В математике классовая формация — это топологическая группа, действующая на модуль , удовлетворяющий определенным условиям. Классовые образования были введены Эмилем Артином и Джоном Тейтом для организации различных групп и модулей Галуа , которые появляются в теории полей классов .
Формация — это топологическая группа G вместе с топологическим G -модулем A , на котором G действует непрерывно.
Слой E / F формации — это пара открытых подгрупп E , F группы G такая, что F — подгруппа конечного индекса группы E. Он называется нормальным слоем , если F — нормальная подгруппа группы E , и циклическим слоем , если, кроме того, факторгруппа циклическая. Если E — подгруппа G , то A E определяется как элементы A , фиксированные E. Мы пишем
для группы когомологий Тейта H n ( E / F , A F ) всякий раз, когда E / F — нормальный слой. (Некоторые авторы думают, что E и F — это фиксированные поля, а не подгруппа G , поэтому записывайте F / E вместо E / F .) В приложениях G часто является абсолютной группой Галуа поля и, в частности, является проконечной , и поэтому открытые подгруппы соответствуют конечным расширениям поля, содержащимся в некотором фиксированном сепарабельном замыкании.
Классовая формация — это такая формация, что для каждого нормального слоя E / F
На практике эти циклические группы снабжены каноническими генераторами u E / F ∈ H 2 ( E / F ), называемыми фундаментальными классами , которые совместимы друг с другом в том смысле, что ограничение (классов когомологий) фундаментального класса равно еще один фундаментальный класс. Часто фундаментальные классы считаются частью структуры классовой формации.
Формацию, удовлетворяющую всего лишь условию H 1 ( E / F )=1, иногда называют полевой формацией . Например, если G — любая конечная группа, действующая на поле L и A=L × , то это образование поля по теореме Гильберта 90 .
Наиболее важные примеры классовых образований (расположены примерно в порядке сложности) следующие:
Свойство образования классов легко проверить для случая конечного поля и случая архимедова локального поля, но остальные случаи сложнее. Большая часть тяжелой работы теории поля классов состоит в доказательстве того, что это действительно классовые образования. Это делается в несколько этапов, как описано в разделах ниже.
Первое неравенство теории полей классов гласит, что
для циклических слоев E / F . Обычно это доказывается с использованием свойств фактора Эрбрана в более точной форме
Это довольно просто доказать, поскольку фактор Эрбрана легко вычислить, поскольку он мультипликативен на коротких точных последовательностях и равен 1 для конечных модулей.
Примерно до 1950 года первое неравенство было известно как второе неравенство, и наоборот.
Второе неравенство теории полей классов гласит, что
для всех нормальных слоев E / F .
Для локальных полей это неравенство легко следует из теоремы Гильберта 90 вместе с первым неравенством и некоторыми основными свойствами групповых когомологий.
Второе неравенство было впервые доказано для глобальных полей Вебером с использованием свойств L-серии числовых полей следующим образом. Предположим, что слой E / F соответствует расширению k ⊂ K глобальных полей. Изучая дзета-функцию Дедекинда от K , можно показать, что простые числа K степени 1 имеют плотность Дирихле , определяемую порядком полюса при s = 1, который равен 1 (когда K является рациональным числом, это, по сути, доказательство Эйлера о том, что существуют бесконечно много простых чисел, используя полюс в точке s =1 дзета-функции Римана .) Поскольку каждое простое число в k , которое является нормой, является произведением deg( K / k )= | Э / Ф | различных простых чисел степени 1 числа K , это показывает, что множество простых чисел числа k , которые являются нормами, имеет плотность 1/| Э / Ф |. С другой стороны, изучая L-ряды Дирихле характеров группы H 0 ( E / F ), можно показать, что плотность Дирихле простых чисел k , представляющих тривиальный элемент этой группы, имеет плотность 1/| ЧАС 0 ( Э / Ж )|. (Эта часть доказательства является обобщением доказательства Дирихле о том, что в арифметических прогрессиях бесконечно много простых чисел.) Но простое число представляет собой тривиальный элемент группы H0 ( E / F ) , если оно равно норме по модулю главных идеалов. , поэтому это множество по крайней мере так же плотно, как и множество простых чисел, являющихся нормами. Так
что является вторым неравенством.
