Алгебры CCR и CAR

Канонические коммутационные или антикоммутационные соотношения

В математике и физике алгебры CCR (после канонических коммутационных соотношений ) и алгебры CAR (после канонических антикоммутационных соотношений) возникают из квантово-механического изучения бозонов и фермионов соответственно. Они играют видную роль в квантовой статистической механике ^[1] и квантовой теории поля .

CCR и CAR как *-алгебры

Пусть — вещественное векторное пространство, снабженное невырожденной вещественной антисимметричной билинейной формой (т.е. симплектическим векторным пространством ). Унитальная *-алгебра, порожденная элементами подчинена соотношениям ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle fg-gf=i(f,g)\,}$

${\displaystyle f^{*}=f,\,}$

для любого в называется алгеброй канонических коммутационных соотношений (ККС) . Единственность представлений этой алгебры при конечномерности обсуждается в теореме Стоуна–фон Неймана . ${\displaystyle f,~g}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

Если вместо этого снабжена невырожденной вещественной симметричной билинейной формой , то унитальная *-алгебра, порожденная элементами , подчиняется соотношениям ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle fg+gf=(f,g),\,}$

${\displaystyle f^{*}=f,\,}$

для любого в называется алгеброй канонических антикоммутационных соотношений (КАС) . ${\displaystyle f,~g}$ ${\displaystyle V}$

C*-алгебра CCR

Существует отличное, но тесно связанное значение CCR-алгебры, называемое CCR C*-алгеброй. Пусть будет вещественным симплектическим векторным пространством с невырожденной симплектической формой . В теории операторных алгебр CCR-алгебра над является унитальной C*-алгеброй, порожденной элементами , подчиненными ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \{W(f):~f\in H\}}$

${\displaystyle W(f)W(g)=e^{-i(f,g)}W(f+g),\,}$

${\displaystyle W(f)^{*}=W(-f).\,}$

Они называются формой Вейля канонических коммутационных соотношений и, в частности, они подразумевают, что каждое из них унитарно и . Хорошо известно, что алгебра CCR является простой (если только симплектическая форма не вырождена) несепарабельной алгеброй и является единственной с точностью до изоморфизма. [ ^2] ${\displaystyle W(f)}$ ${\displaystyle W(0)=1}$

Когда — комплексное гильбертово пространство и задается мнимой частью скалярного произведения, алгебра ККС точно представлена ​​в симметричном пространстве Фока над , положив ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle W(f)\left(1,g,{\frac {g^{\otimes 2}}{2!}},{\frac {g^{\otimes 3}}{3!}},\ldots \right)=e^{-{\frac {1}{2}}\|f\|^{2}-\langle f,g\rangle }\left(1,f+g,{\frac {(f+g)^{\otimes 2}}{2!}},{\frac {(f+g)^{\otimes 3}}{3!}},\ldots \right),}$

для любого . Операторы поля определяются для каждого как генератор однопараметрической унитарной группы на симметричном пространстве Фока. Это самосопряженные неограниченные операторы , однако они формально удовлетворяют ${\displaystyle f,g\in H}$ ${\displaystyle B(f)}$ ${\displaystyle f\in H}$ ${\displaystyle (W(tf))_{t\in \mathbb {R} }}$

${\displaystyle B(f)B(g)-B(g)B(f)=2i\operatorname {Im} \langle f,g\rangle .}$

Так как задание является вещественно-линейным, то операторы определяют алгебру CCR над в смысле раздела 1. ${\displaystyle f\mapsto B(f)}$ ${\displaystyle B(f)}$ ${\displaystyle (H,2\operatorname {Im} \langle \cdot ,\cdot \rangle )}$

C*-алгебра CAR

Пусть — гильбертово пространство. В теории операторных алгебр CAR-алгебра — это единственное C*-пополнение комплексной унитальной *-алгебры, порожденное элементами, подчиненными соотношениям ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \{b(f),b^{*}(f):~f\in H\}}$

