Теорема Лиувилля (конформные отображения)

Теорема предельные типы конформных отображений в евклидовом пространстве размерности > 2

В математике теорема Лиувилля , доказанная Жозефом Лиувиллем в 1850 году, ^[1] является теоремой жесткости о конформных отображениях в евклидовом пространстве . Она утверждает, что каждое гладкое конформное отображение в области R ⁿ , где n > 2, может быть выражено как композиция трансляций , подобий , ортогональных преобразований и инверсий : они являются преобразованиями Мёбиуса (в n измерениях). ^{[2] [3]} Эта теорема существенно ограничивает разнообразие возможных конформных отображений в R ³ и пространствах более высокой размерности. Напротив, конформные отображения в R ² могут быть гораздо более сложными — например, все односвязные плоские области конформно эквивалентны , по теореме Римана об отображении .

Обобщения теоремы справедливы для преобразований, которые являются только слабо дифференцируемыми (Iwaniec & Martin 2001, Глава 5). В центре внимания такого исследования находится нелинейная система Коши–Римана , которая является необходимым и достаточным условием для того, чтобы гладкое отображение f  : Ω → R ⁿ было конформным:

${\displaystyle Df^{\mathrm {T} }Df=\left|\det Df\right|^{2/n}I}$

где Df — производная Якоби , T — транспонированная матрица , а I — единичная матрица. Слабое решение этой системы определяется как элемент f пространства Соболева W^{1, н.мест}
_.(Ω, R ⁿ ) с неотрицательным определителем Якоби почти всюду , таким образом, что система Коши–Римана выполняется почти в каждой точке Ω. Теорема Лиувилля тогда заключается в том, что каждое слабое решение (в этом смысле) является преобразованием Мёбиуса, что означает, что оно имеет вид

${\displaystyle f(x)=b+{\frac {\alpha A(x-a)}{|x-a|^{\varepsilon }}},\qquad Df={\frac {\alpha A}{|x-a|^{\varepsilon }}}\left(I-\varepsilon {\frac {x-a}{|x-a|}}{\frac {(x-a)^{\mathrm {T} }}{|x-a|}}\right),}$

где a , b — векторы в R ⁿ , α — скаляр, A — матрица вращения, ε = 0 или 2, а матрица в скобках — это I или матрица Хаусхолдера (итак, ортогональная). Эквивалентно выраженная, любая квазиконформная карта области в евклидовом пространстве, которая также является конформной, является преобразованием Мёбиуса. Это эквивалентное утверждение оправдывает использование пространства Соболева W ^{1, n} , поскольку f ∈ W^{1, н.мест}
_.( Ω , R ⁿ ) тогда следует из геометрического условия конформности и ACL-характеристики пространства Соболева. Однако результат не является оптимальным: в четных размерностях n = 2 k теорема также справедлива для решений, которые, как предполагается, находятся только в пространстве W^{1, к}
_лок., и этот результат является точным в том смысле, что существуют слабые решения системы Коши–Римана в W ^{1, p} для любого p < k, которые не являются преобразованиями Мёбиуса. В нечетных размерностях известно, что W ^{1, n} не является оптимальным, но точный результат неизвестен.

Аналогичные результаты жесткости (в гладком случае) справедливы для любого конформного многообразия . Группа конформных изометрий n -мерного конформного риманова многообразия всегда имеет размерность, которая не может превышать размерность полной конформной группы SO( n + 1, 1). Равенство двух размерностей справедливо в точности тогда, когда конформное многообразие изометрично n -сфере или проективному пространству . Локальные версии результата также справедливы: алгебра Ли конформных полей Киллинга в открытом множестве имеет размерность, меньшую или равную размерности конформной группы, причем равенство справедливо тогда и только тогда, когда открытое множество локально конформно плоское.

Примечания

1. Monge 1850, стр. 609–616, заметка Лиувилля как редактора («Примечание VI: Расширение au cas des trois Dimensions de la questions du tracé géographique»)
2. П. Караман, «Обзор работы Ю. Г. Решетняка (1967) «Теорема Лиувилля о конформном отображении при гипотезах минимальной регулярности», MR 0218544.
3. Филип Хартман (1947) Системы полных дифференциальных уравнений и теорема Лиувилля о конформном отображении. Американский журнал математики 69(2);329–332.

Ссылки

• Блэр, Дэвид Э. (2000), «Глава 6: Классическое доказательство теоремы Лиувилля», Теория инверсии и конформное отображение , Американское математическое общество , стр. 95–105, ISBN 0-8218-2636-0.
• Харли Фландерс (1966) «Теорема Лиувилля о конформном отображении», Журнал математики и механики 15: 157–61, MR 0184153
• Монж, Гаспар (1850), Лиувилль, Ж. (редактор), Приложение де l'analyse à la Géométrie (на французском языке) (5-е изд.), Башелье
• Иванец, Тадеуш ; Мартин, Гавен (2001), Геометрическая теория функций и нелинейный анализ , Oxford Mathematical Monographs, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-850929-5, г-н  1859913.
• Кобаяси, Сёсичи (1972), Группы преобразований в дифференциальной геометрии , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag.
• Соломенцев, Э.Д. (2001) [1994], "Теоремы Лиувилля", Энциклопедия математики , Издательство EMS Press