В 1940 году Шевалле нашел чисто алгебраическое доказательство второго неравенства, но оно длиннее и сложнее первоначального доказательства Вебера. Примерно до 1950 года второе неравенство было известно как первое неравенство; название было изменено, потому что алгебраическое доказательство Шевалле использует первое неравенство.
Такаги определил поле класса как поле, в котором выполняется равенство во втором неравенстве. Согласно приведенному ниже изоморфизму Артина H 0 ( E / F ) изоморфен абелианизации E / F , поэтому равенство во втором неравенстве выполняется точно для абелевых расширений, а поля классов такие же, как и абелевы расширения.
Первое и второе неравенства можно объединить следующим образом. Для циклических слоев два неравенства вместе доказывают, что
так
и
Теперь основная теорема о группах когомологий показывает, что, поскольку H 1 ( E / F ) = 1 для всех циклических слоев, мы имеем
для всех нормальных слоев (поэтому, в частности, формация является полевой формацией). Это доказательство того, что H 1 ( E / F ) всегда тривиально, является довольно окольным; никакого «прямого» доказательства этого (что бы это ни значило) для глобальных полей неизвестно. (Для локальных полей исчезновение H 1 ( E / F ) — это просто теорема Гильберта 90.)
Для циклической группы H 0 совпадает с H 2 , поэтому H 2 ( E / F ) = | Э / Ф | для всех циклических слоев. Другая теорема о групповых когомологиях показывает, что, поскольку H 1 ( E / F ) = 1 для всех нормальных слоев и H 2 ( E / F ) ≤ | Э / Ф | для всех циклических слоев имеем
для всех нормальных слоев. (На самом деле равенство справедливо для всех нормальных слоев, но это требует больше работы; см. следующий раздел.)
Группы Брауэра H2 ( E /*) формации класса определяются как прямой предел групп H2 ( E / F ), когда F пробегает все открытые подгруппы группы E. Легким следствием исчезновения H 1 для всех слоев является то, что все группы H 2 ( E / F ) являются подгруппами группы Брауэра. В локальной теории полей классов группы Брауэра такие же, как группы Брауэра полей, но в глобальной теории полей классов группа Брауэра формации не является группой Брауэра соответствующего глобального поля (хотя они родственны).
Следующий шаг — доказать, что H 2 ( E / F ) циклична порядка точно | Э / Ф |; предыдущий раздел показывает, что он имеет не более этого порядка, поэтому достаточно найти некоторый элемент порядка | Э / Ф | в H 2 ( E / F ).
Доказательство для произвольных расширений использует гомоморфизм группы G на проконечное пополнение целых чисел с ядром G ∞ или, другими словами, совместимую последовательность гомоморфизмов группы G на циклические группы порядка n для всех n с ядрами G n . Эти гомоморфизмы строятся с помощью циклических круговых расширений полей; для конечных полей они задаются алгебраическим замыканием, для неархимедовых локальных полей — максимальными неразветвленными расширениями, а для глобальных полей — немного сложнее. Поскольку эти расширения заданы явно, можно проверить, что они обладают тем свойством, что H 2 ( G / G n ) является циклическим элементом порядка n с каноническим генератором. Отсюда следует, что для любого слоя E группа H 2 ( E / E ∩ G ∞ ) канонически изоморфна Q / Z . Эта идея использования корней из единицы была введена Чеботаревым в его доказательстве теоремы Чеботарева о плотности и вскоре использована Артином для доказательства его теоремы взаимности.
Для общих слоев E , F существует точная последовательность
Две последние группы в этой последовательности можно отождествить с Q / Z , и тогда отображение между ними представляет собой умножение на | Э / Ф |. Итак , первая группа канонически изоморфна Z / n Z. Поскольку H 2 ( E / F ) имеет порядок не более Z / n, Z должен быть равен Z / n Z (и, в частности, содержится в средней группе)).
