Когерентные когомологии пучков

Понятие в алгебраической геометрии

В математике , особенно в алгебраической геометрии и теории комплексных многообразий , когомологии когерентных пучков — это метод получения функций с заданными свойствами. Многие геометрические вопросы можно сформулировать как вопросы о существовании сечений линейных расслоений или более общих когерентных пучков ; такие сечения можно рассматривать как обобщенные функции. Когомология предоставляет вычислимые инструменты для получения сечений или объяснения того, почему они не существуют. Она также предоставляет инварианты для различения одного алгебраического многообразия от другого.

Большая часть алгебраической геометрии и комплексной аналитической геометрии формулируется в терминах когерентных пучков и их когомологий.

Когерентные пучки

Когерентные пучки можно рассматривать как обобщение векторных расслоений . Существует понятие когерентного аналитического пучка на комплексном аналитическом пространстве и аналогичное понятие когерентного алгебраического пучка на схеме . В обоих случаях данное пространство поставляется с пучком колец , пучком голоморфных функций или регулярных функций , а когерентные пучки определяются как полная подкатегория категории -модулей (то есть пучки -модулей). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

Векторные расслоения, такие как касательное расслоение, играют фундаментальную роль в геометрии. В более общем случае, для замкнутого подмногообразия с включением , векторное расслоение на определяет когерентный пучок на , прямой образ-пучок , который равен нулю вне . Таким образом, многие вопросы о подмногообразиях можно выразить в терминах когерентных пучков на . ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i:Y\to X}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i_{*}E}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

В отличие от векторных расслоений, когерентные пучки (в аналитическом или алгебраическом случае) образуют абелеву категорию , и поэтому они замкнуты относительно таких операций, как взятие ядер , образов и коядер . На схеме квазикогерентные пучки являются обобщением когерентных пучков, включая локально свободные пучки бесконечного ранга.

Когомологии пучков

Для пучка абелевых групп на топологическом пространстве группы когомологий пучка для целых чисел определяются как правые производные функторы функтора глобальных сечений, . В результате равно нулю для , и может быть отождествлено с . Для любой короткой точной последовательности пучков существует длинная точная последовательность групп когомологий: ^[1] ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\mapsto {\mathcal {F}}(X)}$ ${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle i<0}$ ${\displaystyle H^{0}(X,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(X)}$ ${\displaystyle 0\to {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}\to {\mathcal {C}}\to 0}$

${\displaystyle 0\to H^{0}(X,{\mathcal {A}})\to H^{0}(X,{\mathcal {B}})\to H^{0}(X,{\mathcal {C}})\to H^{1}(X,{\mathcal {A}})\to \cdots .}$

Если — пучок -модулей на схеме , то группы когомологий (определенные с использованием базового топологического пространства ) являются модулями над кольцом регулярных функций. Например, если — схема над полем , то группы когомологий являются -векторными пространствами . Теория становится мощной, когда — когерентный или квазикогерентный пучок, благодаря следующей последовательности результатов. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Теоремы об исчезновении в аффинном случае

Комплексный анализ был революционизирован теоремами Картана A и B в 1953 году. Эти результаты говорят, что если — когерентный аналитический пучок на пространстве Штейна , то натянуто на свои глобальные сечения , и для всех . (Комплексное пространство является штейновским тогда и только тогда, когда оно изоморфно замкнутому аналитическому подпространству для некоторых .) Эти результаты обобщают большой объем более старых работ о построении комплексных аналитических функций с заданными сингулярностями или другими свойствами. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}})=0}$ ${\displaystyle i>0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$

В 1955 году Серр ввел когерентные пучки в алгебраическую геометрию (сначала над алгебраически замкнутым полем , но это ограничение было снято Гротендиком ). Аналоги теорем Картана справедливы в большой общности: если — квазикогерентный пучок на аффинной схеме , то натянут на свои глобальные сечения, и для . ^{[2] Это связано} с тем, что категория квазикогерентных пучков на аффинной схеме эквивалентна категории -модулей, причем эквивалентность переводит пучок в -модуль . Фактически, аффинные схемы характеризуются среди всех квазикомпактных схем исчезновением высших когомологий для квазикогерентных пучков. ^[3] ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}})=0}$ ${\displaystyle i>0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(X)}$ ${\displaystyle H^{0}(X,{\mathcal {F}})}$

