Полный набор наблюдаемых объектов для поездок на работу

В квантовой механике полный набор коммутирующих наблюдаемых (CSCO) — это набор коммутирующих операторов , общие собственные векторы которых могут быть использованы в качестве основы для выражения любого квантового состояния . В случае операторов с дискретными спектрами CSCO — это набор коммутирующих наблюдаемых, чьи одновременные собственные пространства охватывают гильбертово пространство и являются линейно независимыми, так что собственные векторы однозначно определяются соответствующими наборами собственных значений.

В некоторых простых случаях, таких как проблемы связанных состояний в одном измерении, энергетический спектр невырожден, и энергия может быть использована для уникальной маркировки собственных состояний. В более сложных задачах энергетический спектр вырожден , и для различения собственных состояний необходимы дополнительные наблюдаемые. ^[1]

Поскольку каждая пара наблюдаемых в наборе коммутирует, все наблюдаемые совместимы, так что измерение одной наблюдаемой не влияет на результат измерения другой наблюдаемой в наборе. Поэтому нет необходимости указывать порядок, в котором измеряются различные наблюдаемые. Измерение полного набора наблюдаемых представляет собой полное измерение в том смысле, что оно проецирует квантовое состояние системы на уникальный и известный вектор в базисе, определяемом набором операторов. То есть, чтобы подготовить полностью определенное состояние, мы должны взять любое состояние произвольно, а затем выполнить последовательность измерений, соответствующих всем наблюдаемым в наборе, пока он не станет однозначно определенным вектором в гильбертовом пространстве (с точностью до фазы).

Теорема совместимости

Рассмотрим две наблюдаемые, и , представленные операторами и . Тогда следующие утверждения эквивалентны: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$

1. ${\displaystyle A}$и являются совместимыми наблюдаемыми. ${\displaystyle B}$
2. ${\displaystyle {\hat {A}}}$и имеют общий собственный базис. ${\displaystyle {\hat {B}}}$
3. Операторы и коммутируют , что означает, что . ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ ${\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}=0}$

Доказательства

Доказательство того, что общий собственный базис подразумевает коммутацию

Пусть будет набором ортонормальных состояний (т.е. ), которые образуют полный собственный базис для каждой из двух совместимых наблюдаемых и представлены самосопряженными операторами и с соответствующими (действительными) собственными значениями и , соответственно. Это подразумевает, что ${\displaystyle \{|\psi _{n}\rangle \}}$ ${\displaystyle \langle \psi _{m}|\psi _{n}\rangle =\delta _{m,n}^{\,}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ${\displaystyle \{b_{n}\}}$

${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {B}}|\psi _{n}\rangle ={\hat {A}}b_{n}|\psi _{n}\rangle =a_{n}b_{n}|\psi _{n}\rangle =b_{n}a_{n}|\psi _{n}\rangle ={\hat {B}}{\hat {A}}|\psi _{n}\rangle ,}$

для каждого взаимного собственного состояния . Поскольку собственный базис является полным, мы можем расширить произвольное состояние согласно ${\displaystyle |\psi _{n}\rangle }$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$

${\displaystyle |\Psi \rangle =\sum _{n}c_{n}|\psi _{n}\rangle ,}$

где . Приведенные выше результаты подразумевают, что ${\displaystyle c_{n}=\langle \psi _{n}|\Psi \rangle }$

${\displaystyle ({\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}})|\Psi \rangle =\sum _{n}c_{n}({\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}})|\psi _{n}\rangle =0,}$

для любого состояния . Таким образом, , что означает, что два оператора коммутируют. ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ ${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}=[{\hat {A}},{\hat {B}}]=0}$

Доказательство того, что коммутирующие наблюдаемые обладают полным набором общих собственных функций

---

Когда имеет ${\displaystyle A}$ невырожденные собственные значения:

---

Пусть — полный набор ортонормированных собственных значений самосопряженного оператора, соответствующий набору действительных собственных значений . Если самосопряженные операторы и коммутируют, то можно записать ${\displaystyle \{|\psi _{n}\rangle \}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle A(B|\psi _{n}\rangle )=BA|\psi _{n}\rangle =a_{n}(B|\psi _{n}\rangle )}$

