Категория компактно порожденных слабых хаусдорфовых пространств

В математике категория компактно порожденных слабых хаусдорфовых пространств , CGWH, является категорией, используемой в алгебраической топологии в качестве альтернативы категории топологических пространств , Top , поскольку последняя не обладает некоторыми свойствами, которые распространены на практике и часто удобны для использования в доказательствах. Существует также такая категория для аналога CGWH точечных топологических пространств , определяемая требованием к отображениям сохранять базовые точки. ^[1]

Статьи компактно сгенерированное пространство и слабое хаусдорфово пространство определяют соответствующие топологические свойства. Для исторической мотивации этих условий на пространствах см. Компактно сгенерированное пространство#Мотивация . Эта статья фокусируется на свойствах категории.

Характеристики

CGWH обладает следующими свойствами:

• Он является полным ^[2] и сополным. ^[3]
• Забывающий функтор множеств сохраняет малые пределы. ^[2]
• Он содержит все локально компактные хаусдорфовы пространства ^[4] и все CW-комплексы . ^[5]
• Внутренний Hom существует для любых пар пространств X и Y ; ^{[6] [7]} он обозначается или и называется (свободным) пространством отображения из X в Y . Более того, существует гомеоморфизм ${\displaystyle \operatorname {Map} (X,Y)}$ ${\displaystyle Y^{X}}$

  ${\displaystyle \operatorname {Map} (X\times Y,Z)\simeq \operatorname {Map} (X,\operatorname {Map} (Y,Z))}$

это естественно в X , Y и Z. ^[8] Короче говоря , категория является декартово замкнутой в обогащенном смысле.

• Конечным произведением комплексов CW является комплекс CW. ^[9]
• Если и являются точечными пространствами, то существует их smash-произведение . ^[10] (Базовое) пространство отображений из в состоит из всех сохраняющих базовую точку отображений из в и является замкнутым подпространством пространства отображений между базовыми пространствами без базовых точек. ^[11] Это базовое пространство с базовой точкой — единственным постоянным отображением. Более того, для базовых пространств , , и существует гомеоморфизм ${\displaystyle (X,*)}$ ${\displaystyle (Y,\circ )}$ ${\displaystyle \operatorname {Map} ((X,*),(Y,\circ ))}$ ${\displaystyle (X,*)}$ ${\displaystyle (Y,\circ )}$ ${\displaystyle (X,*)}$ ${\displaystyle (Y,\circ )}$ ${\displaystyle (X,*)}$ ${\displaystyle (Y,\circ )}$ ${\displaystyle (Z,\star )}$

  ${\displaystyle \operatorname {Map} ((X,*)\wedge (Y,\circ ),(Z,\star ))\simeq \operatorname {Map} ((X,*),\operatorname {Map} ((Y,\circ ),(Z,\star )))}$

что естественно в , , и . ^[12] ${\displaystyle (X,*)}$ ${\displaystyle (Y,\circ )}$ ${\displaystyle (Z,\star )}$

Примечания

1. Стрикленд 2009, Определение 4.1.
2. Strickland 2009, Предложение 2.30.
3. Стрикленд 2009, Следствие 2.23.
4. Стрикленд 2009, Предложение 1.7.
5. Франкленд 2013, Предложение 3.2.
6. Стрикленд 2009, Предложение 2.24.
7. Франкленд 2013, Предложение 2.10.
8. Стрикленд 2009, Предложение 2.12.
9. Франкланд 2013, Предложение 4.2.
10. Стрикленд 2009, § 5.
11. Стрикленд 2009, Примечание 5.6.
12. Стрикленд 2009, Предложение 5.7.

Ссылки

• Франкланд, Мартин (4 февраля 2013 г.). «Математика 527 — Теория гомотопий — Компактно порожденные пространства» (PDF) .
• Стинрод, NE (1 мая 1967 г.). «Удобная категория топологических пространств». Michigan Mathematical Journal . 14 (2): 133–152. doi : 10.1307/mmj/1028999711 .
• Стрикленд, Нил (2009). «Категория пространств CGWH» (PDF) .
• «Приложение». Ячеистые структуры в топологии . 1990. С. 241–305. doi :10.1017/CBO9780511983948.007. ISBN 9780521327848.

Дальнейшее чтение

• Категория CGWH, Донгрюль Ким 2017