Когомологии Чеха и когомологии проективного пространства

Как следствие обращения в нуль когомологий для аффинных схем: для разделенной схемы , аффинного открытого покрытия и квазикогерентного пучка на , группы когомологий изоморфны группам когомологий Чеха относительно открытого покрытия . ^[2] Другими словами, знание сечений на всех конечных пересечениях аффинных открытых подсхем определяет когомологии с коэффициентами в . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{U_{i}\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H^{*}(X,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle \{U_{i}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Используя когомологии Чеха, можно вычислить когомологии проективного пространства с коэффициентами в любом линейном расслоении. А именно, для поля , положительного целого числа и любого целого числа когомологии проективного пространства над с коэффициентами в линейном расслоении задаются как: ^[4] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(j)}$

${\displaystyle H^{i}(\mathbb {P} ^{n},{\mathcal {O}}(j))\cong {\begin{cases}\bigoplus _{a_{0},\ldots ,a_{n}\geq 0,\;a_{0}+\cdots +a_{n}=j}\;k\cdot x_{0}^{a_{0}}\cdots x_{n}^{a_{n}}&i=0\\[6pt]0&i\neq 0,n\\[6pt]\bigoplus _{a_{0},\ldots ,a_{n}<0,\;a_{0}+\cdots +a_{n}=j}\;k\cdot x_{0}^{a_{0}}\cdots x_{n}^{a_{n}}&i=n\end{cases}}}$

В частности, это вычисление показывает, что когомологии проективного пространства над с коэффициентами в любом линейном расслоении имеют конечную размерность как -векторное пространство. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

Исчезновение этих групп когомологий выше размерности является очень частным случаем теоремы Гротендика об исчезновении : для любого пучка абелевых групп на нётеровом топологическом пространстве размерности , для всех . ^[5] Это особенно полезно для нётеровой схемы ( например, многообразия над полем) и квазикогерентного пучка. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n<\infty }$ ${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}})=0}$ ${\displaystyle i>n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Пучковые когомологии плоских кривых

При наличии гладкой проективной плоской кривой степени когомологии пучка можно легко вычислить с помощью длинной точной последовательности в когомологиях. Сначала отметим, что для вложения существует изоморфизм групп когомологий ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle H^{*}(C,{\mathcal {O}}_{C})}$ ${\displaystyle i:C\to \mathbb {P} ^{2}}$

${\displaystyle H^{*}(\mathbb {P} ^{2},i_{*}{\mathcal {O}}_{C})\cong H^{*}(C,{\mathcal {O}}_{C})}$

поскольку является точным. Это означает, что короткая точная последовательность когерентных пучков ${\displaystyle i_{*}}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}(-d)\to {\mathcal {O}}\to i_{*}{\mathcal {O}}_{C}\to 0}$

на , называемая идеальной последовательностью ^[6] , может быть использована для вычисления когомологий через длинную точную последовательность в когомологиях. Последовательность читается как ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}0&\to H^{0}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}(-d))\to H^{0}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}})\to H^{0}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}_{C})\\&\to H^{1}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}(-d))\to H^{1}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}})\to H^{1}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}_{C})\\&\to H^{2}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}(-d))\to H^{2}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}})\to H^{2}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}_{C})\end{aligned}}}$

которые можно упростить, используя предыдущие вычисления на проективном пространстве. Для простоты предположим, что базовое кольцо (или любое алгебраически замкнутое поле). Тогда есть изоморфизмы ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}H^{0}(C,{\mathcal {O}}_{C})&\cong H^{0}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}})\\H^{1}(C,{\mathcal {O}}_{C})&\cong H^{2}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}(-d))\end{aligned}}}$

что показывает, что кривая является конечномерным векторным пространством ранга ${\displaystyle H^{1}}$

${\displaystyle {d-1 \choose d-3}={\frac {(d-1)(d-2)}{2}}}$.