Это показывает, что вторая группа когомологий H 2 ( E / F ) любого слоя циклическая порядка | E / F |, что завершает проверку аксиом образования классов. Проявив немного больше тщательности в доказательствах, мы получим канонический генератор H 2 ( E / F ), называемый фундаментальным классом .
Отсюда следует, что группа Брауэра H2 ( E / *) (канонически) изоморфна группе Q / Z , за исключением случая архимедовых локальных полей R и C , когда она имеет порядок 2 или 1.
Теорема Тейта о групповых когомологиях состоит в следующем. Предположим, что A — модуль над конечной группой G и a — элемент H 2 ( G , A ), такой, что для любой подгруппы E группы G
Тогда произведение чашки с a является изоморфизмом
Если мы применим случай n = −2 теоремы Тейта к образованию классов, мы обнаружим, что существует изоморфизм
для любого нормального слоя E / F . Группа H −2 ( E / F , Z ) есть просто абелианизация E / F , а группа H0 ( E / F , AF ) есть AE по модулю группы норм группы AF . Другими словами, мы имеем явное описание абелианизации группы Галуа E / F в терминах A E .
Обратное к этому изоморфизму дает гомоморфизм
и предел по всем открытым подгруппам F дает гомоморфизм
называется картой Артина . Карта Артина не обязательно сюръективна, но имеет плотное изображение. По приведенной ниже теореме существования его ядро является компонентой связности A E (для теории полей классов), которая тривиальна для теории полей классов неархимедовых локальных полей и для функциональных полей, но нетривиальна для архимедовых локальных полей и числовых полей. поля.
Основной оставшейся теоремой теории полей классов является теорема существования Такаги , которая утверждает, что каждая замкнутая подгруппа конечного индекса группы идельных классов является группой норм, соответствующей некоторому абелеву расширению. Классический способ доказать это — построить некоторые расширения с небольшими группами норм, сначала добавив множество корней из единицы, а затем взяв расширения Куммера и расширения Артина–Шрайера . Эти расширения могут быть неабелевыми (хотя они являются расширениями абелевых групп с помощью абелевых групп); однако на самом деле это не имеет значения, поскольку нормальная группа неабелева расширения Галуа такая же, как и группа его максимального абелева расширения (это можно показать, используя то, что мы уже знаем о полях классов). Это дает достаточно (абелевых) расширений, чтобы показать, что существует абелево расширение, соответствующее любой подгруппе конечного индекса группы классов иделей.
Следствием этого является то, что ядро отображения Артина является связным компонентом единицы группы классов иделей, так что абелианизация группы Галуа F является проконечным пополнением группы классов иделей.
Для локальной теории полей классов также возможно построить абелевы расширения более явно, используя формальные групповые законы Любина – Тейта . Для глобальных полей абелевы расширения в некоторых случаях могут быть построены явно: например, абелевы расширения рациональных чисел могут быть построены с использованием корней из единицы, а абелевы расширения квадратичных мнимых полей могут быть построены с использованием эллиптических функций, но поиск аналог этого для произвольных глобальных полей является нерешенной проблемой.
Группа Вейля классовой формации с фундаментальными классами u E / F ∈ H 2 ( E / F , A F ) является своего рода модифицированной группой Галуа, введенной Вейлем (1951) и используемой в различных формулировках теории полей классов, и в частности в программе Ленглендса .
Если E / F — нормальный слой, то группа Вейля U слоя E / F является расширением
соответствующий фундаментальному классу u E / F в H 2 ( E / F , A F ). Группа Вейля всей формации определяется как обратный предел групп Вейля всех слоев G / F , поскольку F — открытая подгруппа группы G.
Отображение взаимности формации классов ( G , A ) индуцирует изоморфизм из AG в абелианизацию группы Вейля.
