Комбинаторный дизайн

Симметричное расположение конечных множеств

Теория комбинаторного дизайна — это часть комбинаторной математики , которая занимается существованием, построением и свойствами систем конечных множеств , чьи расположения удовлетворяют обобщенным концепциям баланса и/или симметрии . Эти концепции не уточняются, так что широкий спектр объектов можно рассматривать как находящиеся под одной крышей. Иногда это может включать числовые размеры пересечений множеств, как в блочных конструкциях , в то время как в других случаях это может включать пространственное расположение записей в массиве, как в сетках судоку .

Теория комбинаторного дизайна может быть применена к области дизайна экспериментов . Некоторые из основных теорий комбинаторного дизайна возникли в работе статистика Рональда Фишера по дизайну биологических экспериментов. Современные приложения также встречаются в широком спектре областей, включая конечную геометрию , планирование турниров , лотереи , математическую химию , математическую биологию , проектирование и анализ алгоритмов , сетевое взаимодействие , групповое тестирование и криптографию . ^[1]

Пример

Самолет Фано

При наличии определенного количества людей n можно ли распределить их по множествам так, чтобы каждый человек находился по крайней мере в одном множестве, каждая пара людей находилась ровно в одном множестве вместе, каждые два множества имели ровно одного общего человека и ни одно множество не содержало всех, всех, кроме одного человека, или ровно одного человека? Ответ зависит от n .

Это имеет решение только если n имеет вид q ² + q + 1. Менее просто доказать, что решение существует, если q является степенью простого числа . Предполагается, что это единственные решения. Далее было показано, что если решение существует для q , сравнимого с 1 или 2 mod 4, то q является суммой двух квадратных чисел . Этот последний результат, теорема Брука–Райзера , доказывается комбинацией конструктивных методов, основанных на конечных полях , и применением квадратичных форм .

Когда такая структура существует, она называется конечной проективной плоскостью ; таким образом показывая, как пересекаются конечная геометрия и комбинаторика. Когда q  = 2, проективная плоскость называется плоскостью Фано .

История

Комбинаторные конструкции восходят к древности, а квадрат Ло Шу был ранним магическим квадратом . Одно из самых ранних датируемых применений комбинаторного дизайна найдено в Индии в книге «Брихат Самхита» Варахамихиры, написанной около 587 г. н. э., с целью создания духов с использованием 4 веществ, выбранных из 16 различных веществ с использованием магического квадрата. ^[2]

Комбинаторные конструкции развивались вместе с общим ростом комбинаторики с 18-го века, например, с латинскими квадратами в 18-м веке и системами Штейнера в 19-м веке. Конструкции также были популярны в развлекательной математике , например, в задаче школьницы Киркмана (1850), и в практических задачах, например, в планировании круговых турниров (решение опубликовано в 1880-х годах). В 20-м веке конструкции применялись для планирования экспериментов , в частности, латинских квадратов, конечной геометрии и ассоциативных схем , что привело к появлению области алгебраической статистики .

Фундаментальные комбинаторные конструкции

Классическое ядро ​​предмета комбинаторных схем строится вокруг сбалансированных неполных блочных схем (BIBD) , матриц Адамара и схем Адамара , симметричных BIBD , латинских квадратов , разрешимых BIBD , разностных множеств и попарно сбалансированных схем (PBD). ^[3] Другие комбинаторные схемы связаны с изучением этих фундаментальных схем или были разработаны на основе их.

