Причинная система

Система, в которой результат зависит только от прошлых и текущих входов

В теории управления причинная система (также известная как физическая или непредвиденная система ) — это система , в которой выходной сигнал зависит от прошлых и текущих входных данных, но не от будущих входных данных, т. е. выходной результат зависит только от входных данных для значений . ${\displaystyle y(t_{0})}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle t\leq t_{0}}$

Идея о том, что результат функции в любой момент времени зависит только от прошлых и настоящих значений входных данных, определяется свойством, обычно называемым причинностью . Система, которая имеет некоторую зависимость от входных значений из будущего (помимо возможной зависимости от прошлых или текущих входных значений), называется некаузальной или акаузальной системой , а система, которая зависит исключительно от будущих входных значений, является антикаузальной системой . Обратите внимание, что некоторые авторы определяют антикаузальную систему как систему, которая зависит исключительно от будущих и настоящих входных значений или, проще говоря, как систему, которая не зависит от прошлых входных значений. ^[1]

Классически природа или физическая реальность считалась причинной системой. Физика, включающая специальную теорию относительности или общую теорию относительности , требует более тщательного определения причинности, как подробно описано в книге « Причинность (физика)» .

Причинность систем также играет важную роль в цифровой обработке сигналов , где фильтры конструируются так, чтобы они были причинными, иногда путем изменения непричинной формулировки, чтобы устранить отсутствие причинности, чтобы ее можно было реализовать. Для получения дополнительной информации см. причинный фильтр .

Для причинной системы импульсная реакция системы должна использовать только настоящие и прошлые значения входных данных для определения выходных данных. Это требование является необходимым и достаточным условием причинности системы независимо от ее линейности. Обратите внимание, что аналогичные правила применяются как к дискретным, так и к непрерывным случаям. Согласно этому определению, не требующему будущих входных значений, системы должны быть каузальными для обработки сигналов в реальном времени. ^[2]

Математические определения

Определение 1: Отображение системы в является причинным тогда и только тогда, когда для любой пары входных сигналов и любого выбора таких, что ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x_{1}(t)}$ ${\displaystyle x_{2}(t)}$ ${\displaystyle t_{0}}$

${\displaystyle x_{1}(t)=x_{2}(t),\quad \forall \ t<t_{0},}$

соответствующие выходные данные удовлетворяют

${\displaystyle y_{1}(t)=y_{2}(t),\quad \forall \ t<t_{0}.}$

Определение 2: Предположим , это импульсная характеристика любой системы, описываемой линейным дифференциальным уравнением с постоянным коэффициентом. Система является причинной тогда и только тогда, когда ${\displaystyle h(t)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle h(t)=0,\quad \forall \ t<0}$

в противном случае оно не является причинным.

Примеры

Следующие примеры относятся к системам с входом и выходом . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Примеры причинных систем

• Система без памяти

${\displaystyle y\left(t\right)=1-x\left(t\right)\cos \left(\omega t\right)}$

• Система с поддержкой памяти

${\displaystyle y\left(t\right)=1+x\left(t\right)\cos \left(\omega t\right)}$

• Авторегрессионный фильтр

${\displaystyle y\left(t\right)=\int _{0}^{\infty }x(t-\tau )e^{-\beta \tau }\,d\tau }$

Примеры непричинных (акаузальных) систем

${\displaystyle y(t)=\int _{-\infty }^{\infty }\sin(t+\tau )x(\tau )\,d\tau }$

• Центральная скользящая средняя

${\displaystyle y_{n}={\frac {1}{2}}\,x_{n-1}+{\frac {1}{2}}\,x_{n+1}}$

Примеры антипричинных систем

${\displaystyle y(t)=\int _{0}^{\infty }x(t+\tau )\,d\tau }$

• Смотреть вперед

${\displaystyle y_{n}=x_{n+1}}$

Смотрите также

• Причинная модель

Рекомендации

1. Карими, К.; Гамильтон, HJ (2011). «Генерация и интерпретация временных правил принятия решений». Международный журнал компьютерных информационных систем и приложений промышленного управления . 3 . arXiv : 1004.3334 .
2. Макклеллан, Джеймс Х.; Шафер, Рональд В.; Йодер, Марк А. (2015). DSP первое, второе издание . Пирсон Образование. п. 151. ИСБН 978-0136019251.

• Оппенгейм, Алан В.; Уиллски, Алан С.; Наваб, Хамид; с С. Хамидом (1998). Сигналы и системы . Пирсон Образование. ISBN 0-13-814757-4.