Итак, если , мы можем сказать, что является собственным элементом , соответствующим собственному значению . Поскольку и являются собственными элементами , связанными с одним и тем же невырожденным собственным значением , они могут отличаться максимум на мультипликативную константу. Мы называем эту константу . Итак, ${\displaystyle B|\psi _{n}\rangle \neq 0}$ ${\displaystyle B|\psi _{n}\rangle }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle B|\psi _{n}\rangle }$ ${\displaystyle |\psi _{n}\rangle }$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle b_{n}}$

${\displaystyle B|\psi _{n}\rangle =b_{n}|\psi _{n}\rangle }$,

что означает, что является собственным элементом , и, таким образом , и одновременно . В случае , ненулевой вектор является собственным элементом с собственным значением . ${\displaystyle |\psi _{n}\rangle }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B|\psi _{n}\rangle =0}$ ${\displaystyle |\psi _{n}\rangle }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle b_{n}=0}$

---

Когда имеет ${\displaystyle A}$ вырожденные собственные значения:

---

Предположим, что каждый из них -кратно вырожден. Пусть соответствующие ортонормальные собственные элементы будут . Поскольку , мы рассуждаем, как и выше, чтобы найти, что является собственным элементом , соответствующим вырожденному собственному значению . Таким образом, мы можем разложить по базису вырожденные собственные элементы : ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle |\psi _{nr}\rangle ,r\in \{1,2,\dots ,g\}}$ ${\displaystyle [A,B]=0}$ ${\displaystyle B|\psi _{nr}\rangle }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle B|\psi _{nr}\rangle }$ ${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle B|\psi _{nr}\rangle =\sum _{s=1}^{g}c_{rs}|\psi _{ns}\rangle }$

Это коэффициенты разложения. Коэффициенты образуют самосопряженную матрицу, так как . Следующим шагом будет диагонализация матрицы . Для этого мы суммируем по всем с константами . Итак, ${\displaystyle c_{rs}}$ ${\displaystyle c_{rs}}$ ${\displaystyle \langle \psi _{ns}|B|\psi _{nr}\rangle =c_{rs}}$ ${\displaystyle c_{rs}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle d_{r}}$

${\displaystyle B\sum _{r=1}^{g}d_{r}|\psi _{nr}\rangle =\sum _{r=1}^{g}\sum _{s=1}^{g}d_{r}c_{rs}|\psi _{ns}\rangle }$

Итак, будет собственным множителем с собственным значением, если у нас есть ${\displaystyle \sum _{r=1}^{g}d_{r}|\psi _{nr}\rangle }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle b_{n}}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{g}d_{r}c_{rs}=b_{n}d_{s},s=1,2,...g}$

Это представляет собой систему линейных уравнений для констант . Нетривиальное решение существует, если ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle d_{r}}$

${\displaystyle \det[c_{rs}-b_{n}\delta _{rs}]=0}$

Это уравнение порядка в и имеет корни. Для каждого корня мы имеем нетривиальное решение , скажем, . Ввиду самосопряженности , все решения линейно независимы. Поэтому они образуют новый базис ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle b_{n}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle b_{n}=b_{n}^{(k)},k=1,2,...g}$ ${\displaystyle d_{r}}$ ${\displaystyle d_{r}^{(k)}}$ ${\displaystyle c_{rs}}$

${\displaystyle |\phi _{n}^{(k)}\rangle =\sum _{r=1}^{g}d_{r}^{(k)}|\psi _{nr}\rangle }$

${\displaystyle |\phi _{n}^{(k)}\rangle }$одновременно является собственным элементом и с собственными значениями и соответственно. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle b_{n}^{(k)}}$

Обсуждение

Рассмотрим два указанных выше наблюдаемых и . Предположим, что существует полный набор кетов , каждый элемент которых одновременно является собственным кетом и . Тогда мы говорим, что и совместимы . Если обозначить собственные значения и , соответствующие соответственно через и , мы можем записать ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \{|\psi _{n}\rangle \}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle |\psi _{n}\rangle }$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle b_{n}}$

${\displaystyle A|\psi _{n}\rangle =a_{n}|\psi _{n}\rangle }$

${\displaystyle B|\psi _{n}\rangle =b_{n}|\psi _{n}\rangle }$

Если система находится в одном из собственных состояний, скажем, , то и и могут быть одновременно измерены с любой произвольной точностью, и мы получим результаты и соответственно. Эту идею можно распространить на более чем две наблюдаемые. ${\displaystyle |\psi _{n}\rangle }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle b_{n}}$