• Сбалансированная неполная блочная схема или BIBD (обычно называемая для краткости блочной схемой ) — это набор B из b подмножеств (называемых блоками ) конечного множества X из v элементов, такой, что любой элемент X содержится в том же количестве r блоков, каждый блок имеет то же количество k элементов, и каждая пара различных элементов появляется вместе в том же количестве λ блоков. BIBD также известны как 2-схемы и часто обозначаются как 2-( v , k ,λ) схемы. Например, когда λ = 1 и b = v , мы имеем проективную плоскость : X — множество точек плоскости, а блоки — прямые.
• Симметричная сбалансированная неполная блочная схема или SBIBD — это BIBD, в которой v  =  b (количество точек равно количеству блоков). Они являются единственным наиболее важным и хорошо изученным подклассом BIBD. Проективные плоскости, биплоскости и 2-схемы Адамара — все это SBIBD. Они представляют особый интерес, поскольку являются экстремальными примерами неравенства Фишера ( b ≥ v ).
• Разрешимая BIBD — это BIBD, блоки которой можно разбить на множества (называемые параллельными классами ), каждое из которых образует разбиение множества точек BIBD. Набор параллельных классов называется разрешением дизайна . Решение знаменитой задачи о 15 школьницах — это разрешение BIBD с v  = 15, k  = 3 и λ = 1. ^[4]
• Латинский прямоугольник — это матрица r  ×  n , в которой числа 1, 2, 3, ...,  n являются элементами (или любым другим набором из n различных символов), при этом ни одно число не встречается более одного раза в любой строке или столбце, где  r  ≤  n . Латинский прямоугольник n  ×  n называется латинским квадратом . Если r  <  n , то можно присоединить n  −  r строк к латинскому прямоугольнику r  ×  n , чтобы сформировать латинский квадрат, используя теорему Холла о браке . ^[5]

Два латинских квадрата порядка n называются ортогональными , если множество всех упорядоченных пар, состоящих из соответствующих записей в двух квадратах, имеет n ² различных членов (возникают все возможные упорядоченные пары). Множество латинских квадратов одного порядка образует множество взаимно ортогональных латинских квадратов (МОЛК), если каждая пара латинских квадратов в множестве ортогональна.  В множестве МОЛК порядка n может быть не более n − 1 квадратов . Множество из n  − 1 МОЛК порядка n можно использовать для построения проективной плоскости порядка n (и наоборот).

• Множество разностей ( v , k , λ) — это подмножество D группы G, такое , что порядок G равен v , размер D равен k , и каждый нетождественный элемент G может быть выражен как произведение d ₁ d ₂ ⁻¹ элементов D ровно λ способами (когда G записано с помощью операции умножения). ^[6]

Если D — разностное множество, а g в G , то g D  = { gd : d в D } также является разностным множеством и называется трансляцией D. Множество всех трансляций разностного множества D образует симметричную BIBD . В такой конструкции есть v элементов и v блоков. Каждый блок конструкции состоит из k точек, каждая точка содержится в k блоках. Любые два блока имеют ровно λ общих элементов , и любые две точки появляются вместе в λ блоках. Такая SBIBD называется разработкой D. [ ^7]

В частности, если λ = 1, то разностное множество порождает проективную плоскость . Примером разностного множества (7,3,1) в группе (абелевой группе, записанной аддитивно) является подмножество {1,2,4}. Развитие этого разностного множества дает плоскость Фано . ${\displaystyle \mathbb {Z} /7\mathbb {Z} }$

Поскольку каждый набор разностей дает SBIBD, набор параметров должен удовлетворять теореме Брука–Райзера–Чоула , но не каждый SBIBD дает набор разностей.

• Матрица Адамара порядка m — это матрица H размером m × m , элементы которой равны ±1, такая что HH ^⊤  =  m I _m , где H ^⊤ — транспонированная матрица H , а I _m — единичная матрица размером m  ×  m . Матрицу Адамара можно привести к стандартизированной форме (то есть преобразовать в эквивалентную матрицу Адамара), где элементы первой строки и первого столбца равны +1. Если порядок m  > 2, то m должно быть кратно 4.

Дана матрица Адамара порядка 4 a в стандартизированной форме, удаляем первую строку и первый столбец и преобразуем каждую −1 в a 0. Полученная матрица 0–1 M является матрицей инцидентности симметричной 2 − (4 a  − 1, 2 a  − 1, a  − 1) схемы, называемой 2-схемой Адамара . ^[8] Эта конструкция обратима, и матрица инцидентности симметричной 2-схемы с этими параметрами может быть использована для формирования матрицы Адамара порядка 4 a . Когда a  = 2, мы получаем, уже знакомую, плоскость Фано как 2-схему Адамара.