${\displaystyle b(f)b^{*}(g)+b^{*}(g)b(f)=\langle f,g\rangle ,\,}$

${\displaystyle b(f)b(g)+b(g)b(f)=0,\,}$

${\displaystyle \lambda b^{*}(f)=b^{*}(\lambda f),\,}$

${\displaystyle b(f)^{*}=b^{*}(f),\,}$

для любого , . Когда является отделимой, алгебра CAR является алгеброй AF и в частном случае является бесконечномерной, ее часто записывают как . ^[3] ${\displaystyle f,g\in H}$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {M_{2^{\infty }}(\mathbb {C} )}}$

Пусть — антисимметричное пространство Фока над и пусть — ортогональная проекция на антисимметричные векторы: ${\displaystyle F_{a}(H)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle P_{a}}$

${\displaystyle P_{a}:\bigoplus _{n=0}^{\infty }H^{\otimes n}\to F_{a}(H).\,}$

Алгебра CAR точно представлена ​​на , устанавливая ${\displaystyle F_{a}(H)}$

${\displaystyle b^{*}(f)P_{a}(g_{1}\otimes g_{2}\otimes \cdots \otimes g_{n})=P_{a}(f\otimes g_{1}\otimes g_{2}\otimes \cdots \otimes g_{n})\,}$

для всех и . Тот факт, что они образуют C*-алгебру, обусловлен тем, что операторы рождения и уничтожения в антисимметричном пространстве Фока являются добросовестными ограниченными операторами . Более того, операторы поля удовлетворяют ${\displaystyle f,g_{1},\ldots ,g_{n}\in H}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle B(f):=b^{*}(f)+b(f)}$

${\displaystyle B(f)B(g)+B(g)B(f)=2\mathrm {Re} \langle f,g\rangle ,\,}$

давая связь с Разделом 1.

Обобщение супералгебры

Пусть будет вещественным - градуированным векторным пространством, снабженным невырожденной антисимметричной билинейной суперформой (т.е. ) такой, что является вещественным, если один из или является четным элементом, и мнимым , если оба они нечетные. Унитальная *-алгебра, порожденная элементами подчинена соотношениям ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle (g,f)=-(-1)^{|f||g|}(f,g)}$ ${\displaystyle (f,g)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle fg-(-1)^{|f||g|}gf=i(f,g)\,}$

${\displaystyle f^{*}=f,~g^{*}=g\,}$

для любых двух чистых элементов в является очевидным обобщением супералгебры , которое объединяет CCR с CAR: если все чистые элементы четные, то получается CCR, а если все чистые элементы нечетные, то получается CAR. ${\displaystyle f,~g}$ ${\displaystyle V}$

В математике абстрактная структура алгебр CCR и CAR над любым полем, а не только над комплексными числами, изучается под названием алгебры Вейля и Клиффорда , где было получено много важных результатов. Одним из них является то, что градуированные обобщения алгебр Вейля и Клиффорда допускают безбазисную формулировку канонических коммутационных и антикоммутационных соотношений в терминах симплектической и симметричной невырожденной билинейной формы. Кроме того, бинарные элементы в этой градуированной алгебре Вейля дают безбазисную версию коммутационных соотношений симплектической и неопределенно -ортогональной алгебры Ли . ^[4]

Смотрите также

• Статистика Бозе-Эйнштейна
• Статистика Ферми-Дирака
• Глоссарий теории струн
• Группа Гейзенберга
• Преобразование Боголюбова
• (−1) ^Ф

Ссылки

1. Браттели, Ола ; Робинсон, Дерек В. (1997). Операторные алгебры и квантовая статистическая механика: т.2 . Springer, 2-е изд. ISBN 978-3-540-61443-2.
2. Петц, Денес (1990). Приглашение в алгебру канонических коммутационных соотношений. Издательство Leuven University Press. ISBN 978-90-6186-360-1.
3. Эванс, Дэвид Э .; Кавахигаши, Ясуюки (1998). Квантовые симметрии в операторных алгебрах . Oxford University Press. ISBN 978-0-19-851175-5..
4. Роджер Хоу (1989). «Замечания о классической теории инвариантов». Труды Американского математического общества . 313 (2): 539–570. doi : 10.1090/S0002-9947-1989-0986027-X . JSTOR  2001418.