Теорема Кюннета

Существует аналог формулы Кюннета в когерентных пучковых когомологиях для произведений многообразий. ^[7] Если даны квазикомпактные схемы с аффинными диагоналями над полем , (например, разделенные схемы), и пусть и , то существует изоморфизм ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\in {\text{Coh}}(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}\in {\text{Coh}}(Y)}$

${\displaystyle H^{k}(X\times _{{\text{Spec}}(k)}Y,\pi _{1}^{*}{\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X\times _{{\text{Spec}}(k)}Y}}\pi _{2}^{*}{\mathcal {G}})\cong \bigoplus _{i+j=k}H^{i}(X,{\mathcal {F}})\otimes _{k}H^{j}(Y,{\mathcal {G}})}$

где — канонические проекции на . ${\displaystyle \pi _{1},\pi _{2}}$ ${\displaystyle X\times _{{\text{Spec}}(k)}Y}$ ${\displaystyle X,Y}$

Вычисление пучковых когомологий кривых

В , общий раздел определяет кривую , задавая идеальную последовательность ${\displaystyle X=\mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(a,b)=\pi _{1}^{*}{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}}(a)\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}\pi _{2}^{*}{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}}(b)}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}(-a,-b)\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{C}\to 0}$

Тогда длинная точная последовательность читается как

${\displaystyle {\begin{aligned}0&\to H^{0}(X,{\mathcal {O}}(-a,-b))\to H^{0}(X,{\mathcal {O}})\to H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{C})\\&\to H^{1}(X,{\mathcal {O}}(-a,-b))\to H^{1}(X,{\mathcal {O}})\to H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{C})\\&\to H^{2}(X,{\mathcal {O}}(-a,-b))\to H^{2}(X,{\mathcal {O}})\to H^{2}(X,{\mathcal {O}}_{C})\end{aligned}}}$

давая

${\displaystyle {\begin{aligned}H^{0}(C,{\mathcal {O}}_{C})&\cong H^{0}(X,{\mathcal {O}})\\H^{1}(C,{\mathcal {O}}_{C})&\cong H^{2}(X,{\mathcal {O}}(-a,-b))\end{aligned}}}$

Так как — род кривой, мы можем использовать формулу Кюннета для вычисления ее чисел Бетти. Это ${\displaystyle H^{1}}$

${\displaystyle H^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X}(-a,-b))\cong H^{1}(\mathbb {P} ^{1},{\mathcal {O}}(-a))\otimes _{k}H^{1}(\mathbb {P} ^{1},{\mathcal {O}}(-b))}$

который имеет ранг

${\displaystyle {\binom {a-1}{a-2}}{\binom {b-1}{b-2}}=(a-1)(b-1)=ab-a-b+1}$^[8]

для . В частности, если определяется исчезающим локусом родового сечения , то он имеет род ${\displaystyle -a,-b\leq -2}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(2,k)}$

${\displaystyle 2k-2-k+1=k-1}$

следовательно, внутри можно найти кривую любого рода . ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}}$

Конечномерность

Для правильной схемы над полем и любого когерентного пучка на группы когомологий имеют конечную размерность как -векторные пространства. ^[9] В частном случае, когда проективно над , это доказывается сведением к случаю линейных расслоений на проективном пространстве, обсуждавшемуся выше. В общем случае правильной схемы над полем Гротендик доказал конечность когомологий сведением к проективному случаю, используя лемму Чжоу . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$

Конечномерность когомологий также имеет место в аналогичной ситуации когерентных аналитических пучков на любом компактном комплексном пространстве, с помощью совершенно другого аргумента. Картан и Серр доказали конечномерность в этой аналитической ситуации, используя теорему Шварца о компактных операторах в пространствах Фреше . Относительные версии этого результата для собственного морфизма были доказаны Гротендиком (для локально нётеровых схем) и Грауэртом (для комплексных аналитических пространств). А именно, для собственного морфизма (в алгебраической или аналитической постановке) и когерентного пучка на , высшие прямые образы пучков когерентны. ^[10] Когда является точкой, эта теорема дает конечномерность когомологий. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R^{i}f_{*}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle Y}$