• Попарно сбалансированная конструкция (или PBD) — это множество X вместе с семейством подмножеств X (которые не обязательно должны иметь одинаковый размер и могут содержать повторы), так что каждая пара различных элементов X содержится ровно в λ (положительное целое число) подмножествах. Множество X может быть одним из подмножеств, и если все подмножества являются копиями X , PBD называется тривиальным . Размер X равен v , а количество подмножеств в семействе (подсчитанное с кратностью) равно  b .

Неравенство Фишера справедливо для PBD: ^[9] Для любого нетривиального PBD v  ≤  b .

Этот результат также обобщает известную теорему Эрдёша–де Брейна : для PBD с λ  = 1, не имеющего блоков размера 1 или размера  v , v  ≤  b , с равенством тогда и только тогда, когда PBD является проективной плоскостью или почти пучком. ^[10]

Другие комбинаторные конструкции

The Handbook of Combinatorial Designs (Colbourn & Dinitz 2007) содержит, среди прочего, 65 глав, каждая из которых посвящена комбинаторному дизайну, отличному от приведенных выше. Частичный список приведен ниже:

• Схемы ассоциации
• Сбалансированная троичная схема BTD( V , B ; ρ ₁ , ρ ₂ , R ; K , Λ) представляет собой расположение V элементов в B мультимножеств (блоков), каждое из которых имеет мощность K ( K ≤ V ), удовлетворяющее следующим условиям:

1. Каждый элемент появляется R = ρ ₁ + 2 ρ ₂ раз в общей сложности, с кратностью один ровно в ρ ₁ блоках и кратностью два ровно в ρ ₂ блоках.
2. Каждая пара различных элементов появляется Λ раз (с учетом кратности); то есть, если m _vb — кратность элемента v в блоке b , то для каждой пары различных элементов v и w , . ${\displaystyle \sum _{b=1}^{B}m_{vb}m_{wb}=\Lambda }$

Например, один из двух неизоморфных BTD(4,8;2,3,8;4,6) (блоки являются столбцами) имеет вид: ^[11]

Матрица инцидентности BTD (где элементы представляют собой кратности элементов в блоках) может быть использована для формирования троичного кода исправления ошибок аналогично тому, как двоичные коды формируются из матриц инцидентности BIBD. ^[12]

• АСбалансированный турнирный дизайн порядкаn(BTD(n)) — это расположение всех различных неупорядоченных пар 2n-множестваVвn × (2n − 1) таким образом, что

1. каждый элемент V появляется ровно один раз в каждом столбце, и
2. каждый элемент V встречается в каждой строке не более двух раз.

Пример BTD(3) приведен ниже:

Столбцы BTD( n ) обеспечивают 1-факторизацию полного графа на 2 n вершинах, K _{2 n} . ^[13]

BTD( n ) можно использовать для планирования круговых турниров : строки представляют места, столбцы — раунды игры, а записи — соревнующихся игроков или команды.

• Изогнутые функции
• Массивы Костаса
• Факторные планы
• Квадрат частоты ( F -квадрат) — это обобщение латинского квадрата более высокого порядка . Пусть S = { s ₁ , s ₂ , ..., s _m } — набор различных символов, а ( λ ₁ , λ ₂ , ..., λ _m ) — вектор частот положительных целых чисел. Квадрат частоты порядка n — это массив n × n , в котором каждый символ s _i встречается λ _i раз, i = 1,2,..., m , в каждой строке и столбце. Порядок n = λ ₁  +  λ ₂  + ... +  λ _m . F-квадрат находится в стандартной форме, если в первой строке и столбце все вхождения s _i предшествуют вхождениям s _j всякий раз, когда i  <  j .

Квадрат частоты F ₁ порядка n, основанный на наборе { s ₁ , s ₂ , ..., s _m } с вектором частот ( λ ₁ , λ ₂ , ..., λ _m ), и квадрат частоты F ₂ , также порядка n , основанный на наборе { t ₁ , t ₂ , ..., t _k } с вектором частот ( μ ₁ , μ ₂ , ..., μ _k ), ортогональны, если каждая упорядоченная пара ( s _i , t _j ) появляется точно λ _i μ _j раз при наложении F ₁ и F _{2 .}

• Системы троек Холла (СТХ) являются системами троек Штейнера (СТШ) (но блоки называются прямыми ) со свойством, что подструктура, порожденная двумя пересекающимися прямыми, изоморфна конечной аффинной плоскости AG(2,3).

