Замкнутая моноидальная категория

В математике , особенно в теории категорий , закрытая моноидальная категория (или моноидальная закрытая категория ) — это категория , которая является одновременно моноидальной категорией и закрытой категорией таким образом, что структуры совместимы.

Классическим примером является категория множеств Set , где моноидальное произведение множеств и является обычным декартовым произведением , а внутреннее Hom — это множество функций от до . Недекартовым примером является категория векторных пространств K - Vect над полем . Здесь моноидальное произведение — это обычное тензорное произведение векторных пространств , а внутреннее Hom — векторное пространство линейных отображений из одного векторного пространства в другое. $А$ $B$ $A\times B$ $B^{A}$ $А$ $B$ $K$

Внутренним языком замкнутых симметричных моноидальных категорий является линейная логика , а системой типов является система линейных типов . Многие примеры замкнутых моноидальных категорий симметричны . Однако это не всегда так, поскольку в теоретико-категорных формулировках лингвистики можно встретить несимметричные моноидальные категории ; грубо говоря, это потому, что порядок слов в естественном языке имеет значение.

Определение

Замкнутая моноидальная категория — это моноидальная категория такая, что для каждого объекта функтор , заданный правым тензором с ${\mathcal {C}}$ $B$ $B$

A\mapsto A\otimes B

имеет право сопряженное , записанное

A\mapsto (B\Rightarrow A).

Это означает, что между Hom-множествами существует биекция, называемая « каррированием ».

{\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(A\otimes B,C)\cong {\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(A,B\Rightarrow C )

это естественно как для A , так и для C. В других, но общепринятых обозначениях можно было бы сказать, что функтор

-\otimes B:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}

имеет правый сопряженный

[B,-]:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}

Эквивалентно, закрытая моноидальная категория — это категория, снабженная для каждых двух объектов A и B ${\mathcal {C}}$

объект , $A\Rightarrow B$
морфизм , $\mathrm {eval} _{A,B}:(A\Rightarrow B)\otimes A\to B$

удовлетворяющее следующему универсальному свойству: для любого морфизма

f:X\otimes A\to B

существует единственный морфизм

h:X\to A\Rightarrow B

такой, что

f=\mathrm {eval} _{A,B}\circ (h\otimes \mathrm {id} _{A}).

Можно показать ^{, что эта} конструкция определяет функтор . Этот функтор называется внутренним функтором Hom , а объект называется внутренним функтором Hom и . Для внутреннего Hom обычно используются многие другие обозначения. Когда тензорное произведение является декартовым произведением, обычно используется такое обозначение, и этот объект называется экспоненциальным объектом . $\Rightarrow :{\mathcal {C}}^{op}\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}$ $A\Rightarrow B$ $A$ $B$ ${\mathcal {C}}$ $B^{A}$

Бизамкнутые и симметричные категории

Строго говоря, мы определили замкнутую справа моноидальную категорию, поскольку требовали, чтобы правое тензорирование с любым объектом имело правый сопряженный. В левозамкнутой моноидальной категории вместо этого мы требуем, чтобы функтор левого тензорирования с любым объектом $A$ $A$

B\mapsto A\otimes B

иметь правый сопряженный

B\mapsto (B\Leftarrow A)

Бизамкнутая моноидальная категория — это моноидальная категория, замкнутая как слева, так и справа .

Симметричная моноидальная категория замкнута слева тогда и только тогда, когда она замкнута справа. Таким образом, мы можем смело говорить о «симметричной моноидальной замкнутой категории», не уточняя, замкнута ли она слева или справа. Фактически, то же самое верно в более общем плане для плетеных моноидальных категорий : поскольку переплетение делает естественно изоморфным , различие между тензоризацией слева и тензоризацией справа становится несущественным, поэтому каждая замкнутая справа плетеная моноидальная категория становится замкнутой слева в канонической путь, и наоборот. $A\otimes B$ $B\otimes A$

Мы описали закрытые моноидальные категории как моноидальные категории с дополнительным свойством. Эквивалентно можно определить закрытую моноидальную категорию как закрытую категорию с дополнительным свойством. А именно, мы можем потребовать существования тензорного произведения , левого сопряженного с внутренним функтором Hom . В этом подходе закрытые моноидальные категории также называются моноидальными закрытыми категориями . ^{[ нужна цитата ]}

Примеры

Каждая декартова замкнутая категория является симметричной моноидальной закрытой категорией, когда моноидальная структура является декартовой структурой произведения. Внутренний функтор Hom задается экспоненциальным объектом . $B^{A}$
- В частности, категория множеств Set является симметричной замкнутой моноидальной категорией. Здесь внутренний Hom — это просто набор функций от до . $A\Rightarrow B$ $A$ $B$
Категория модулей R -Mod над коммутативным кольцом R является недекартовой, симметричной, моноидальной замкнутой категорией. Моноидальное произведение задается тензорным произведением модулей , а внутренний Hom задается пространством R -линейных отображений с его естественной R -модульной структурой. $M\Rightarrow N$ $\operatorname {Hom} _{R}(M,N)$
- В частности, категория векторных пространств над полем является симметричной замкнутой моноидальной категорией. $K$
- Абелевы группы можно рассматривать как Z -модули, поэтому категория абелевых групп также является симметричной замкнутой моноидальной категорией.
Симметричная компактная замкнутая категория — это симметричная моноидальная замкнутая категория, в которой внутренний функтор Hom задается выражением . Каноническим примером является категория конечномерных векторных пространств FdVect . $A\Rightarrow B$ $A^{*}\otimes B$

Контрпримеры

Категория колец представляет собой симметричную моноидальную категорию относительно тензорного произведения колец с единичным объектом. Данная категория не является закрытой. Если бы это было так, между любой парой колец существовал бы ровно один гомоморфизм: . То же самое справедливо и для категории R - алгебр над коммутативным кольцом R. $\mathbb {Z}$ $\operatorname {Hom} (R,S)\cong \operatorname {Hom} (\mathbb {Z} \otimes R,S)\cong \operatorname {Hom} (\mathbb {Z} ,R\Rightarrow S)\cong \{\bullet \}$

Смотрите также