Конечномерность когомологий приводит ко многим числовым инвариантам для проективных многообразий. Например, если — гладкая проективная кривая над алгебраически замкнутым полем , род определяется как размерность -векторного пространства . Когда — поле комплексных чисел , это согласуется с родом пространства комплексных точек в его классической (евклидовой) топологии. (В этом случае — замкнутая ориентированная поверхность .) Среди многих возможных обобщений более высокой размерности геометрический род гладкого проективного многообразия размерности — это размерность , а арифметический род (согласно одному соглашению ^[11] ) — знакопеременная сумма ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle X(\mathbb {C} )=X^{an}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle H^{n}(X,{\mathcal {O}}_{X})}$

${\displaystyle \chi (X,{\mathcal {O}}_{X})=\sum _{j}(-1)^{j}\dim _{k}(H^{j}(X,{\mathcal {O}}_{X})).}$

Серр двойственность

Двойственность Серра является аналогом двойственности Пуанкаре для когерентных пучковых когомологий. В этой аналогии каноническое расслоение играет роль ориентационного пучка . А именно, для гладкой собственной схемы размерности над полем существует естественное отображение следа , которое является изоморфизмом, если геометрически связно , что означает, что базовая замена на алгебраическое замыкание связна . Двойственность Серра для векторного расслоения на говорит , что произведение ${\displaystyle K_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle H^{n}(X,K_{X})\to k}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle H^{i}(X,E)\times H^{n-i}(X,K_{X}\otimes E^{*})\to H^{n}(X,K_{X})\to k}$

является совершенным сопряжением для любого целого числа . ^[12] В частности, -векторные пространства и имеют одинаковую (конечную) размерность. (Серр также доказал двойственность Серра для голоморфных векторных расслоений на любом компактном комплексном многообразии.) Теория двойственности Гротендика включает обобщения на любой когерентный пучок и любой собственный морфизм схем, хотя утверждения становятся менее элементарными. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle H^{i}(X,E)}$ ${\displaystyle H^{n-i}(X,K_{X}\otimes E^{*})}$

Например, для гладкой проективной кривой над алгебраически замкнутым полем двойственность Серра подразумевает, что размерность пространства 1-форм на равна роду (размерности ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle H^{0}(X,\Omega ^{1})=H^{0}(X,K_{X})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})}$

Теоремы GAGA

Теоремы GAGA связывают алгебраические многообразия над комплексными числами с соответствующими аналитическими пространствами. Для схемы X конечного типа над C существует функтор из когерентных алгебраических пучков на X в когерентные аналитические пучки на ассоциированном аналитическом пространстве X ^an . Ключевая теорема GAGA (по Гротендику, обобщающая теорему Серра о проективном случае) состоит в том, что если X является собственным над C , то этот функтор является эквивалентностью категорий. Более того, для каждого собственного алгебраического пучка E на собственной схеме X над C естественное отображение

${\displaystyle H^{i}(X,E)\to H^{i}(X^{\text{an}},E^{\text{an}})}$

(конечномерных) комплексных векторных пространств является изоморфизмом для всех i . ^[13] (Первая группа здесь определяется с использованием топологии Зариского, а вторая — с использованием классической (евклидовой) топологии.) Например, эквивалентность между алгебраическими и аналитическими когерентными пучками на проективном пространстве влечет теорему Чжоу о том, что каждое замкнутое аналитическое подпространство CP ⁿ является алгебраическим.