Любое аффинное пространство AG( n ,3) дает пример HTS. Такое HTS является аффинным HTS . Существуют также неаффинные HTS.

Число точек HTS равно 3 ^m для некоторого целого числа m  ≥ 2. Неаффинные HTS существуют для любого m  ≥ 4 и не существуют для m  = 2 или 3. ^[14]

Каждая система троек Штейнера эквивалентна квазигруппе Штейнера ( идемпотентной , коммутативной и удовлетворяющей ( xy ) y  =  x для всех x и y ). Система троек Холла эквивалентна квазигруппе Штейнера, которая является дистрибутивной , то есть удовлетворяет a ( xy ) = ( ax )( ay ) для всех a , x , y в квазигруппе. ^[15]

• Пусть S — набор из 2 n элементов. Схема Хауэлла H( s ,2 n ) (на наборе символов S ) — это массив s × s такой, что:

1. Каждая ячейка массива либо пуста, либо содержит неупорядоченную пару из S ,
2. Каждый символ встречается ровно один раз в каждой строке и столбце массива, и
3. Каждая неупорядоченная пара символов встречается не более чем в одной ячейке массива.

Примером H (4,6) является

H(2 n  − 1, 2 n ) — это квадрат Рума со стороной 2 n  − 1, и, таким образом, конструкции Хауэлла обобщают концепцию квадратов Рума.

Пары символов в ячейках схемы Хауэлла можно рассматривать как ребра регулярного графа с 2n вершинами , называемого базовым графом схемы Хауэлла.

Циклические конструкции Хауэлла используются в качестве движений Хауэлла в турнирах по дублированию бриджа. Строки конструкции представляют раунды, столбцы представляют доски, а диагонали представляют столы. ^[16]

• Линейные пространства
• План ( n , k , p , t )-лото — это n -множество V элементов вместе с набором β k -элементных подмножеств V (блоков), так что для любого p -подмножества P из V существует блок B в β , для которого |P ∩ B | ≥ t . L( n , k , p , t ) обозначает наименьшее количество блоков в любом плане ( n , k , p , t )-лото. Ниже приведен план (7,5,4,3)-лото с наименьшим возможным количеством блоков: ^[17]

{1,2,3,4,7} {1,2,5,6,7} {3,4,5,6,7}.

Лотерейные проекты моделируют любую лотерею , которая проводится следующим образом: люди покупают билеты, состоящие из k чисел, выбранных из набора из n чисел. В определенный момент продажа билетов останавливается, и из n чисел случайным образом выбирается набор из p чисел . Это выигрышные номера . Если какой-либо проданный билет содержит t или более выигрышных номеров, владельцу билета дается приз. Более крупные призы достаются билетам с большим количеством совпадений. Значение L( n , k , p , t ) представляет интерес как для игроков, так и для исследователей, поскольку это наименьшее количество билетов, которое необходимо купить, чтобы гарантировать выигрыш.

Венгерская лотерея представляет собой лото с параметрами (90,5,5, t ), и известно, что L(90,5,5,2) = 100. Лотереи с параметрами (49,6,6, t ) также популярны во всем мире, и известно, что L(49,6,6,2) = 19. Однако в целом эти числа трудно подсчитать, и они остаются неизвестными. ^[18]

Геометрическое построение одного из таких дизайнов представлено в Трансильванской лотерее .

• Магические квадраты
• ( v , k , λ ) -схема Мендельсона , или MD( v , k , λ ), представляет собой v -множество V и набор β упорядоченных k -кортежей различных элементов V (называемых блоками ), таких, что каждая упорядоченная пара ( x , y ) с x ≠ y элементов V является циклически смежной в λ блоках. Упорядоченная пара ( x , y ) различных элементов является циклически смежной в блоке, если элементы появляются в блоке как (..., x , y ,...) или ( y ,..., x ). MD( v ,3, λ ) является тройной системой Мендельсона , MTS( v , λ ). Примером MTS(4,1) на V = {0,1,2,3} является:

(0,1,2) (1,0,3) (2,1,3) (0,2,3)

Любую систему троек можно превратить в систему троек Мендельсона, заменив неупорядоченную тройку { a , b , c } парой упорядоченных троек ( a , b , c ) и ( a , c , b ), но, как показывает пример, обратное утверждение неверно.

