Отображение C*-алгебры, сохраняющее положительные элементы
В математике положительное отображение — это отображение между C*-алгебрами , которое переводит положительные элементы в положительные элементы. Полностью положительная карта — это карта, которая удовлетворяет более сильному и устойчивому условию.
Определение
Пусть и — С*-алгебры . Линейное отображение называется положительным , если отображает положительные элементы в положительные элементы: .![{\displaystyle А}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle B}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \phi:A\to B}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle \ фи }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle a \ geq 0 \ подразумевает \ phi (a) \ geq 0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Любая линейная карта порождает другую карту![{\displaystyle \phi:A\to B}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\textrm {id}}\otimes \phi :\mathbb {C} ^{k\times k} \otimes A\to \mathbb {C} ^{k\times k}\otimes B}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
естественным образом. Если отождествляется с C*-алгеброй -матриц с элементами в , то действует как![{\displaystyle \mathbb {C} ^{k\times k}\otimes A}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A^{k\times k}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle k\times k}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle А}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\textrm {id}}\otimes \phi }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1k}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{k1}&\cdots &a_{kk}\end{pmatrix}}\ mapsto {\begin{pmatrix}\phi (a_{11})&\cdots &\phi (a_{1k})\\\vdots &\ddots &\vdots \\\phi (a_{k1})&\cdots &\phi (a_{kk})\end{pmatrix}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
называется k-положительным, если является положительным отображением, и вполне положительным , если k-положительным для всех k.![{\displaystyle {\textrm {id}} _ {\mathbb {C} ^{k\times k}}\otimes \phi }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle \ фи }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Характеристики
- Положительные отображения монотонны, т.е. для всех самосопряженных элементов .
![{\displaystyle a_{1}\leq a_{2}\подразумевает \phi (a_{1})\leq \phi (a_{2})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle a_{1},a_{2}\in A_{sa}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Поскольку для всех самосопряженных элементов каждое положительное отображение автоматически непрерывно относительно C*-норм и его операторная норма равна . Аналогичное утверждение с приближенными единицами справедливо и для неединичных алгебр.
![{\displaystyle -\|a\|_{A}1_{A} \leq a\leq \|a\|_{A}1_{A}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle a\in A_{sa}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \|\phi (1_{A})\|_{B}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Множество положительных функционалов является двойственным конусом конуса положительных элементов .
![{\displaystyle \to \mathbb {C} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle А}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Примеры
- Всякий * -гомоморфизм вполне положителен. [1]
- Для любого линейного оператора между гильбертовыми пространствами отображение вполне положительно. [2] Теорема Стайнспринга утверждает, что все вполне положительные отображения являются композициями *-гомоморфизмов и этих специальных отображений.
![{\displaystyle V:H_{1}\to H_{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Каждый положительный функционал (в частности, каждое состояние ) автоматически полностью положителен.
![{\displaystyle \phi:A\to \mathbb {C}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Учитывая алгебры и комплекснозначные непрерывные функции на компактах Хаусдорфа , каждое положительное отображение вполне положительно.
![{\displaystyle C (X)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle X,Y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle C(X)\to C(Y)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Транспонирование матриц — стандартный пример положительного отображения, которое не может быть 2-положительным. Обозначим через T это отображение на . Ниже приведена положительная матрица в :
![{\displaystyle \mathbb {C} ^{n\times n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {C} ^{2\times 2}\otimes \mathbb {C} ^{2\times 2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}} & {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\\{\begin{pmatrix} 0&0\\1&0\end{pmatrix}}&{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&1 \\\end{bmatrix}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Изображение этой матрицы ниже![{\displaystyle I_{2}\otimes T}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}^{T}&{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}^{T} \\{\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}^{T}&{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}^{T}\end{bmatrix}}= {\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
который явно не положителен, имея определитель −1. Более того, собственные значения этой матрицы равны 1,1,1 и −1. (На самом деле эта матрица является матрицей Чоя для T .)Кстати, отображение Φ называется коположительным, если композиция Φ T положительна. Карта транспозиции сама по себе является копозитивной картой.
Смотрите также
Рекомендации
- ^ К.Р. Дэвидсон: C*-алгебры на примерах , Американское математическое общество (1996), ISBN 0-821-80599-1, Thm. IX.4.1
- ^ Р. В. Кэдисон , Дж. Р. Рингроуз : Основы теории операторных алгебр II , Academic Press (1983), ISBN 0-1239-3302-1, Sect. 11.5.21