Сравнительная статика

Мысленные эксперименты

На этом графике сравнительная статистика показывает увеличение спроса, вызывающее рост цены и количества. Сравнивая два состояния равновесия, сравнительная статика не описывает, как на самом деле происходит увеличение .

В экономике сравнительная статика — это сравнение двух различных экономических результатов до и после изменения некоторого основного экзогенного параметра . ^[1]

Будучи разновидностью статического анализа , он сравнивает два разных состояния равновесия после процесса корректировки (если таковой имеется). Он не изучает ни движение к равновесию, ни сам процесс изменения.

Сравнительная статика обычно используется для изучения изменений спроса и предложения при анализе одного рынка , а также для изучения изменений в денежно-кредитной или фискальной политике при анализе всей экономики . Сравнительная статика — инструмент анализа в микроэкономике (включая анализ общего равновесия ) и макроэкономике . Сравнительная статика была формализована Джоном Р. Хиксом (1939) и Полом А. Самуэльсоном (1947) (Кехо, 1987, стр. 517), но была представлена ​​графически, по крайней мере, с 1870-х годов. ^[2]

Для моделей стабильных равновесных темпов изменений, таких как неоклассическая модель роста , сравнительная динамика является аналогом сравнительной статики (Eatwell, 1987).

Линейное приближение

Результаты сравнительной статики обычно получаются с использованием теоремы о неявной функции для расчета линейной аппроксимации системы уравнений, определяющей равновесие, в предположении, что равновесие стабильно. То есть, если мы рассмотрим достаточно небольшое изменение некоторого экзогенного параметра, мы можем рассчитать, как изменяется каждая эндогенная переменная, используя только первые производные членов , которые появляются в уравнениях равновесия.

Например, предположим, что равновесное значение некоторой эндогенной переменной определяется следующим уравнением: ${\displaystyle x}$

${\displaystyle f(x,a)=0\,}$

где – экзогенный параметр. Тогда, в первом приближении, изменение, вызванное небольшим изменением, должно удовлетворять: ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle B{\text{d}}x+C{\text{d}}a=0.}$

Здесь и представляют собой изменения и соответственно, а и являются частными производными по и (оцениваются при начальных значениях и ) соответственно. Эквивалентно, мы можем записать изменение как: ${\displaystyle {\text{d}}x}$ ${\displaystyle {\text{d}}a}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\text{d}}x=-B^{-1}C{\text{d}}a.}$

Деление последнего уравнения на d a дает сравнительную статическую производную x по отношению к a , также называемую множителем a по x :

${\displaystyle {\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}a}}=-B^{-1}C.}$

Множество уравнений и неизвестных

Все приведенные выше уравнения остаются верными и в случае системы уравнений с неизвестными. Другими словами, предположим, представляет собой систему уравнений, включающую вектор неизвестных и вектор заданных параметров . Если мы сделаем достаточно малое изменение параметров, то результирующие изменения эндогенных переменных можно сколь угодно хорошо аппроксимировать . В этом случае представляет × матрицу частных производных функций по переменным и представляет × матрицу частных производных функций по параметрам . (Производные в и оцениваются по начальным значениям и .) Обратите внимание, что если нужно просто сравнительное статическое влияние одной экзогенной переменной на одну эндогенную переменную, правило Крамера можно использовать для полностью дифференцированной системы уравнений . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f(x,a)=0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\text{d}}a}$ ${\displaystyle {\text{d}}x=-B^{-1}C{\text{d}}a}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle B{\text{d}}x+C{\text{d}}a\,=0}$

Стабильность

Предположение о том, что равновесие стабильно, важно по двум причинам. Во-первых, если бы равновесие было неустойчивым, небольшое изменение параметра могло бы вызвать большой скачок значения , делая недействительным использование линейного приближения. Более того, принцип соответствия Пола А. Самуэльсона ^{[3] [4] [5] : стр. 122–123.} утверждает, что стабильность равновесия имеет качественные последствия в отношении сравнительных статических эффектов. Другими словами, знание того, что равновесие стабильно, может помочь нам предсказать, будет ли каждый из коэффициентов вектора положительным или отрицательным. В частности, одним из n необходимых и совместно достаточных условий устойчивости является то, что определитель матрицы B размера n × n имеет определенный знак; поскольку этот определитель выступает знаменателем в выражении для , то знак определителя влияет на знаки всех элементов вектора сравнительных статических воздействий. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle B^{-1}C}$ ${\displaystyle B^{-1}}$ ${\displaystyle B^{-1}C{\text{d}}a}$

Пример роли предположения устойчивости

Предположим, что количества спроса и предложения продукта определяются следующими уравнениями:

${\displaystyle Q^{d}(P)=a+bP}$

${\displaystyle Q^{s}(P)=c+gP}$

где объем спроса, объем предложения, P — цена, a и c — параметры пересечения, определяемые экзогенными влияниями на спрос и предложение соответственно, b <0 — величина, обратная наклону кривой спроса , а g — обратная наклону кривой предложения; g > 0, если кривая предложения наклонена вверх, g = 0, если кривая предложения вертикальна, и g < 0, если кривая предложения изогнута назад. Если мы приравняем количество предложения к количеству спроса, чтобы найти равновесную цену , мы обнаружим, что ${\displaystyle Q^{d}}$ ${\displaystyle Q^{s}}$ ${\displaystyle P^{eqb}}$

${\displaystyle P^{eqb}={\frac {a-c}{g-b}}.}$

Это означает, что равновесная цена положительно зависит от точки пересечения спроса, если g – b > 0, и отрицательно зависит от него, если g – b < 0. Какая из этих возможностей имеет значение? Фактически, начиная с начального статического равновесия и затем изменяя a , новое равновесие актуально только в том случае, если рынок действительно переходит к этому новому равновесию. Предположим, что корректировка цен на рынке происходит согласно

${\displaystyle {\frac {dP}{dt}}=\lambda (Q^{d}(P)-Q^{s}(P))}$

где > 0 — параметр скорости корректировки и — производная цены по времени — то есть обозначает, насколько быстро и в каком направлении меняется цена. По теории устойчивости P будет сходиться к своему равновесному значению тогда и только тогда, когда производная отрицательна. Эта производная определяется выражением ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\frac {dP}{dt}}}$ ${\displaystyle {\frac {d(dP/dt)}{dP}}}$

${\displaystyle {\frac {d(dP/dt)}{dP}}=-\lambda (-b+g).}$

Это отрицательное значение тогда и только тогда, когда g – b > 0, и в этом случае параметр пересечения спроса a положительно влияет на цену. Таким образом, мы можем сказать, что хотя направление воздействия точки пересечения спроса на равновесную цену неоднозначно, хотя все, что мы знаем, это то, что обратная величина наклона кривой предложения g отрицательна, в единственном соответствующем случае (в котором цена фактически достигает своего нового равновесного значения) увеличение пересечения спроса приводит к увеличению цены. Обратите внимание, что в этом случае, когда g – b > 0, кривая предложения, если она имеет отрицательный наклон, является более крутой, чем кривая спроса.

Без ограничений

Предположим , что это гладкая и строго вогнутая целевая функция, где x — вектор из n эндогенных переменных, а q — вектор из m экзогенных параметров. Рассмотрим задачу неограниченной оптимизации . Пусть , матрица n на n первых частных производных по первым n аргументам x ₁ ,..., x _n . Максимизатор определяется условием первого порядка n ×1 . ${\displaystyle p(x;q)}$ ${\displaystyle x^{*}(q)=\arg \max p(x;q)}$ ${\displaystyle f(x;q)=D_{x}p(x;q)}$ ${\displaystyle p(x;q)}$ ${\displaystyle x^{*}(q)}$ ${\displaystyle f(x^{*}(q);q)=0}$

Сравнительная статика спрашивает, как этот максимайзер изменяется в ответ на изменения m параметров. Цель — найти . ${\displaystyle \partial x_{i}^{*}/\partial q_{j},i=1,...,n,j=1,...,m}$

Строгая вогнутость целевой функции подразумевает, что якобиан f , который в точности является матрицей вторых частных производных p по эндогенным переменным, невырожден (имеет обратную). Тогда по теореме о неявной функции можно рассматривать локально как непрерывно дифференцируемую функцию, а локальный отклик на небольшие изменения q определяется выражением ${\displaystyle x^{*}(q)}$ ${\displaystyle x^{*}(q)}$

${\displaystyle D_{q}x^{*}(q)=-[D_{x}f(x^{*}(q);q)]^{-1}D_{q}f(x^{*}(q);q).}$

Применяя правило цепочки и условие первого порядка,

${\displaystyle D_{q}p(x^{*}(q),q)=D_{q}p(x;q)|_{x=x^{*}(q)}.}$

(См. Теорему о конверте ).

Приложение для максимизации прибыли

Предположим, фирма производит n товаров в количествах . Прибыль фирмы является функцией p и m экзогенных параметров , которые могут представлять, например, различные налоговые ставки. При условии, что функция прибыли удовлетворяет требованиям гладкости и вогнутости, приведенный выше метод сравнительной статики описывает изменения прибыли фирмы из-за небольших изменений налоговых ставок. ${\displaystyle x_{1},...,x_{n}}$ ${\displaystyle x_{1},...,x_{n}}$ ${\displaystyle q_{1},...,q_{m}}$

С ограничениями

Обобщение описанного выше метода позволяет включить в задачу оптимизации набор ограничений. Это приводит к общей теореме о конверте . Приложения включают определение изменений спроса по Маршаллу в ответ на изменения цен или заработной платы.