Если ( Q ,∗) — идемпотентная полусимметричная квазигруппа , то есть x ∗ x = x (идемпотентная) и x ∗ ( y ∗ x ) = y (полусимметричная) для всех x , y в Q , пусть β = {( x , y , x ∗ y ): x , y в Q }. Тогда ( Q , β) — тройная система Мендельсона MTS(| Q |,1). Эта конструкция обратима. ^[19]

• Ортогональные массивы
• Квази -3-дизайн — это симметричный дизайн (SBIBD), в котором каждая тройка блоков пересекается либо в точках x , либо в точках y , для фиксированных x и y, называемых тройными числами пересечения ( x < y ). Любой симметричный дизайн с λ ≤ 2 является квази-3-дизайном с x  = 0 и y  = 1. Точечно-гиперплоскостной дизайн PG ( n , q ) является квази-3-дизайном с x  = ( q ^{n −2}  − 1)/( q  − 1) и y  =  λ  = ( q ^{n −1}  − 1)/( q  − 1). Если y  =  λ для квази-3-дизайна, дизайн изоморфен PG ( n , q ) или проективной плоскости . ^[20]
• План D t- ( v , k , λ ) является квазисимметричным с числами пересечения x и y ( x < y ), если каждые два различных блока пересекаются либо в точках x, либо в точках y . Эти планы естественным образом возникают при исследовании двойственных планов с λ = 1. Несимметричный ( b > v ) 2-( v , k ,1) план является квазисимметричным с x = 0 и y = 1. Множество (повторение всех блоков определенное число раз) симметричного 2-( v , k , λ ) плана является квазисимметричным с x = λ и y = k . 3-планы Адамара (расширения 2-планов Адамара ) являются квазисимметричными. ^[21]

Каждая квазисимметричная блок-схема порождает строго регулярный граф (как ее блок-граф), но не все SRG возникают таким образом. ^[22]

Матрица инцидентности квазисимметричной 2-( v , k , λ ) конструкции с k ≡ x ≡ y (mod 2) генерирует двоичный самоортогональный код (при ограничении, если k нечетно) ^{[23] .}

• Площадь комнаты
• Сферическая конструкция — это конечное множество X точек в ( d  − 1)-мерной сфере, такое, что для некоторого целого числа t среднее значение на X каждого многочлена

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{d})\ }$

полной степени не более t равна среднему значению f на всей сфере, т.е. интегралу f , деленному на площадь сферы.

• Системы Туран
• Прямоугольник r × n тосканского- k на n символах имеет r строк и n столбцов , такие что:

1. каждая строка представляет собой перестановку n символов и
2. для любых двух различных символов a и b и для каждого m от 1 до k существует не более одной строки, в которой b находится на m шагов правее a .

Если r = n и k = 1, то они называются тосканскими квадратами , а если r = n и k = n - 1, то они называются флорентийскими квадратами . Римский квадрат — это тосканский квадрат, который также является латинским квадратом (они также известны как полные латинские квадраты ). Ватиканский квадрат — это флорентийский квадрат, который также является латинским квадратом.

Следующий пример представляет собой квадрат тоскан-1 из 7 символов, который не является квадратом тоскан-2: ^[24]

Тосканский квадрат на n символах эквивалентен разложению полного графа с n вершинами на n гамильтоновых направленных путей. ^[25]

В последовательности визуальных впечатлений одна карточка может иметь некоторое влияние на впечатление, создаваемое следующей. Это смещение может быть устранено с помощью n последовательностей, соответствующих строкам квадрата n × n тоскан-1. ^[26]

