Полный набор инвариантов

В математике полный набор инвариантов для задачи классификации представляет собой набор карт.

${\displaystyle f_{i}:X\to Y_{i}}$

(где — совокупность классифицируемых объектов, с точностью до некоторого отношения эквивалентности , а — некоторые множества), такие, что тогда и только тогда, когда для всех . Другими словами, такие, что два объекта эквивалентны тогда и только тогда, когда все инварианты равны. ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle x\sim x'}$ ${\displaystyle f_{i}(x)=f_{i}(x')}$ ${\displaystyle i}$

Символически полный набор инвариантов представляет собой набор отображений, таких что

${\displaystyle \left(\prod f_{i}\right):(X/\sim )\to \left(\prod Y_{i}\right)}$

является инъективным .

Поскольку инварианты по определению равны на эквивалентных объектах, равенство инвариантов является необходимым условием эквивалентности; полный набор инвариантов — это такой набор, что их равенство также достаточно для эквивалентности. В контексте группового действия это можно сформулировать так: инварианты являются функциями коинвариантов (классов эквивалентности, орбит), а полный набор инвариантов характеризует коинварианты (является набором определяющих уравнений для коинвариантов).

Примеры

• В классификации двумерных замкнутых многообразий эйлерова характеристика (или род ) и ориентируемость представляют собой полный набор инвариантов.
• Жорданова нормальная форма матрицы является полным инвариантом для матриц с точностью до сопряжения, но собственные значения (с кратностями) таковыми не являются.

Реализуемость инвариантов

Полный набор инвариантов не дает немедленно теорему классификации : не все комбинации инвариантов могут быть реализованы. Символически, необходимо также определить образ

${\displaystyle \prod f_{i}:X\to \prod Y_{i}.}$

Ссылки

1. Фатикони, Теодор Г. (2006), «Модули и топологические пространства точечных множеств», Абелевы группы, кольца, модули и гомологическая алгебра , Lect. Notes Pure Appl. Math., т. 249, Chapman & Hall/CRC, Бока-Ратон, Флорида, стр. 87–105, doi :10.1201/9781420010763.ch10, MR  2229105. См. в частности стр. 97.