Коэффициент давления

Безразмерное число, описывающее относительные давления в поле потока жидкости

В гидродинамике коэффициент давления — это безразмерное число , описывающее относительное давление в поле потока. Коэффициент давления используется в аэродинамике и гидродинамике . Каждая точка в поле потока жидкости имеет свой собственный уникальный коэффициент давления, C _p .

Во многих ситуациях в аэродинамике и гидродинамике коэффициент давления в точке вблизи тела не зависит от размера тела. Следовательно, инженерную модель можно протестировать в аэродинамической трубе или гидротрубе , коэффициенты давления можно определить в критических местах вокруг модели, и эти коэффициенты давления можно использовать с уверенностью для прогнозирования давления жидкости в этих критических местах вокруг полноразмерного самолета или лодки.

Определение

Коэффициент давления является параметром для изучения как несжимаемых, так и сжимаемых жидкостей, таких как вода и воздух. Связь между безразмерным коэффициентом и размерными числами следующая ^{[1] [2]}

${\displaystyle C_{p}={p-p_{\infty } \over {\frac {1}{2}}\rho _{\infty }V_{\infty }^{2}}}$

где:

${\displaystyle p}$статическое давление в точке, в которой оценивается коэффициент давления

${\displaystyle p_{\infty }}$статическое давление в свободном потоке (т.е. вдали от каких-либо возмущений)

${\displaystyle \rho _{\infty }}$плотность жидкости в свободном потоке (воздух на уровне моря и при температуре 15 °C равен 1,225 ) ${\displaystyle {\rm {kg/m^{3}}}}$

${\displaystyle V_{\infty }}$скорость свободного потока жидкости или скорость тела через жидкость

Несжимаемый поток

Используя уравнение Бернулли , коэффициент давления можно еще больше упростить для потенциальных потоков (невязких и стационарных): ^[3]

${\displaystyle C_{p}|_{M\,\approx \,0}={p-p_{\infty } \over p_{0}-p_{\infty }}={1-{\bigg (}{\frac {u}{u_{\infty }}}{\bigg )}^{2}}}$

где:

${\displaystyle u}$скорость потока в точке, в которой оценивается коэффициент давления

${\displaystyle M}$это число Маха , которое принимается в пределе нуля

${\displaystyle p_{0}}$это давление застоя потока

Это соотношение справедливо для потока несжимаемых жидкостей, где изменения скорости и давления достаточно малы, чтобы изменениями плотности жидкости можно было пренебречь. Это предположение обычно делается в инженерной практике, когда число Маха меньше примерно 0,3.

• ${\displaystyle C_{p}}$Ноль указывает на то, что давление равно давлению свободного потока.
• ${\displaystyle C_{p}}$единица соответствует давлению застоя и указывает на точку застоя .
• самые отрицательные значения в потоке жидкости можно суммировать с числом кавитации , чтобы получить запас кавитации. Если этот запас положительный, поток локально полностью жидкий, а если он равен нулю или отрицателен, поток кавитирующий или газовый. ${\displaystyle C_{p}}$

Места, где , имеют важное значение в конструкции планеров , поскольку они указывают на подходящее место для порта «Полной энергии» для подачи сигнального давления на вариометр , специальный указатель вертикальной скорости, который реагирует на вертикальные движения атмосферы, но не реагирует на вертикальное маневрирование планера. ${\displaystyle C_{p}=-1}$

В поле потока несжимаемой жидкости вокруг тела будут точки с положительными коэффициентами давления до единицы и отрицательными коэффициентами давления, включающими коэффициенты меньше минус единицы.