Примеры совместимых наблюдаемых

Декартовы компоненты оператора положения — , и . Все эти компоненты совместимы. Аналогично, декартовы компоненты оператора импульса , то есть , и также совместимы. ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle p_{x}}$ ${\displaystyle p_{y}}$ ${\displaystyle p_{z}}$

Формальное определение

Набор наблюдаемых величин называется CSCO, если: ^[2] ${\displaystyle A,B,C...}$

1. Все наблюдаемые величины коммутируют парами.
2. Если мы укажем собственные значения всех операторов в CSCO, мы определим единственный собственный вектор (с точностью до фазы) в гильбертовом пространстве системы.

Если нам дан CSCO, мы можем выбрать базис для пространства состояний, составленный из общих собственных векторов соответствующих операторов. Мы можем однозначно идентифицировать каждый собственный вектор (с точностью до фазы) по набору собственных значений, которым он соответствует.

Обсуждение

Пусть у нас есть оператор наблюдаемой , который имеет все невырожденные собственные значения . В результате, существует одно уникальное собственное состояние, соответствующее каждому собственному значению, что позволяет нам маркировать их соответствующими собственными значениями. Например, собственное состояние , соответствующее собственному значению, может быть маркировано как . Такая наблюдаемая сама по себе является самодостаточным CSCO. ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle |a_{n}\rangle }$

Однако, если некоторые из собственных значений вырождены (например, имеют вырожденные уровни энергии ), то приведенный выше результат больше не выполняется. В таком случае нам необходимо различать собственные функции, соответствующие одному и тому же собственному значению. Для этого вводится вторая наблюдаемая (назовем ее ), которая совместима с . Теорема совместимости говорит нам, что может быть найден общий базис собственных функций и . Теперь, если каждая пара собственных значений однозначно определяет вектор состояния этого базиса, мы утверждаем, что сформировали CSCO: набор . Вырождение в полностью снимается. ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ ${\displaystyle (a_{n},b_{n})}$ ${\displaystyle \{A,B\}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$

Тем не менее, может случиться так, что вырождение не будет полностью снято. То есть, существует по крайней мере одна пара , которая не определяет однозначно один собственный вектор. В этом случае мы повторяем описанный выше процесс, добавляя еще одну наблюдаемую , которая совместима как с , так и . Если базис общих собственных функций , и уникален, то есть однозначно задан набором собственных значений , то мы сформировали CSCO: . Если нет, мы добавляем еще одну совместимую наблюдаемую и продолжаем процесс до тех пор, пока не получим CSCO. ${\displaystyle (a_{n},b_{n})}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ ${\displaystyle {\hat {C}}}$ ${\displaystyle (a_{n},b_{n},c_{n})}$ ${\displaystyle \{A,B,C\}}$

Одно и то же векторное пространство может иметь различные полные наборы коммутирующих операторов.

Предположим, что нам дано конечное CSCO . Тогда мы можем разложить любое общее состояние в гильбертовом пространстве как ${\displaystyle \{A,B,C,...,\}}$

${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i,j,k,...}{\mathcal {C}}_{i,j,k,...}|a_{i},b_{j},c_{k},...\rangle }$

где — собственные числа операторов , и образуют базисное пространство. То есть, ${\displaystyle |a_{i},b_{j},c_{k},...\rangle }$ ${\displaystyle {\hat {A}},{\hat {B}},{\hat {C}}}$

${\displaystyle {\hat {A}}|a_{i},b_{j},c_{k},...\rangle =a_{i}|a_{i},b_{j},c_{k},...\rangle }$, и т. д

Если мы проводим измерения в состоянии , то вероятность того, что мы одновременно проводим измерения, определяется выражением . ${\displaystyle A,B,C,...}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle a_{i},b_{j},c_{k},...}$ ${\displaystyle |{\mathcal {C}}_{i,j,k,...}|^{2}}$

Для полного набора коммутирующих операторов можно найти унитарное преобразование, которое одновременно диагонализирует их все.