Ограничения и расширения

Одним из ограничений сравнительной статики, использующей теорему о неявной функции, является то, что результаты действительны только в (потенциально очень маленькой) окрестности оптимума, то есть только для очень небольших изменений экзогенных переменных. Еще одним ограничением является потенциально чрезмерно ограничительный характер допущений, обычно используемых для обоснования процедур сравнительной статики. Например, Джон Накбар в одном из своих тематических исследований обнаружил, что использование сравнительной статики в анализе общего равновесия лучше всего работает с очень небольшим индивидуальным уровнем данных, а не на совокупном уровне. ^[6]

Пол Милгром и Крис Шеннон ^[7] отметили в 1994 году, что предположения, традиционно используемые для обоснования использования сравнительной статики в задачах оптимизации, на самом деле не являются необходимыми — в частности, предположения о выпуклости предпочтительных множеств или множеств ограничений, гладкости их границ, условия первой и второй производных, а также линейность бюджетных множеств или целевых функций. Фактически, иногда задача, удовлетворяющая этим условиям, может быть монотонно преобразована в задачу с идентичной сравнительной статикой, но нарушающую некоторые или все из этих условий; следовательно, эти условия не являются необходимыми для обоснования сравнительной статики. На основе статьи Милгрома и Шеннона, а также результатов, полученных Вейноттом ^[8] и Топкисом ^[9], было развито важное направление операционных исследований, названное монотонной сравнительной статикой . В частности, эта теория концентрируется на сравнительном статическом анализе, используя только условия, независимые от преобразований, сохраняющих порядок. Метод использует теорию решеток и вводит понятия квазисупермодулярности и условия однократного пересечения. Широкое применение монотонной сравнительной статики в экономике включает теорию производства, теорию потребления, теорию игр с полной и неполной информацией, теорию аукционов и другие. ^[10]

Смотрите также

• Модель (экономика)
• Качественная экономика

Примечания

1. (Мас-Колелл, Уинстон и Грин, 1995, стр. 24; Зильберберг и Суен, 2000)
2. Флиминг Дженкин (1870), «Графическое представление законов спроса и предложения и их применение к труду», в книгах Александра Гранта, « Перерывные исследования » и (1872), «О принципах, которые регулируют размер налогов», Труды Королевского общества Эдинбурга 1871–2 , стр. 618–30, также в Papers, Literary, Scientific и т. д ., т. 2 (1887), изд. С. К. Колвин и Дж. А. Юинг, прокрутив до ссылок на главы.
3. Самуэльсон, Пол, «Стабильность равновесия: сравнительная статика и динамика», Econometrica 9, апрель 1941, 97–120: представляет концепцию принципа соответствия.
4. Самуэльсон, Пол, «Стабильность равновесия: линейные и нелинейные системы», Econometrica 10 (1), январь 1942, 1-25: вводит термин «принцип соответствия».
5. Баумол, Уильям Дж., Экономическая динамика , Macmillan Co., 3-е издание, 1970.
6. "Веб-логин UM" . weblogin.umich.edu . дои : 10.1057/978-1-349-95121-5_322-2 . Проверено 2 декабря 2020 г.
7. Милгром, Пол и Шеннон, Крис. «Монотонная сравнительная статика» (1994). Эконометрика, Vol. 62 Выпуск 1, стр. 157-180.
8. Вейнотт (1992): Решетчатое программирование: качественная оптимизация и равновесия. МС Стэнфорд.
9. См.: Топкис, Д.М. (1979): «Точки равновесия в субмодульных играх с ненулевой суммой n человек», SIAM Journal of Control and Optimization, 17, 773–787; а также Топкис, Д.М. (1998): Супермодульность и дополнительность, Границы экономических исследований, Princeton University Press, ISBN 9780691032443 . 
10. См.: Топкис, Д.М. (1998): Супермодульность и дополнительность, Границы экономических исследований, Princeton University Press, ISBN 9780691032443 ; и Вивес, X. (2001): Олигополическое ценообразование: старые идеи и новые инструменты. MIT Press, ISBN 9780262720403 .  

Рекомендации

• Джон Итвелл и др., изд. (1987). «Сравнительная динамика», Нью -Пэлгрейв: Экономический словарь , т. 1, с. 517.
• Джон Р. Хикс (1939). Стоимость и капитал .
• Тимоти Дж. Кехо, 1987. «Сравнительная статика», The New Palgrave: A Dictionary of Economics , т. 1, стр. 517–20.
• Андреу Мас-Колелл , Майкл Д. Уинстон и Джерри Р. Грин, 1995. Микроэкономическая теория .
• Пол А. Самуэльсон (1947). Основы экономического анализа .
• Юджин Зильберберг и Винг Суен, 2000. Структура экономики: математический анализ , 3-е издание.

Внешние ссылки

• Экономический факультет государственного университета Сан-Хосе - Сравнительный статистический анализ
• AmosWeb Глоссарий
• Глоссарий Института рисков IFCI (из глоссария Американской фондовой биржи ) [1]