Сжимаемый поток

В потоке сжимаемых жидкостей, таких как воздух, и особенно в высокоскоростном потоке сжимаемых жидкостей, ( динамическое давление ) больше не является точной мерой разницы между давлением застоя и статическим давлением . Кроме того, знакомое соотношение, что давление застоя равно полному давлению, не всегда верно. (Это всегда верно в изэнтропическом потоке, но наличие ударных волн может привести к тому, что поток отклонится от изэнтропического.) В результате коэффициенты давления могут быть больше единицы в сжимаемом потоке. ^[4] ${\displaystyle {{\frac {1}{2}}\rho v^{2}}}$

Теория возмущений

Коэффициент давления можно оценить для безвихревого и изэнтропического течения, введя потенциал и потенциал возмущения , нормализованные по скорости набегающего потока. ${\displaystyle C_{p}}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle u_{\infty }}$

${\displaystyle \Phi =u_{\infty }x+\phi (x,y,z)}$

Используя уравнение Бернулли ,

${\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+{\frac {\nabla \Phi \cdot \nabla \Phi }{2}}+{\frac {\gamma }{\gamma -1}}{\frac {p}{\rho }}={\text{constant}}}$

что можно переписать как

${\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+{\frac {\nabla \Phi \cdot \nabla \Phi }{2}}+{\frac {a^{2}}{\gamma -1}}={\text{constant}}}$

где скорость звука. ${\displaystyle a}$

Коэффициент давления становится

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{p}&={\frac {p-p_{\infty }}{{\frac {\gamma }{2}}p_{\infty }M^{2}}}={\frac {2}{\gamma M^{2}}}\left[\left({\frac {a}{a_{\infty }}}\right)^{\frac {2\gamma }{\gamma -1}}-1\right]\\&={\frac {2}{\gamma M^{2}}}\left[\left({\frac {\gamma -1}{a_{\infty }^{2}}}({\frac {u_{\infty }^{2}}{2}}-\Phi _{t}-{\frac {\nabla \Phi \cdot \nabla \Phi }{2}})+1\right)^{\frac {\gamma }{\gamma -1}}-1\right]\\&\approx {\frac {2}{\gamma M^{2}}}\left[\left(1-{\frac {\gamma -1}{a_{\infty }^{2}}}(\phi _{t}+u_{\infty }\phi _{x})\right)^{\frac {\gamma }{\gamma -1}}-1\right]\\&\approx -{\frac {2\phi _{t}}{u_{\infty }^{2}}}-{\frac {2\phi _{x}}{u_{\infty }}}\end{aligned}}}$

где - скорость звука в дальней зоне. ${\displaystyle a_{\infty }}$

Теория локального поршня

Классическая поршневая теория является мощным аэродинамическим инструментом. Используя уравнение импульса и предположение об изэнтропических возмущениях, можно получить следующую базовую формулу поршневой теории для поверхностного давления:

${\displaystyle p=p_{\infty }\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}{\frac {w}{a}}\right)^{\frac {2\gamma }{\gamma -1}}}$

где - скорость нисходящего потока, - скорость звука. ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle C_{p}={\frac {p-p_{\infty }}{{\frac {\gamma }{2}}p_{\infty }M^{2}}}={\frac {2}{\gamma M^{2}}}\left[\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}{\frac {w}{a}}\right)^{\frac {2\gamma }{\gamma -1}}-1\right]}$

Поверхность определяется как

${\displaystyle F(x,y,z,t)=z-f(x,y,t)=0}$

Граничное условие скорости скольжения приводит к

${\displaystyle {\frac {\nabla F}{|\nabla F|}}(u_{\infty }+\phi _{x},\phi _{y},\phi _{z})=V_{\text{wall}}\cdot {\frac {\nabla F}{|\nabla F|}}=-{\frac {\partial F}{\partial t}}{\frac {1}{|\nabla F|}}}$

Скорость нисходящего потока приблизительно рассчитывается как ${\displaystyle w}$

${\displaystyle w={\frac {\partial f}{\partial t}}+u_{\infty }{\frac {\partial f}{\partial x}}}$

Гиперзвуковой поток

В гиперзвуковом потоке коэффициент давления можно точно рассчитать для транспортного средства, используя корпускулярную теорию движения жидкости Ньютона, которая неточна для низкоскоростного потока и основана на трех предположениях: ^[5]

1. Поток можно смоделировать как поток частиц, движущихся прямолинейно.
2. При ударе о поверхность весь нормальный импульс теряется.
3. Весь тангенциальный импульс сохраняется, и поток следует за телом.

