Сопоставимость

Свойство элементов, связанных неравенствами

Диаграмма Хассе натуральных чисел , частично упорядоченных по принципу « x ≤ y , если x делит y ». Числа 4 и 6 несопоставимы, так как ни одно из них не делит другое.

В математике два элемента x и y множества P называются сравнимыми относительно бинарного отношения ≤, если хотя бы один из x ≤ y или y ≤ x истинен. Их называют несравнимыми, если они несравнимы.

Строгое определение

Бинарным отношением на множестве по определению является любое подмножество заданного, записанное тогда и только тогда, когда в этом случае говорят, что оно связано с элементом . Говорят, что элемент -сравним или сравним ( относительно ) с элементом, если или Часто вместо слова «в каком случае» пишется символ, обозначающий сравнение, например (или и многие другие) , поэтому используется термин «сопоставимый». ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle P\times P.}$ ${\displaystyle x,y\in P,}$ ${\displaystyle xRy}$ ${\displaystyle (x,y)\in R,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle R.}$ ${\displaystyle x\in P}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle y\in P}$ ${\displaystyle xRy}$ ${\displaystyle yRx.}$ ${\displaystyle \,<\,}$ ${\displaystyle \,\leq \,,}$ ${\displaystyle \,>,\,}$ ${\displaystyle \geq ,}$ ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle x<y}$ ${\displaystyle xRy,}$

Сравнимость по индуцирует каноническое бинарное отношение на ; в частности, отношение сравнимости, индуцированное , определяется как набор всех пар, таких что сравнимо с ; то есть такое, что хотя бы одно из и истинно. Аналогично, отношение несравнимости, индуцированное by, определяется как множество всех пар , которые несравнимы с парами is, таких, что ни то, ни другое не является истинным. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle (x,y)\in P\times P}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle xRy}$ ${\displaystyle yRx}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle (x,y)\in P\times P}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y;}$ ${\displaystyle xRy}$ ${\displaystyle yRx}$

Если вместо символа используется то сравнимость по иногда обозначается символом , а несравнимость - символом . ^[1] Таким образом, для любых двух элементов и частично упорядоченного множества верен ровно один из и . ${\displaystyle \,<\,}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle \,<\,}$ ${\displaystyle {\overset {<}{\underset {>}{=}}}}$ ${\displaystyle {\cancel {\overset {<}{\underset {>}{=}}}}\!}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x\ {\overset {<}{\underset {>}{=}}}\ y}$ ${\displaystyle x{\cancel {\overset {<}{\underset {>}{=}}}}y}$

Пример

Полностью упорядоченное множество — это частично упорядоченное множество , в котором любые два элемента сравнимы. Теорема о расширении Шпильрайна утверждает, что каждый частичный порядок содержится в полном порядке. Интуитивно, теорема гласит, что любой метод сравнения элементов, который оставляет некоторые пары несравнимыми, может быть расширен таким образом, что каждая пара станет сравнимой.

Характеристики

Оба отношения сравнимости и несравнимости симметричны , то есть сравнимо тогда и только тогда, когда сравнимо , а также несравнимо. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x,}$

Графики сопоставимости

Граф сравнимости частично упорядоченного множества имеет в качестве вершин элементы и имеет в качестве ребер именно те пары элементов, для которых . ^[2] ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \{x,y\}}$ ${\displaystyle x\ {\overset {<}{\underset {>}{=}}}\ y}$

Классификация

При классификации математических объектов (например, топологических пространств ) два критерия называются сравнимыми, когда объекты, подчиняющиеся одному критерию, составляют подмножество объектов, подчиняющихся другому, то есть когда они сравнимы в частичном порядке ⊂. Например, критерии Т 1 и Т 2 сопоставимы, а критерии Т ₁ и трезвости — нет.

Смотрите также

• Строгий слабый порядок  - математическое ранжирование набора Pages displaying short descriptions of redirect targets, частичный порядок, в котором несравнимость является транзитивным отношением.

Рекомендации

1. Троттер, Уильям Т. (1992), Комбинаторика и частично упорядоченные множества: теория размерностей , Университет Джонса Хопкинса. Пресс, с. 3
2. Гилмор, ПК; Хоффман, AJ (1964), «Характеристика графиков сопоставимости и интервальных графиков», Canadian Journal of Mathematics , 16 : 539–548, doi : 10.4153/CJM-1964-055-5 , заархивировано из оригинала 08.2017 г. -02 , получено 1 января 2010 г..

Внешние ссылки

• «ПланетаМатематика: частичный порядок». Архивировано из оригинала 11 июля 2012 года . Проверено 6 апреля 2010 г.