Примеры

Атом водорода без электронного или протонного спина

Две компоненты оператора момента импульса не коммутируют, но удовлетворяют коммутационным соотношениям: ${\displaystyle \mathbf {L} }$

${\displaystyle [L_{i},L_{j}]=i\hbar \epsilon _{ijk}L_{k}}$

Таким образом, любой CSCO не может включать более одного компонента . Можно показать, что квадрат оператора углового момента, , коммутирует с . ${\displaystyle \mathbf {L} }$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {L} }$

${\displaystyle [L_{x},L^{2}]=0,[L_{y},L^{2}]=0,[L_{z},L^{2}]=0}$

Также, гамильтониан является функцией только и имеет вращательную инвариантность, где - приведенная масса системы. Поскольку компоненты являются генераторами вращения, можно показать, что ${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\nabla ^{2}-{\frac {Ze^{2}}{r}}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mathbf {L} }$

${\displaystyle [\mathbf {L} ,H]=0,[L^{2},H]=0}$

Таким образом, коммутирующий набор состоит из , одного компонента (который принимается равным ) и . Решение задачи говорит нам, что без учета спина электронов набор образует CSCO. Пусть будет любым базисным состоянием в гильбертовом пространстве водородного атома. Тогда ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {L} }$ ${\displaystyle L_{z}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \{H,L^{2},L_{z}\}}$ ${\displaystyle |E_{n},l,m\rangle }$

${\displaystyle H|E_{n},l,m\rangle =E_{n}|E_{n},l,m\rangle }$

${\displaystyle L^{2}|E_{n},l,m\rangle =l(l+1)\hbar ^{2}|E_{n},l,m\rangle }$

${\displaystyle L_{z}|E_{n},l,m\rangle =m\hbar |E_{n},l,m\rangle }$

То есть набор собственных значений или, проще говоря, полностью определяет уникальное собственное состояние атома водорода. ${\displaystyle \{E_{n},l,m\}}$ ${\displaystyle \{n,l,m\}}$

Свободная частица

Для свободной частицы гамильтониан инвариантен относительно трансляций. Трансляция коммутирует с гамильтонианом: . Однако, если мы выразим гамильтониан в базисе оператора трансляции, то обнаружим, что имеет дважды вырожденные собственные значения. Можно показать, что для создания CSCO в этом случае нам нужен другой оператор, называемый оператором четности , такой, что . образует CSCO. ${\displaystyle H=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}}$ ${\displaystyle [H,\mathbf {\hat {T}} ]=0}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle [H,\Pi ]=0}$ ${\displaystyle \{H,\Pi \}}$

Опять же, пусть и будут вырожденными собственными состояниями соответствующего собственного значения , т.е. ${\displaystyle |k\rangle }$ ${\displaystyle |-k\rangle }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H_{k}={\frac {{\hbar ^{2}}{k^{2}}}{2m}}}$

${\displaystyle H|k\rangle ={\frac {{\hbar ^{2}}{k^{2}}}{2m}}|k\rangle }$

${\displaystyle H|-k\rangle ={\frac {{\hbar ^{2}}{k^{2}}}{2m}}|-k\rangle }$

Вырождение в снимается оператором импульса . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} }$

${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} |k\rangle =k|k\rangle }$

${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} |-k\rangle =-k|-k\rangle }$

Итак, формируется CSCO. ${\displaystyle \{\mathbf {\hat {p}} ,H\}}$

Сложение угловых моментов

Рассмотрим случай двух систем, 1 и 2, с соответствующими операторами углового момента и . Собственные состояния и можно записать как , а и как . ${\displaystyle \mathbf {J_{1}} }$ ${\displaystyle \mathbf {J_{2}} }$ ${\displaystyle J_{1}^{2}}$ ${\displaystyle J_{1z}}$ ${\displaystyle |j_{1}m_{1}\rangle }$ ${\displaystyle J_{2}^{2}}$ ${\displaystyle J_{2z}}$ ${\displaystyle |j_{2}m_{2}\rangle }$

${\displaystyle J_{1}^{2}|j_{1}m_{1}\rangle =j_{1}(j_{1}+1)\hbar ^{2}|j_{1}m_{1}\rangle }$

${\displaystyle J_{1z}|j_{1}m_{1}\rangle =m_{1}\hbar |j_{1}m_{1}\rangle }$

${\displaystyle J_{2}^{2}|j_{2}m_{2}\rangle =j_{2}(j_{2}+1)\hbar ^{2}|j_{2}m_{2}\rangle }$