Теоремы об исчезновении

Теорема Серра об исчезновении гласит, что для любого обильного линейного расслоения на собственной схеме над нётеровым кольцом и любого когерентного пучка на существует целое число такое, что для всех пучок натянут на свои глобальные сечения и не имеет когомологий в положительных степенях. ^{[14] [15]} ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle m_{0}}$ ${\displaystyle m\geq m_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\otimes L^{\otimes m}}$

Хотя теорема Серра об исчезновении полезна, неявность числа может быть проблемой. Теорема Кодаиры об исчезновении является важным явным результатом. А именно, если — гладкое проективное многообразие над полем нулевой характеристики, — обильное линейное расслоение на и каноническое расслоение , то ${\displaystyle m_{0}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K_{X}}$

${\displaystyle H^{j}(X,K_{X}\otimes L)=0}$

для всех . Обратите внимание, что теорема Серра гарантирует то же самое исчезновение для больших степеней . Исчезновение Кодаиры и его обобщения являются основополагающими для классификации алгебраических многообразий и минимальной модельной программы . Исчезновение Кодаиры не выполняется для полей положительной характеристики. ^[16] ${\displaystyle j>0}$ ${\displaystyle L}$

теория Ходжа

Теорема Ходжа связывает когерентные когомологии пучков с сингулярными когомологиями (или когомологиями де Рама ). А именно, если — гладкое комплексное проективное многообразие, то существует каноническое разложение в прямую сумму комплексных векторных пространств: ${\displaystyle X}$

${\displaystyle H^{a}(X,\mathbf {C} )\cong \bigoplus _{b=0}^{a}H^{a-b}(X,\Omega ^{b}),}$

для любого . Группа слева означает сингулярные когомологии в его классической (евклидовой) топологии, тогда как группы справа являются группами когомологий когерентных пучков, которые (по GAGA) могут быть взяты либо в топологии Зариского, либо в классической топологии. Тот же вывод справедлив для любой гладкой собственной схемы над или для любого компактного кэлерова многообразия . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle X(\mathbf {C} )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$

Например, теорема Ходжа подразумевает, что определение рода гладкой проективной кривой как размерности , что имеет смысл над любым полем , согласуется с топологическим определением (как половина первого числа Бетти ), когда — комплексные числа. Теория Ходжа вдохновила большую часть работы по топологическим свойствам комплексных алгебраических многообразий. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}})}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

Теоремы Римана–Роха

Для правильной схемы X над полем k эйлерова характеристика когерентного пучка E на X — это целое число

${\displaystyle \chi (X,E)=\sum _{j}(-1)^{j}\dim _{k}(H^{j}(X,E)).}$

Эйлерова характеристика когерентного пучка E может быть вычислена из классов Черна E , согласно теореме Римана–Роха и ее обобщениям, теореме Хирцебруха–Римана–Роха и теореме Гротендика–Римана–Роха . Например, если L — линейное расслоение на гладкой собственной геометрически связной кривой X над полем k , то

${\displaystyle \chi (X,L)={\text{deg}}(L)-{\text{genus}}(X)+1,}$

где deg( L ) обозначает степень L .

В сочетании с теоремой об исчезновении теорема Римана–Роха часто может использоваться для определения размерности векторного пространства сечений линейного расслоения. Знание того, что линейное расслоение на X имеет достаточно сечений, в свою очередь, может использоваться для определения отображения из X в проективное пространство, возможно, замкнутое погружение. Этот подход необходим для классификации алгебраических многообразий.

Теорема Римана–Роха верна также для голоморфных векторных расслоений на компактном комплексном многообразии по теореме Атьи–Зингера об индексе .

Рост

Размерности групп когомологий на схеме размерности n могут расти максимум как многочлен степени n .

Пусть X — проективная схема размерности n , а D — дивизор на X. Если — любой когерентный пучок на X , то ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle h^{i}(X,{\mathcal {F}}(mD))=O(m^{n})}$для каждого i .

Для высших когомологий nef-дивизора D на X ;

${\displaystyle h^{i}(X,{\mathcal {O}}_{X}(mD))=O(m^{n-1})}$

Приложения

При наличии схемы X над полем k теория деформаций изучает деформации X в бесконечно малые окрестности. Простейший случай, касающийся деформаций над кольцом дуальных чисел , исследует , существует ли схема X _R над Spec R такая, что специальное волокно ${\displaystyle R:=k[\epsilon ]/\epsilon ^{2}}$

${\displaystyle X_{R}\times _{\operatorname {Spec} R}\operatorname {Spec} k}$

изоморфно данному X. Когерентные пучковые когомологии с коэффициентами в касательном пучке контролируют этот класс деформаций X , при условии, что X является гладким. А именно, ${\displaystyle T_{X}}$