Для скорости свободного потока , воздействующего на поверхность площадью , которая наклонена под углом к ​​свободному потоку, изменение нормального импульса равно , а поток массы, падающий на поверхность, равен , причем - плотность воздуха свободного потока. Тогда поток импульса, равный силе, действующей на поверхность , из второго закона Ньютона равен: ${\displaystyle V_{\infty }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle V_{\infty }\sin \theta }$ ${\displaystyle \rho _{\infty }V_{\infty }A\sin \theta }$ ${\displaystyle \rho _{\infty }}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle F=(\rho _{\infty }V_{\infty }A\sin \theta )(V_{\infty }\sin \theta )=\rho _{\infty }V_{\infty }^{2}A\sin ^{2}\theta }$

Разделив на площадь поверхности, становится ясно, что сила на единицу площади равна разнице давлений между давлением на поверхности и давлением свободного потока , что приводит к соотношению: ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p_{\infty }}$

${\displaystyle {\frac {F}{A}}=p-p_{\infty }=\rho _{\infty }V_{\infty }^{2}\sin ^{2}\theta \implies {\frac {p-p_{\infty }}{{\frac {1}{2}}\rho _{\infty }V_{\infty }^{2}}}=2\sin ^{2}\theta }$

Последнее уравнение можно определить как коэффициент давления, то есть ньютоновская теория предсказывает, что коэффициент давления в гиперзвуковом потоке равен:

${\displaystyle C_{p}=2\sin ^{2}\theta }$

Для очень высокоскоростных потоков и транспортных средств с острыми поверхностями ньютоновская теория работает очень хорошо.

Модифицированный закон Ньютона

Модификацию теории Ньютона, специально предназначенную для тупых тел, предложил Лестер Лиз: ^[6]

${\displaystyle C_{p}=C_{p,\max }\sin ^{2}\theta }$

где - максимальное значение коэффициента давления в точке торможения за прямой ударной волной : ${\displaystyle C_{p,\max }}$

${\displaystyle C_{p,\max }={\frac {p_{o}-p_{\infty }}{{\frac {1}{2}}\rho _{\infty }V_{\infty }^{2}}}={\frac {p_{\infty }}{{\frac {1}{2}}\rho _{\infty }V_{\infty }^{2}}}\left({\frac {p_{o}}{p_{\infty }}}-1\right)={\frac {2}{\gamma M_{\infty }^{2}}}\left({\frac {p_{o}}{p_{\infty }}}-1\right)}$

где — давление торможения, а — отношение удельных теплоемкостей . Последнее соотношение получается из закона идеального газа , числа Маха и скорости звука . Формула трубки Пито Рэлея для калорически совершенного прямого скачка уплотнения гласит, что отношение давления торможения и свободного потока равно: ${\displaystyle p_{o}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle p=\rho RT}$ ${\displaystyle M=V/a}$ ${\displaystyle a={\sqrt {\gamma RT}}}$

${\displaystyle {\frac {p_{o}}{p_{\infty }}}=\left[{\frac {(\gamma +1)^{2}M_{\infty }^{2}}{4\gamma M_{\infty }^{2}-2(\gamma -1)}}\right]^{\gamma /(\gamma -1)}\left[{\frac {\gamma (2M_{\infty }^{2}-1)+1}{\gamma +1}}\right]}$

Следовательно, максимальный коэффициент давления для модифицированного закона Ньютона равен:

${\displaystyle C_{p,\max }={\frac {2}{\gamma M_{\infty }^{2}}}\left\{\left[{\frac {(\gamma +1)^{2}M_{\infty }^{2}}{4\gamma M_{\infty }^{2}-2(\gamma -1)}}\right]^{\gamma /(\gamma -1)}\left[{\frac {\gamma (2M_{\infty }^{2}-1)+1}{\gamma +1}}\right]-1\right\}}$

