэниел Клейтман, Массачусетский технологический институт. «Исчисление для начинающих и художников».
• Учебные материалы по исчислению на imomath.com
• (на английском и арабском языках) Экскурс в исчисление, 1772 г.