• Сбалансированный по t план ( или t BD) типа t  − ( v ,K, λ ) — это v -множество X вместе с семейством подмножеств X (называемых блоками ), размеры которых находятся в множестве K, так что каждое t -подмножество различных элементов X содержится ровно в λ блоках. Если K — множество положительных целых чисел строго между t и v , то t BD является правильным . Если все k -подмножества X для некоторого k являются блоками, то t BD является тривиальным планом . ^[27]

Обратите внимание, что в следующем примере конструкции 3-{12,{4,6},1), основанной на наборе X = {1,2,...,12}, некоторые пары появляются четыре раза (например, 1,2), а другие появляются пять раз (например, 6,12). ^[28]

1 2 3 4 5 6 1 2 7 8 1 2 9 11 1 2 10 12 3 5 7 8 3 5 9 11 3 5 10 12 4 6 7 8 4 6 9 11 4 6 10 12

7 8 9 10 11 12 2 3 8 9 2 3 10 7 2 3 11 12 4 1 8 9 4 1 10 7 4 1 11 12 5 6 8 9 5 6 10 7 5 6 11 12

                             3 4 9 10 3 4 11 8 3 4 7 12 5 2 9 10 5 2 11 8 5 2 7 12 1 6 9 10 1 6 11 8 1 6 7 12

                             4 5 10 11 4 5 7 9 4 5 8 12 1 3 10 11 1 3 7 9 1 3 8 12 2 6 10 11 2 6 7 9 2 6 8 12

                             5 1 11 7 5 1 8 10 5 1 9 12 2 4 11 7 2 4 8 10 2 4 9 12 3 6 11 7 3 6 8 10 3 6 9 12

• Матрицы взвешивания , обобщение матриц Адамара, допускающее нулевые записи, используются в некоторых комбинаторных проектах. В частности, в планировании экспериментов для оценки индивидуальных весов нескольких объектов в нескольких испытаниях. ^[29]
• Квадрат Юдена — это прямоугольный массив размером k × v ( k < v ) из v символов, такой, что каждый символ появляется ровно один раз в каждой строке, а символы, появляющиеся в любом столбце, образуют блок симметричной ( v , k , λ ) конструкции, все блоки которой появляются таким образом. Квадрат Юдена — это латинский прямоугольник. Термин «квадрат» в названии происходит от более старого определения, в котором использовался квадратный массив. ^[30] Пример квадрата Юдена размером 4 × 7 приводится как:

Семь блоков (колонн) образуют биплоскость 2-го порядка (симметричная (7,4,2)-конструкция).

Смотрите также

• Алгебраическая статистика
• Гиперграф
• гипотеза Уильямсона

Примечания

1. Стинсон 2003, стр.1
2. Хаяси, Такао (2008). «Магические квадраты в индийской математике». Энциклопедия истории науки, технологий и медицины в не-западных культурах (2-е изд.). Springer. стр. 1252–1259. doi :10.1007/978-1-4020-4425-0_9778. ISBN 978-1-4020-4559-2.
3. Стинсон 2003, стр. IX
4. Бет, Юнгникель и Ленц 1986, стр. 40 Пример 5.8
5. Райзер 1963, стр. 52, теорема 3.1.
6. Когда группа G является абелевой группой (или записана аддитивно), определяющее свойство выглядит как d ₁ –d _{2 ,} из которого и получается множество разностей терминов .
7. Бет, Юнгникель и Ленц 1986, стр. 262, Теорема 1.6
8. Стинсон 2003, стр. 74, Теорема 4.5
9. Стинсон 2003, стр. 193, Теорема 8.20
10. Стинсон 2003, стр. 183, Теорема 8.5
11. Колборн и Диниц 2007, стр. 331, Пример 2.2
12. Колборн и Диниц 2007, стр. 331, замечание 2.8.
13. Колборн и Диниц 2007, стр. 333, замечание 3.3.
14. Колборн и Диниц 2007, стр. 496, Теорема 28.5.
15. Колборн и Диниц 2007, стр. 497, Теорема 28.15.
16. Колборн и Диниц 2007, стр. 503, замечание 29.38.
17. Колборн и Диниц 2007, стр. 512, пример 32.4
18. Колборн и Диниц 2007, стр. 512, замечание 32.3.
19. Колборн и Диниц 2007, стр. 530, Теорема 35.15.
20. Колборн и Диниц 2007, стр. 577, Теорема 47.15.
21. Колборн и Диниц 2007, стр. 578-579.
22. Колборн и Диниц 2007, стр. 579, Теорема 48.10.
23. Колборн и Диниц 2007, стр. 580, Лемма 48.22.
24. Колборн и Диниц 2007, стр. 652, Примеры 62.4
25. Колборн и Диниц 2007, стр. 655, Теорема 62.24.
26. Колборн и Диниц 2007, стр. 657, замечание 62.29.
27. Колборн и Диниц 2007, стр. 657
28. Колборн и Диниц 2007, стр. 658, пример 63.5
29. Рагхаварао и Паджетт 1988, стр. 305-308
30. Колборн и Диниц 2007, стр. 669, замечание 65.3.