${\displaystyle J_{2z}|j_{2}m_{2}\rangle =m_{2}\hbar |j_{2}m_{2}\rangle }$

Тогда базисные состояния полной системы задаются как ${\displaystyle |j_{1}m_{1};j_{2}m_{2}\rangle }$

${\displaystyle |j_{1}m_{1};j_{2}m_{2}\rangle =|j_{1}m_{1}\rangle \otimes |j_{2}m_{2}\rangle }$

Следовательно, для полной системы набор собственных значений полностью определяет уникальное базисное состояние и образует CSCO. Эквивалентно, существует другой набор базисных состояний для системы, в терминах оператора полного углового момента . Собственные значения для являются , где принимает значения , а собственные значения для являются , где . Базисные состояния операторов и являются . Таким образом, мы также можем определить уникальное базисное состояние в гильбертовом пространстве полной системы с помощью набора собственных значений , и соответствующий CSCO равен . ${\displaystyle \{j_{1},m_{1},j_{2},m_{2}\}}$ ${\displaystyle \{J_{1}^{2},J_{1z},J_{2}^{2},J_{2z}\}}$ ${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {J_{1}} +\mathbf {J_{2}} }$ ${\displaystyle J^{2}}$ ${\displaystyle j(j+1)\hbar ^{2}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j_{1}+j_{2},j_{1}+j_{2}-1,...,|j_{1}-j_{2}|}$ ${\displaystyle J_{z}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m=-j,-j+1,...j-1,j}$ ${\displaystyle J^{2}}$ ${\displaystyle J_{z}}$ ${\displaystyle |j_{1}j_{2};jm\rangle }$ ${\displaystyle \{j_{1},j_{2},j,m\}}$ ${\displaystyle \{J_{1}^{2},J_{2}^{2},J^{2},J_{z}\}}$

Смотрите также

• Квантовое число
  • Хорошее квантовое число
• Вырожденные уровни энергии
• Математическая структура квантовой механики
• Операторы в квантовой механике
• Каноническое коммутационное соотношение
• Измерение в квантовой механике
• Коллапс волновой функции
• Угловой момент (квантовая механика)

Ссылки

1. Цвибах, Бартон (2022). «Глава 15.8: Полный набор коммутирующих наблюдаемых». Освоение квантовой механики: основы, теория и приложения . Кембридж, Массачусетс: The MIT press. ISBN 978-0262366892.
2. Коэн-Таннуджи, Клод ; Диу, Бернар; Лалоэ, Франк (1977). Квантовая механика . Том. 1. Нью-Йорк: Уайли. стр. 143–144. ISBN 978-0-471-16433-3. OCLC  2089460.

Дальнейшее чтение

• Гасиорович, Стивен (1974), Квантовая физика , Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-29281-4.
• Коэн-Таннуджи, Клод ; Диу, Бернар; Лалоэ, Франк (1977). Квантовая механика . Том. 1. Нью-Йорк: Уайли. ISBN 978-0-471-16433-3. OCLC  2089460.
• Коэн-Таннуджи, Клод ; Диу, Бернар; Лалоэ, Франк (1977). Квантовая механика . Том. 2. Нью-Йорк: Уайли. ISBN 978-0-471-16435-7. OCLC  45727993.
• Дирак, П. А. М. (1958). Принципы квантовой механики . Оксфорд: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-851208-0. OCLC  534829.
• RP Feynman, RB Leighton и M. Sands: Фейнмановские лекции по физике , Addison-Wesley, 1965
• Р. Шанкар, Принципы квантовой механики , второе издание, Springer (1994).
• Дж. Дж. Сакурай, Современная квантовая механика , переработанное издание, Пирсон (1994).
• Б. Х. Брансден и К. Дж. Джоачейн, Квантовая механика , второе издание, Pearson Education Limited, 2000.
• Для обсуждения теоремы о совместимости см. конспект лекций Школы физики и астрономии Эдинбургского университета. http://www2.ph.ed.ac.uk/~ldeldebb/docs/QM/lect2.pdf.
• Слайд о CSCO в конспекте лекций профессора С. Гупты, Институт фундаментальных исследований Тата, Мумбаи. http://theory.tifr.res.in/~sgupta/courses/qm2013/hand3.pdf
• Раздел о свободных частицах в конспекте лекций профессора С. Гупты, Институт фундаментальных исследований Тата, Мумбаи. http://theory.tifr.res.in/~sgupta/courses/qm2013/hand6.pdf