Карта включения

Теоретико-множественная функция

${\displaystyle A}$является подмножеством и является надмножеством​​ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A.}$

В математике , если это подмножество , то отображение включения — это функция , которая переводит каждый элемент в в, рассматриваемый как элемент ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle \iota }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle B:}$ $${\displaystyle \iota :A\rightarrow B,\qquad \iota (x)=x.}$$

Карту включения также можно называть функцией включения , вставкой ^[1] или канонической инъекцией .

«Крючковатая стрелка» ( U+ 21AA ↪ СТРЕЛКА ВПРАВО С КРЮКОМ ) ^[2] иногда используется вместо функциональной стрелки выше для обозначения карты включения; таким образом: $${\displaystyle \iota :A\hookrightarrow B.}$$

(Однако некоторые авторы используют эту крючковатую стрелку для любого встраивания .)

Эту и другие аналогичные инъективные функции ^[3] из подструктур иногда называют естественными инъекциями .

Учитывая любой морфизм между объектами и , если существует отображение включения в область , то можно сформировать ограничение Во многих случаях можно также построить каноническое включение в область значений, известную как диапазон ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \iota :A\to X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\circ \iota }$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle R\to Y}$ ${\displaystyle f.}$

Применение карт включения

Карты включения, как правило, являются гомоморфизмами алгебраических структур ; таким образом, такие карты включения являются вложениями . Точнее, если подструктура замкнута относительно некоторых операций, карта включения будет вложением по тавтологическим причинам. Например, для некоторой бинарной операции требовать, чтобы было просто сказано, что последовательно вычисляется в подструктуре и большой структуре. Случай унарной операции аналогичен; но следует также рассмотреть нуль-арные операции, которые выбирают постоянный элемент. Здесь суть в том, что замыкание означает, что такие константы уже должны быть заданы в подструктуре. ${\displaystyle \star ,}$ $${\displaystyle \iota (x\star y)=\iota (x)\star \iota (y)}$$ ${\displaystyle \star }$

Отображения включения встречаются в алгебраической топологии , где если — сильный деформационный ретракт отображения включения, то он даёт изоморфизм между всеми гомотопическими группами (то есть, это гомотопическая эквивалентность ). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$

В геометрии отображения включения бывают разных видов: например, вложения подмногообразий . Контравариантные объекты ( то есть объекты, имеющие обратные образы ; они называются ковариантными в более старой и не связанной терминологии), такие как дифференциальные формы, ограничиваются подмногообразиями, давая отображение в другом направлении . Другой пример, более сложный, — это аффинные схемы , для которых включения и могут быть различными морфизмами , где — коммутативное кольцо , а — идеал $${\displaystyle \operatorname {Spec} \left(R/I\right)\to \operatorname {Spec} (R)}$$ $${\displaystyle \operatorname {Spec} \left(R/I^{2}\right)\to \operatorname {Spec} (R)}$$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R.}$

Смотрите также

• Кофибрация  – непрерывное отображение между топологическими пространствамиСтраницы, отображающие описания викиданных в качестве резерва
• Функция тождества  — в математике функция, которая всегда возвращает то же значение, которое использовалось в качестве ее аргумента.

Ссылки

1. Маклейн, С.; Биркгоф, Г. (1967). Алгебра . Провиденс, Род-Айленд: Издательство AMS Chelsea. п. 5. ISBN 0-8218-1646-2. Обратите внимание, что «вставка» — это функция S → U , а «включение» — это отношение S ⊂ U ; каждое отношение включения порождает функцию вставки.
2. "Стрелки – Unicode" (PDF) . Консорциум Unicode . Получено 2017-02-07 .
3. Шевалле, К. (1956). Основные понятия алгебры . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Academic Press. п. 1. ISBN 0-12-172050-0.