В теории категорий , разделе математики, категория элементов предпучка — это категория , связанная с этим предпучком, объектами которого являются элементы множеств в предпучке.
Категория элементов симплициального множества является фундаментальной в теории симплициальной гомотопии, разделе алгебраической топологии . В более общем плане, категория элементов играет ключевую роль в доказательстве того, что каждый взвешенный копредел может быть выражен как обычный копредел, что, в свою очередь, необходимо для основных результатов в теории точечных левых расширений Кана и характеристики категории предпучка как свободного копополнения категории.
Пусть будет категорией и пусть будет многозначным функтором . Категория el( F ) элементов F (также обозначается ∫ C F ) — это категория, у которой:
Эквивалентное определение состоит в том, что категория элементов — это категория запятой ∗↓ F , где ∗ — синглтон (множество с одним элементом).
Категория элементов F естественным образом снабжена функтором проекции Π: ∫ C F → C , который переводит объект ( A , a ) в A , а стрелку ( A , a )→( B , b ) в ее базовую стрелку в C .
Для малых C эта конструкция может быть расширена до функтора ∫ C из Ĉ в Cat , категорию малых категорий . Используя лемму Йонеды, можно показать, что ∫ C P ≅ y ↓ P , где y : C → Ĉ — вложение Йонеды. Этот изоморфизм естественен в P и, таким образом, функтор ∫ C естественно изоморфен y ↓–: Ĉ → Cat .