В пределе, когда , максимальный коэффициент давления становится: ${\displaystyle M_{\infty }\rightarrow \infty }$

${\displaystyle C_{p,\max }=\left[{\frac {(\gamma +1)^{2}}{4\gamma }}\right]^{\gamma /(\gamma -1)}\left({\frac {4}{\gamma +1}}\right)}$

И как , , восстановление коэффициента давления из ньютоновской теории на очень высоких скоростях. Модифицированная ньютоновская теория существенно точнее ньютоновской модели для расчета распределения давления по тупым телам. ^[5] ${\displaystyle \gamma \rightarrow 1}$ ${\displaystyle C_{p,\max }=2}$

Распределение давления

Аэродинамический профиль при заданном угле атаки будет иметь то, что называется распределением давления. Это распределение давления — это просто давление во всех точках вокруг аэродинамического профиля. Обычно графики этих распределений рисуются так, чтобы отрицательные числа были выше на графике, поскольку для верхней поверхности аэродинамического профиля обычно будет дальше от нуля и, следовательно, будет верхней линией на графике. ${\displaystyle C_{p}}$

Связь с аэродинамическими коэффициентами

Все три аэродинамических коэффициента являются интегралами кривой коэффициента давления вдоль хорды. Коэффициент подъемной силы для двумерного сечения аэродинамического профиля со строго горизонтальными поверхностями может быть вычислен из коэффициента распределения давления путем интегрирования, или вычисления площади между линиями на распределении. Это выражение не подходит для прямого численного интегрирования с использованием панельного метода аппроксимации подъемной силы, так как не учитывает направление подъемной силы, вызванной давлением. Это уравнение справедливо только для нулевого угла атаки.

${\displaystyle C_{l}={\frac {1}{x_{TE}-x_{LE}}}\int \limits _{x_{LE}}^{x_{TE}}\left(C_{p_{l}}(x)-C_{p_{u}}(x)\right)dx}$

где:

${\displaystyle C_{p_{l}}}$коэффициент давления на нижней поверхности

${\displaystyle C_{p_{u}}}$коэффициент давления на верхней поверхности

${\displaystyle x_{LE}}$является передовым местоположением

${\displaystyle x_{TE}}$это расположение задней кромки

Если нижняя поверхность расположена выше (более отрицательно) на распределении, она считается отрицательной областью, поскольку она будет создавать прижимную силу, а не подъемную. ${\displaystyle C_{p}}$

Смотрите также

• Коэффициент подъемной силы
• Коэффициент лобового сопротивления
• Коэффициент момента тангажа

Ссылки

1. LJ Clancy (1975) Аэродинамика , § 3.6, Pitman Publishing Limited, Лондон. ISBN  0-273-01120-0
2. Эбботт и фон Денхофф, Теория сечений крыла , уравнение 2.24
3. Андерсон, Джон Д. Основы аэродинамики . 4-е изд. Нью-Йорк: McGraw Hill, 2007. 219.
4. https://thesis.library.caltech.edu/608/1/Scherer_lr_1950.pdf ^{[ пустой URL-адрес PDF ]}
5. Anderson, Jr., John D. (2019). Гиперзвуковая и высокотемпературная газовая динамика . Образовательная серия AIAA (3-е изд.). Американский институт аэронавтики и астронавтики. С. 58–67. ISBN 978-1-62410-514-2.
6. Лис, Лестер (1955). «Гиперзвуковой поток». Журнал космических аппаратов и ракет . 40 (5). Лос-Анджелес: Институт аэронавтики: 241–276. doi :10.2514/2.6897. ISSN  0022-4650.

Дальнейшее чтение

• Эбботт, И. Х. и Фон Денхофф, А. Э. (1959) Теория сечений крыла , Dover Publications, Inc., Нью-Йорк, Стандартная книга № 486-60586-8
• Андерсон, Джон Д. (2001) Основы аэродинамики 3-е издание , McGraw-Hill. ISBN 0-07-237335-0