В математике категория Ord имеет предупорядоченные множества как объекты и функции сохранения порядка как морфизмы . Это категория, поскольку композиция двух функций сохранения порядка сохраняет порядок, а тождественное отображение сохраняет порядок .
Мономорфизмы в Ord являются инъективными функциями, сохраняющими порядок.
Пустой набор (рассматриваемый как предупорядоченный набор) является начальным объектом Ord , а конечные объекты являются именно одноэлементными предупорядоченными наборами. Таким образом , в Ord нет нулевых объектов .
Категориальное произведение в Ord задается порядком произведения декартова произведения .
У нас есть забывчивый функтор Ord → Set , который назначает каждому предупорядоченному множеству базовое множество , а каждой функции, сохраняющей порядок, базовую функцию . Этот функтор является точным , и поэтому Ord является конкретной категорией . Этот функтор имеет левый сопряженный (отправляющий каждое множество в это множество, снабженное отношением равенства) и правый сопряженный (отправляющий каждое множество в это множество, снабженное отношением тотала).
Набор морфизмов (функций, сохраняющих порядок) между двумя предпорядками на самом деле имеет больше структуры, чем набор. Он может быть преобразован в предупорядоченный набор с помощью поточечного отношения:
Этот предупорядоченный набор, в свою очередь, можно рассматривать как категорию, что делает Ord 2-категорией ( дополнительные аксиомы 2-категории тривиально выполняются, поскольку любое уравнение параллельных морфизмов истинно в посетальой категории ).
При такой 2-категорной структуре псевдофунктор F из категории C в Ord задается теми же данными, что и 2-функтор, но имеет ослабленные свойства:
где x ≃ y означает x ≤ y и y ≤ x .