• Классы изоморфизма деформаций указанного типа параметризуются первыми когерентными когомологиями , ${\displaystyle H^{1}(X,T_{X})}$
• существует элемент (называемый классом препятствия), в котором обращается в нуль тогда и только тогда, когда существует деформация X над Spec R, как указано выше. ${\displaystyle H^{2}(X,T_{X})}$

Примечания

1. (Хартшорн 1977, (III.1.1A) и раздел III.2.)
2. ^ Проект.
3. Проект Stacks, тег 01XE.
4. (Хартшорн 1977, Теорема III.5.1.)
5. (Хартшорн 1977, Теорема III.2.7.)
6. Хохенеггер, Андреас (2019). «Введение в производные категории когерентных пучков». У Андреаса Хохенеггера; Манфред Лен; Паоло Стеллари (ред.). Бирациональная геометрия гиперповерхностей . Конспекты лекций Unione Matematica Italiana. Том. 26. С. 267–295. arXiv : 1901.07305 . Бибкод : 2019arXiv190107305H. дои : 10.1007/978-3-030-18638-8_7. ISBN 978-3-030-18637-1. S2CID  119721183.
7. "Раздел 33.29 (0BEC): Формула Кюннета — проект Stacks". stacks.math.columbia.edu . Получено 23.02.2020 .
8. Вакил. «ОСНОВЫ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КЛАССЫ 35 И 36» (PDF) .
9. Проект Stacks, Тег 02O3.
10. (Гротендик и Дьедонне 1961, (EGA 3) 3.2.1), (Грауэрт и Реммерт 1984, теорема 10.4.6.)
11. (Серр 1955, раздел 80.)
12. (Хартшорн 1977, Теорема III.7.6.)
13. (Гротендик и Рейно 2003, (SGA 1) Exposé XII.)
14. (Хартшорн 1977, Теорема II.5.17 и Предложение III.5.3.)
15. (Гротендик и Дьедонне 1961, (EGA 3) Теорема 2.2.1)
16. Мишель Рейно. Контрпример с теоремой об исчезновении в характеристиках p > 0 . В CP Ramanujam - дань уважения , Tata Inst. Фонд. Рез. Исследования по математике. 8, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, (1978), стр. 273–278.

Ссылки

• Картан, Анри; Серр, Жан-Пьер (1953). «Теорема конечности, касающаяся компактных аналитических разновидностей». Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences de Paris . 237 : 128–130. Збл  0050.17701.
• Грауэрт, Ганс ; Реммерт, Рейнхольд (1984), Когерентные аналитические пучки , Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 265, Springer-Verlag , номер документа : 10.1007/978-3-642-69582-7, ISBN. 3-540-13178-7, МР  0755331
• Гротендик, Александр ; Рейно, Мишель (2003) [1971], Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie – 1960–61 – Revêtements étales et groupe Fondamental (SGA 1) (Documents Mathématiques 3 ) , Париж: Société Mathématique de France , arXiv : math.AG/0206203 , ISBN 978-2-85629-141-2, MR  2017446
• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1961). «Элементы алгебраической геометрии: III. Когомологический этюд faisceaux coherents, Première party». Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 11 . дои : 10.1007/bf02684274. МР  0217085.
• Хартшорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Graduate Texts in Mathematics , т. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, МР  0463157
• Серр, Жан-Пьер (1955), «Faisceaux algébriques cohérents» (PDF) , Annals of Mathematics , 61 (2): 197–278, doi : 10.2307/1969915, JSTOR  1969915, MR  0068874
• Паршин, А.Н. (2001) [1994], "Теоремы конечности", Энциклопедия математики , Издательство EMS Press
• Грауэрт, Ганс; Реммерт, Рейнхольд (2004). "Теорема конечности". Теория пространств Штейна . Классика математики. стр. 186–203. doi :10.1007/978-3-642-18921-0_8. ISBN 978-3-540-00373-1.

Внешние ссылки

• Авторы проекта «Стеки», проект «Стеки»