Ссылки

• Асмус, Э.Ф.; Ки, Дж.Д. (1992), Конструкции и их коды , Cambridge University Press, ISBN 0-521-41361-3
• Бет, Томас; Юнгникель, Дитер ; Ленц, Ханфрид (1986), Теория дизайна , Cambridge University Press. 2-е изд. (1999) ISBN 978-0-521-44432-3 . 
• Бозе, Р. К. (1949). «Заметка о неравенстве Фишера для сбалансированных неполных блочных схем». Annals of Mathematical Statistics . 20 (4): 619–620. doi : 10.1214/aoms/1177729958 .
• Caliński, Tadeusz; Kageyama, Sanpei (2003). Блочные конструкции: подход рандомизации, том II: Конструкция . Конспект лекций по статистике. Том 170. Springer. ISBN 0-387-95470-8.
• Колборн, Чарльз Дж.; Диниц, Джеффри Х. (2007), Справочник комбинаторных конструкций (2-е изд.), Бока-Ратон: Chapman & Hall/CRC, ISBN 978-1-58488-506-1
• Фишер, РА (1940). «Исследование различных возможных решений проблемы в неполных блоках». Annals of Eugenics . 10 : 52–75. doi : 10.1111/j.1469-1809.1940.tb02237.x. hdl : 2440/15239 .
• Холл, младший, Маршалл (1986), Комбинаторная теория (2-е изд.), Нью-Йорк: Wiley-Interscience, ISBN 0-471-09138-3
• Хьюз, DR; Пайпер, EC (1985), Теория дизайна , Cambridge University Press, ISBN 0-521-25754-9
• Ландер, Э.С. (1983), Симметричные конструкции: алгебраический подход , Кембридж: Cambridge University Press
• Линднер, CC; Роджер, CA (1997), Теория дизайна , Бока-Ратон: CRC Press, ISBN 0-8493-3986-3
• Рагхаварао, Дамараджу ; Паджетт, Лакшми В. (1988). Конструкции и комбинаторные проблемы в планировании экспериментов . Довер. ISBN 978-0-486-65685-4.
• Рагхаварао, Дамараджу ; Паджетт, Лакшми В. (2005). Блочные конструкции: анализ, комбинаторика и приложения . World Scientific. ISBN 978-981-4480-23-9.
• Райзер, Герберт Джон (1963), "8. Комбинаторные конструкции", Комбинаторная математика , Монография Каруса, т. 14, Математическая ассоциация Америки, ISBN 978-0-88385-000-8
• Шрикханде, СС ; Бхат-Наяк, Васанти Н. (1970), «Неизоморфные решения некоторых сбалансированных неполных блок-схем I», Журнал комбинаторной теории , 9 (2): 174–191, doi : 10.1016/S0021-9800(70)80024-2
• Стинсон, Дуглас Р. (2003), Комбинаторные конструкции: конструкции и анализ , Нью-Йорк: Springer, ISBN 0-387-95487-2
• Стрит, Энн Пенфолд ; Стрит, Дебора Дж. (1987). Комбинаторика экспериментального проектирования . Oxford UP [Clarendon]. ISBN 0-19-853256-3.
• ван Линт, Дж. Х.; Уилсон, Р. М. (1992), Курс комбинаторики, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-41057-1