Стандартная основа

Векторы, все компоненты которых равны 0, за исключением одного, который равен 1

Каждый вектор a в трех измерениях представляет собой линейную комбинацию стандартных базисных векторов i , j и k .

В математике стандартный базис (также называемый естественным базисом или каноническим базисом ) координатного векторного пространства (такого как или ) представляет собой множество векторов, каждый из компонентов которых равен нулю, за исключением одного, который равен 1. ^[1] Например, в случае евклидовой плоскости , образованной парами ( x , y ) действительных чисел , стандартный базис образован векторами Аналогично стандартный базис для трехмерного пространства образован векторами ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ $${\displaystyle \mathbf {e} _{x}=(1,0),\quad \mathbf {e} _{y}=(0,1).}$$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ $${\displaystyle \mathbf {e} _{x}=(1,0,0),\quad \mathbf {e} _{y}=(0,1,0),\quad \mathbf {e} _{z}=(0,0,1).}$$

Здесь вектор e _x указывает в направлении x , вектор ey указывает в направлении y _, а вектор e _z указывает в направлении z . Существует несколько общих обозначений для векторов со стандартным базисом, включая { e _x ,  ey ,  e _{z }} , { e ₁ ,  e ₂ ,  e ₃ }, { i ,  j ,  k } и { x ,  y ,  z }. Эти векторы иногда пишутся со шляпой , чтобы подчеркнуть их статус как единичных векторов ( стандартных единичных векторов ).

Эти векторы являются базисом в том смысле, что любой другой вектор может быть однозначно выражен как линейная комбинация этих векторов. ^[2] Например, каждый вектор v в трехмерном пространстве может быть однозначно записан в виде скаляров , ,  являющихся  скалярными компонентами вектора v . $${\displaystyle v_{x}\,\mathbf {e} _{x}+v_{y}\,\mathbf {e} _{y}+v_{z}\,\mathbf {e} _{z},}$$ ${\displaystyle v_{x}}$ ${\displaystyle v_{y}}$ ${\displaystyle v_{z}}$

В n - мерном евклидовом пространстве стандартный базис состоит из n различных векторов _, где ei обозначает вектор с 1 в i -й координате и нулями в остальных местах. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle \{\mathbf {e} _{i}:1\leq i\leq n\},}$$

Стандартные базисы могут быть определены для других векторных пространств , определение которых включает коэффициенты , такие как многочлены и матрицы . В обоих случаях стандартный базис состоит из элементов пространства, таких как все коэффициенты, кроме одного, равны 0, а ненулевой равен 1. Для многочленов стандартный базис, таким образом, состоит из мономов и обычно называется мономиальным базисом . Для матриц стандартный базис состоит из матриц размера m × n с ровно одним ненулевым элементом, равным 1. Например, стандартный базис для матриц размера 2×2 образован 4 матрицами ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{m\times n}}$ $${\displaystyle \mathbf {e} _{11}={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}},\quad \mathbf {e} _{12}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},\quad \mathbf {e} _{21}={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}},\quad \mathbf {e} _{22}={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}.}$$

Характеристики

По определению, стандартный базис — это последовательность ортогональных единичных векторов . Другими словами , это упорядоченный и ортонормированный базис.

Однако упорядоченный ортонормированный базис не обязательно является стандартным базисом. Например, два вектора, представляющие поворот на 30° двумерного стандартного базиса, описанного выше, т.е. , также являются ортогональными единичными векторами, но они не выровнены с осями декартовой системы координат , поэтому базис с этими векторами не соответствует определению стандартного базиса. $${\displaystyle v_{1}=\left({{\sqrt {3}} \over 2},{1 \over 2}\right)\,}$$ $${\displaystyle v_{2}=\left({1 \over 2},{-{\sqrt {3}} \over 2}\right)\,}$$

Обобщения

Существует также стандартный базис для кольца многочленов от n неизвестных над полем , а именно мономы .

Все вышеперечисленное является частными случаями индексированного семейства , где — любое множество, а — символ Кронекера , равный нулю всякий раз, когда i ≠ j , и равный 1, если i = j . Это семейство является каноническим базисом R -модуля ( свободного модуля ) всех семейств из I в кольцо R , которые равны нулю, за исключением конечного числа индексов , если мы интерпретируем 1 как 1 _R , единицу в R. ^[3 ] $${\displaystyle {(e_{i})}_{i\in I}=((\delta _{ij})_{j\in I})_{i\in I}}$$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \delta _{ij}}$ $${\displaystyle R^{(I)}}$$ $${\displaystyle f=(f_{i})}$$

Другие применения

Существование других «стандартных» базисов стало предметом интереса в алгебраической геометрии , начиная с работы Ходжа 1943 года о грассманианах . Теперь это часть теории представлений, называемой стандартной теорией мономов . Идея стандартного базиса в универсальной обертывающей алгебре алгебры Ли установлена ​​теоремой Пуанкаре–Биркгофа–Витта .

Базисы Грёбнера иногда также называют стандартными базисами.

В физике стандартные базисные векторы для данного евклидова пространства иногда называют векторами осей соответствующей декартовой системы координат.

Смотрите также

• Канонические единицы
• Примеры векторных пространств § Обобщенное координатное пространство

Цитаты

1. Роман 2008, стр. 47, гл. 1.
2. Акслер (2015) стр. 39-40, §2.29
3. Роман 2008, стр. 131, гл. 5.

Ссылки

• Axler, Sheldon (2015) [18 декабря 2014 г.]. Линейная алгебра, сделанная правильно . Бакалаврские тексты по математике (3-е изд.). Springer Publishing . ISBN 978-3-319-11079-0.
• Роман, Стивен (2008). Продвинутая линейная алгебра . Graduate Texts in Mathematics (Третье изд.). Springer. ISBN 978-0-387-72828-5.(страница 47)
• Райан, Патрик Дж. (2000). Евклидова и неевклидова геометрия: аналитический подход . Кембридж; Нью-Йорк: Cambridge University Press. ISBN 0-521-27635-7.(страница 198)
• Шнайдер, Филип Дж.; Эберли, Дэвид Х. (2003). Геометрические инструменты для компьютерной графики . Амстердам; Бостон: Morgan Kaufmann Publishers. ISBN 1-55860-594-0.(страница 112)